cead20136

sábado, 10 de setembro de 2016

EQ. 2º GRAU , PA ePG

Uma relação de IR em IR recebe o nome de equação do 2º grau quando associa a cada elemento x IR , um elemento do tipo ax2 + bx + c, sempre com a diferente de 0, assim definida como uma função de f: IR → IR.

Exemplo :

x2 + 3x + 4 → a = 1, b = 3, c = 4

-2x2 -x +9 → a = -2, b = -1, c = 9

Onde a, b, c são denominados coeficientes.

Raízes de uma equação do 2º grau

ax2 + bx + c = 0 , para calcularmos o valor de x que satisfaz a igualdade iremos primeiro demonstrar a equação de Bháskara (1114-1185), o mais importante matemático do século XII.

ax2 + bx + c → 4a(ax2 + bx + c) = 0 → 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

Completando os quadrados temos que:

4a2x2 + 4abx+b2-b2+4ac = 0 , note que: 4a2x2 + 4abx+b2 = (2ax+b)2

Então: (2ax+b)2 - b2 + 4ac = 0 → (2ax+b)2 = b2 - 4ac

,

Por fim: onde iremos atribuir ao discriminante b2 - 4ac = ∆ ,



repare que :

Quando Δ > 0, obtemos duas raízes reais do tipo: ,
Quando Δ = 0, obtemos uma raiz real do tipo:
Quando Δ > 0, obtemos duas raízes não reais, assim .

Método rápido para resolução de uma equação do 2º grau. ( Soma e Produto das Raízes)

Repare que: , assim
e ainda que , assim
Resumindo a soma das raízes é e o produto delas é .

Exemplo:


assim x1 = 3 e x2 = 2
Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.



A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:

a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.

Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente
Termo geral da PA


A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:

a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r



O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:


Propriedades de uma PA

Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

- Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.



Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)



- A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.





Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:

3+21 = 1+23 = 24
5+19 = 1+23 = 24
7+17 = 1+23 = 24
9+15 = 1+23 = 24
11+13 = 1+23 = 24

Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. Veja por exemplo que na PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central é 10 logo:

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