Uma relação de IR em IR recebe o nome de equação do 2º grau quando associa a cada elemento x IR , um elemento do tipo ax2 + bx + c, sempre com a diferente de 0, assim definida como uma função de f: IR → IR.
Exemplo :
x2 + 3x + 4 → a = 1, b = 3, c = 4
-2x2 -x +9 → a = -2, b = -1, c = 9
Onde a, b, c são denominados coeficientes.
Raízes de uma equação do 2º grau
ax2 + bx + c = 0 , para calcularmos o valor de x que satisfaz a igualdade iremos primeiro demonstrar a equação de Bháskara (1114-1185), o mais importante matemático do século XII.
ax2 + bx + c → 4a(ax2 + bx + c) = 0 → 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
Completando os quadrados temos que:
4a2x2 + 4abx+b2-b2+4ac = 0 , note que: 4a2x2 + 4abx+b2 = (2ax+b)2
Então: (2ax+b)2 - b2 + 4ac = 0 → (2ax+b)2 = b2 - 4ac
,
Por fim: onde iremos atribuir ao discriminante b2 - 4ac = ∆ ,
repare que :
Quando Δ > 0, obtemos duas raízes reais do tipo: ,
Quando Δ = 0, obtemos uma raiz real do tipo:
Quando Δ > 0, obtemos duas raízes não reais, assim .
Método rápido para resolução de uma equação do 2º grau. ( Soma e Produto das Raízes)
Repare que: , assim
e ainda que , assim
Resumindo a soma das raízes é e o produto delas é .
Exemplo:
assim x1 = 3 e x2 = 2
Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.
A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:
a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.
Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente
Termo geral da PA
A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:
Propriedades de uma PA
Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:
- Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.
Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)
- A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:
3+21 = 1+23 = 24
5+19 = 1+23 = 24
7+17 = 1+23 = 24
9+15 = 1+23 = 24
11+13 = 1+23 = 24
Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. Veja por exemplo que na PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central é 10 logo:
Exemplo :
x2 + 3x + 4 → a = 1, b = 3, c = 4
-2x2 -x +9 → a = -2, b = -1, c = 9
Onde a, b, c são denominados coeficientes.
Raízes de uma equação do 2º grau
ax2 + bx + c = 0 , para calcularmos o valor de x que satisfaz a igualdade iremos primeiro demonstrar a equação de Bháskara (1114-1185), o mais importante matemático do século XII.
ax2 + bx + c → 4a(ax2 + bx + c) = 0 → 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
Completando os quadrados temos que:
4a2x2 + 4abx+b2-b2+4ac = 0 , note que: 4a2x2 + 4abx+b2 = (2ax+b)2
Então: (2ax+b)2 - b2 + 4ac = 0 → (2ax+b)2 = b2 - 4ac
,
Por fim: onde iremos atribuir ao discriminante b2 - 4ac = ∆ ,
repare que :
Quando Δ > 0, obtemos duas raízes reais do tipo: ,
Quando Δ = 0, obtemos uma raiz real do tipo:
Quando Δ > 0, obtemos duas raízes não reais, assim .
Método rápido para resolução de uma equação do 2º grau. ( Soma e Produto das Raízes)
Repare que: , assim
e ainda que , assim
Resumindo a soma das raízes é e o produto delas é .
Exemplo:
assim x1 = 3 e x2 = 2
Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.
A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:
a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.
Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente
Termo geral da PA
A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:
Propriedades de uma PA
Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:
- Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.
Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)
- A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:
3+21 = 1+23 = 24
5+19 = 1+23 = 24
7+17 = 1+23 = 24
9+15 = 1+23 = 24
11+13 = 1+23 = 24
Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. Veja por exemplo que na PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central é 10 logo:
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