cead20136

Pesquisar no blog

Carregando...

Pesquisar na net

Custom Search

domingo, 6 de dezembro de 2009

Equação de 1º grau

EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Introdução às equações de primeiro grau

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.
Sentença com palavras Sentença matemática
2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.
EquaÇÕes do primeiro grau em 1 variÁvel

Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um"peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?
2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:
2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos ver que toda equação tem:

* Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;
* Um sinal de igualdade, denotado por =.
* Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;
* Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

2 x + 2 = 14
1o. membro sinal de igualdade 2o. membro

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizaremos o seguinte procedimento para obter o valor de x.
2x + 2 = 14 Equação original
2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros
2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros
x = 6 Solução

Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passaremos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:
c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:

a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000

Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.

Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.

3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40

Resposta: Cada quarto tem 40m2.
Desigualdades do primeiro grau em 1 variÁvel

Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:
< > < >
menor maior menor ou igual maior ou igual

Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:
2x + 2 < 14

Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:
Passo 1 2x + 2 < 14 Escrever a equação original
Passo 2 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtrair o número 2 dos dois membros
Passo 3 2x < 12 Dividir pelo número 2 ambos os membros
Passo 4 x < 6 Solução

Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:
S = {1, 2, 3, 4, 5}

Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade
2x + 2 < 14

obteremos o conjunto solução:
S = {2, 4}

Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.

Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades:
12 < 2x + 2 < 20

poderemos seguir o seguinte processo:
12 < 2x + 2 < 20 Equação original
12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros
10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros
5 < x < 9 Solução

O conjunto solução é:
S = {6, 7, 8, 9}

Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades
12 < 2x + 2 < 20

obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:
S = Ø = { }
Desigualdades do primeiro grau em 2 variÁveis

Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser:

a x + b y < c

onde a, b e c são valores dados.

Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 0

observamos que o conjunto solução contém os pares:

(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

Traçamos a reta 2x+3y=0;

Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;

Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.

A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.

Sistemas linear de equaÇÕes do primeiro grau

Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja o sistema de duas equações:

2 x + 3 y = 38
3 x - 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações.

Observamos que x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:
S = { (10,6) }
MÉtodo de substituiÇÃo para resolver este sistema

Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.

Para entender o método, consideremos o sistema:
2 x + 3 y = 38
3 x - 2 y = 18

Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:
2x + 3y = 38 Primeira equação
2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtraímos 3y de ambos os membros
2x = 38 - 3y Dividimos ambos os membros por 2
x = 19 - (3y/2) Este é o valor de x em função de y

Substituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18:

3x - 2y = 18
3x - 2y = 18 Segunda equação
3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Após substituir x, eliminamos os parênteses
57 - 9y/2 - 2y = 18 multiplicamos os termos por 2
114 - 9y - 4y = 36 reduzimos os termos semelhantes
114 - 13y = 36 separamos variáveis e números
114 - 36 = 13y simplificamos a equação
78 = 13y mudamos a posição dos dois membros
13 y = 78 dividimos ambos os membros por 6
y = 6 Valor obtido para y

Substituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos:

x = 19 - (3×6/2)
x = 19 - 18/2
x = 19 - 9 = 10

Exercício: Determinar a solução do sistema:

x + y = 2
x - y = 0

Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.
RelaÇÃo entre sistemas lineares e retas no plano

No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.

Reta 1: ax + by = c
Reta 2: dx + ey = f

Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de:

* Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;
* Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;
* Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Exemplos das três situações:
Tipos de retas Sistema
Concorrentes x + y = 2
x - y = 0
Paralelas x + y = 2
x + y = 4
Coincidentes x + y = 2
2x + 2y = 4

Problemas com sistemas de equações:

1 - A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:

C + A = 22
C - A = 4

Resposta: C = 13 e A = 9

2 - A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:

A + B = 100000
A = 3B

Resposta: A = 75000, B= 25000.

3 - Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:

3D + O = 260
O = 140

Resposta: D = 40
Desigualdades com 2 EquaÇÕes em 2 variÁveis

Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:

a x + b y < c
d x + e y > f

onde as constantes: a, b, c, d, e, f; são conhecidas.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 6
5x + 2y < 20

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios.

Ex: 2x - 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita

De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa.

Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4.

2x - 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4

Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.
Equação do 1º grau

Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma
ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.

ax + b = 0 ( a e b são números reais e a 0 )
Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade:

ax + b = 0 » ax = -b

x = -b / a

* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.

Ex: x - 5 = 0 » x -5 + 3 = 0 + 3 » x = 5

4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2
Resolução de equações do 1º grau:

Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem.

Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro.

Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos.
Determine o valor da incógnita x:

a) 2x - 8 = 10

2x = 10 + 8

2x = 18

x = 9 » V = {9}


b) 3 - 7.(1-2x) = 5 - (x+9)

3 -7 + 14x = 5 - x - 9

14x + x = 5 - 9 - 3 + 7

15x= 0

x = 0 » V= {0}

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Vamos ver o que realmente ocorre:
Numa equação:

2x + 8 = 10
Adicionamos -8 a ambos os lados, afim de deixarmos o valor de 2x "sozinho". Observem:

2x + 8 - 8 = 10 - 8

2x = 2

x = 1

V={1}

A resolução acima é a exposição do que ocorre na resolução de equações do 1º grau. O "macete" de "jogar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizarmos a resolução.

Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br

sexta-feira, 4 de dezembro de 2009

Bolzano 04/12/2009

Padre refugia-se na Matemática

Bernhard Bolzano nasceu e morreu em Praga, Tchecoslováquia, e embora fosse padre tinha idéias contrárias às da Igreja.

Suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seus contemporâneos.

Em 1817 publicou o livro "Rein Analytisches Beweis (Prova puramente analítica), provando através de métodos aritméticos o teorema de locação em Álgebra, exigindo para isso um conceito não geométrico de continuidade de uma curva ou função.

Bolzano, a essa época, já havia percebido tão bem a necessidade de rigor em Análise, que Klein o chamou " pai da aritmetizaçao", embora tivesse menos influência que Cauchy com sua análise baseada em conceitos geométricos mas, embora os dois nunca tivessem se encontrado, suas definições de limite, derivada, continuidade e convergência eram bem semelhantes.

Em uma obra póstuma de 1850, Bolzano chegou a enunciar propriedades importantes dos conjuntos finitos e, apoiando-se nas teorias de Galileu, mostrou que existem tantos números reais entre O e 1, quanto entre O e 2, ou tantos em um segmento de reta de um centímetro quanto em um segmento de reta de dois centímetros.

Parece ter percebido que a infinidade de números reais é de tipo diferente de infinidade de números inteiros, sendo não enumeráveis, estando mais próximo da Matemática moderna do que qualquer um de seus contemporâneos.

Em 1834, Bolzano havia imaginado uma função contínua num intervalo e que não tinha derivada em nenhum ponto desse intervalo mas o exemplo dado não ficou conhecido em sua época, sendo todos os méritos dados a Weierstrass que se ocupou em redescobrir esses resultados, depois de cinqüenta anos. Conhecemos hoje como teorema de Bolzaro-Weierstrass aquele segundo o qual um conjunto limitado contendo infinitos elementos, pontos ou números, tem ao menos um ponto de acumulação.

O mesmo aconteceu com os critérios de convergência de séries infinitas que levam hoje o nome de Cauchy e assim também com outros resultados.

Há quem diga que Bolzano era "uma voz clamando no deserto".

História dos números 04/12/2009

HISTÓRIA DOS NÚMEROS

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.

A LINGUAGEM DOS NÚMEROS

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

Limitações vêm de longe

Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.

Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).

Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.

Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.

O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

A idéia de correspondência

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...

A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:

Nº Grego arcaico Latim Alemão Inglês Francês Russo

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural

Álgebra

Por volta do ano 400 d.C., uma idéia audaciosa de um estudioso de Alexandria começou a mudar toda a história da matemática.

Esse estudioso era Diofante de Alexandria, que viveu de 325 a 409 e seus estudos se basearam no uso de símbolos para facilitar a escrita e os cálculos matemáticos. Os Símbolos criados por Diofante fizeram com que as expressões, até então escritas totalmente com palavras, pudessem ser representadas com abreviações.

Diofante viveu numa época muito tumultuada, presenciando, por exemplo, a queda do Império Romano, e isso, não foi nada bom para a matemática, que teve todo um processo de desenvolvimento interrompido devido ao clima de guerra que se criou e principalmente pela destruição de muitos centros de estudos, fazendo com que a simbologia de Diofante não saísse do estágio inicial.

Só no ano de 650 aproximadamente, com a ascensão do Império Árabe, é que houve uma retomada dos estudos matemáticos.

De 786 a 809 no reinado do Califa Harun al-Raschid (o mesmo das mil e uma noites) os muçulmanos conquistaram vários territórios, fazendo surgir grandes cidades, centros de comércio e de artesanato. Todas essas atividades comerciais, as viagens marítimas e através do deserto, provocaram um grande desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos.

Em 809, com a morte de al-Raschid, seu filho al-Mamum assumiu o trono e governou até 833.

al-Mamum criou em Bagdá um centro de ensino e contratou os mais brilhantes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava Mohamed Ibn Musa al-Khowarizmi, grande matemático que escreveu um livro chamado al-jabr, que significa restauração e refere-se a mudança de termos de um lado para outro de uma equação. Provavelmente o termo Álgebra se originou do título desse livro.

al-Khowarizmi, deu sua contribuição, mas como muitos matemáticos de diversas épocas, não conseguiu expressar as equações totalmente em símbolos. Isso só aconteceu 700 anos depois, quando França e Espanha estavam em guerra, e para evitar que seus planos fossem descobertos pelos inimigos tanto franceses com espanhóis, usavam códigos em suas mensagens. Mas os espanhóis não se deram bem com essa estratégia, pois, sempre que um mensageiro de suas tropas era capturado, os franceses rapidamente descobriam seus planos militares.

"Os franceses têm um pacto com o diabo" diziam os espanhóis, até o Papa foi chamado para resolver a questão.

O demônio era François Viète um advogado francês, capaz de decifrar os códigos secretos das mensagens espanholas.

Apaixonado por álgebra, François Viète viveu de 1540 até 1603 e passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática. Por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra.

Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète.

A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète:

1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação;

2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação:

3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficentes da incógnita e os termos independentes (se literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.


A História de Cada Um

ALGARISMOS

No ano de 825 d.C. o trono do Império Árabe era ocupado pelo Califa al-Mamum. Ele tinha interesse que seu reino se transformasse em um grande centro de ensino, onde se pudesse dominar todas as áreas do conhecimento. E para atingir esse objetivo, contratou e trouxe para Bagdá os grandes sábios muçulmanos daquela época.

Entre esses sábios estava al-Khowarizmi, o maior matemático árabe de todos os tempos, e foi destinado a ele a função de traduzir para o árabe os livros de matemática vindos da Índia.

Numa dessas traduções al-Khowarizmi se deparou com aquilo ainda hoje é considerado, a maior descoberta no campo da matemática: O Sistema de Numeração Decimal.
al-Khowarizmi ficou tão impressionado com a utilidade daqueles dez símbolos, que hoje são conhecidos como: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que escreveu um livro explicando como funciona esse sistema.
Através desse livro Sobre a Arte Hindú de Calcular matemáticos de todo o mundo ficaram conhecendo o Sistema Decimal.

O termo algarismo usado para denominar os símbolos de 0 a 9 é uma homenagem a esse matemático árabe que mostrou a humanidade a utilidade desses dez e magníficos símbolos. Observe a semelhança entre algarismo e al-Khowarizmi.


GEOMETRIA

Geometria significa "medida da terra". Mas o que se tem de mais interessante ao se estudar a história, é que os primeiros passos no estudo da geometria foram dados com base numa hipótese falsa. Acreditava-se que a Terra era plana, portanto, todas as pesquisas foram feitas segundo essa crença, mas isso não impediu o desenvolvimento da geometria.

Foi no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides, mestre na escola de Alexandria (Cidade do Egito, famosa por seu farol), que publicou por volta de 325 a.C. Os Elementos, uma obra com treze volumes, propondo um sistema inédito no estudo da Geometria.

Esse trabalho de Euclides é tão vasto que alguns historiadores não acreditaram que fosse obra de um só homem.

Mas essas desconfianças não foram suficientes para tirar o mérito de Euclides o primeiro a propor um método para um estudo lógico da matemática.


GRAU

Em qualquer livro de matemática encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180.

Para entendermos isso, retornaremos ao ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes estavam tentando elaborar um calendário. Nessa época, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo
vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.

Pode-se concluir, então, que para os antigos egípcios e árabes o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia.

Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas, contudo, manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.


METRO

A palavra metro tem origem no grego métron, que significa "o que mede".

O sistema métrico surgiu por volta do ano de 1790. Antes disso, cada povo usava um sistema de unidades diferentes, o que, naturalmente, causava a maior confusão. Por exemplo: o mesmo comprimento era medido em um lugar usando-se jardas e em outro com o uso de palmos. O resultado disso tornava praticamente impossível a comunicação entre os povos.

Para solucionar esse problema, reformadores franceses escolheram uma comissão de cinco matemáticos para que elaborassem um sistema padronizado.
Essa comissão decidiu que a unidade de medida de comprimento se chamaria metro, e que corresponderia a décima milionésima parte da distância do equador terrestre ao polo norte, medida ao longo de um meridiano.

Mas a medida da distância do equador ao polo não era nada prática, tanto que ao efetuarem os cálculos os matemáticos acabaram cometendo um erro. Então em 1875 uma comissão internacional de cientistas foi convidada pelo governo francês para que reconsiderassem a unidade do Sistema Métrico, e dessa vez foi construída uma barra de uma liga de platina com irídio, com duas marcas, cuja distância define o comprimento do metro, e para evitar a influência da temperatura, esta barra é mantida a zero grau centígrado, num museu na Suíça.

Mas os cientistas não pararam por aí, no decorrer do tempo foram sendo propostas novas definições para o metro. A última, e que passou a vigorar em 1983, é baseada na velocidade com que a luz se propaga no vácuo.

Resumidamente, pode-se dizer que um metro corresponde a fração 1/300.000.000 da distância percorrida pela luz, no vácuo em um segundo.


NÚMERO NEGATIVO

Os matemáticos chineses da antigüidade, tratavam os números como excessos ou faltas. Os chineses realizavam cálculos em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos.

Na Índia, os matemáticos também trabalhavam com esses estranhos números. Brahmagupta, matemático nascido no ano 598 d.C., afirmava que os números podem ser entendidos como pertences ou dívidas.

Mas, sem símbolos próprios para que se pudesse realizar as operações, os números absurdos, como eram chamados, não conseguiam se firmar como verdadeiros números..

Depois de várias tentativas frustadas, os matemáticos conseguiram encontrar um símbolo que permitisse operar com esse novo número. Mas como a história da matemática é cheia de surpresas, não poderia de faltar mais uma: Ao observar a prática adotada pelos comerciantes da época, os matemáticos verificaram que se no início do dia, um comerciante tinha em seu armazém duas sacas de feijão de 40 quilogramas cada, se ao findar o dia ele tivesse vendido 7 quilogramas de feijão, para não se esquecer de que naquele saco faltavam 7 quilogramas, ele escrevia o número 7 com um tracinho na frente (-7). Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 quilogramas que restavam, escrevia o número 3 com dois tracinhos cruzados na frente (+3), para se lembrar que naquele saco havia 3 quilogramas a mais de feijão do que a quantidade inicial.

Os matemáticos aproveitaram-se desse expediente e criaram o número com sinal: Positivo (+) ou Negativo (-).


O ZERO

Como surgiu o zero? Para responder essa questão é necessário saber que os hindus foram os criadores do sistema de numeração posicional e que muitos cálculos efetuados por eles eram realizados com a ajuda de um ábaco, instrumento que para a época poderia ser considerado uma verdadeira máquina de calcular.

O ábaco usado inicialmente pelos hindus, consistia em meros sulcos feitos na areia, onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, da direita para a esquerda, o primeiro sulco representava as unidades; o segundo as dezenas e o terceiro as centenas. No exemplo acima temos a representação do número 203, ou seja, 2 centenas mais três unidades.

O Sulco vazio do ábaco, indica que não existe nenhuma dezena. Mas na horas de escrever o número faltava um símbolo que indicasse a inexistência de dezenas.

E, foi exatamente isso que fizeram os hindus, eles criaram o tão desejado símbolo para representar o sulco vazio e o chamaram de Sunya (vazio). Dessa forma, para escrever o número representado no ábaco de areia, escreviam o 2 para as centenas, o 3 para as unidades e entre eles faziam o desenho do sulco vazio, para indicar que não havia no número nenhuma dezena.

Ao introduzir o desenho do sulco vazio entre os dois outros símbolos os hindus criaram o zero que, desde aquela época já se parecia com o que usamos hoje.

co

assine o feed

Postagens

acompanhe

Comentários

comente também

Widget Códigos Blog modificado por Dicas Blogger