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terça-feira, 1 de novembro de 2016

Conjunto

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Conjunto dos Números Naturais

Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado Pela letra N e é formado pêlos números 0, 1, 2, 3, ..., ou sejão:

N = {0; 1; 2; 3; ...}

Um subconjunto de N Muito usado é o conjunto dos números naturais menos zero, ou sejas N - {0} = conjuntos de números naturais positivos, que é representado por N *.

Observações:

* Em N São definidas apenas as Operaçõe de adição e multiplicação;
* Isto é fato porque aeb São Dois números naturais entao a + be b São tambem números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da OPERAÇÃO;
* Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas Operaçõe e distributiva para a multiplicação em N. Veja o artigo Produtos notáveis ​​para maiores Detalhes sobre Essa propriedades, no caso da multiplicação, onde o conjunto universo considerado é o dos números reais, que abordaremos mais baixo, e que São válidas para N;
* Em N a subtração Não é considerada UMA OPERAÇÃO, pois se a diferente de zero faz parte de N o simétrico -a Não existe em N.

Como consequencia, Surge UM novo conjunto para atender Essa necessidade.
Conjunto dos Números inteiros

Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado Pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {..., -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}

No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis ​​que possuem notação própria para representá-los:

1. Conjunto dos inteiros Não negativos: Z + = {0; 1; 2; 3; ...};
2. Conjunto de inteiros positivos Não: Z- = {...; -3; -2; -1; 0};
3. Conjunto de inteiros Não nulos: Z * = {..., -3; -2; -1; 1; 2; 3; ...};
4. Conjunto dos inteiros positivos Z + * = {1; 2; 3; ...};
5. Conjunto de inteiros negativos Z- * = {...; -3; -2; -1}.

Note que Z + = N e, Essa raça, N é UM subconjunto de Z.

Observações:

* No conjunto Z, alemão das Operaçõe e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todos a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;
* Devido a este fato, podemos definir a OPERAÇÃO de subtração em Z: a ​​- b = a + (-b) para todo aeb pertencente a Z;
* Note que a nuca de chamadas Não existe em Z. Em outras palavras, uma vez q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1 / q Não existe em Z;
* Por esta raça Não podemos definir Divisão no conjunto dos números inteiros;
* Outro conceito importante que podemos extrair do conjunto Z é o de divisor. Isto é, o inteiro a é divisor do inteiro b - simbolizado por b | a - se existe UM inteiro c tal que b = ca;
* Os números inteiros pódem ser representados por pontos de umha reta orientada ou eixo, onde temos UM ponto de Origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;
* Cada ponto da reta orientada é denominado de abcissa;
* Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: | x | = x se x> = 0 e | x | = -x se x <0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que | x |> = 0 para qualque número inteiro.

Conjunto dos Números Racionais

O conjunto dos números racionais, simbolizado Pela letra Q, é o conjunto dos números que pódem ser escritos na forma de UMA fração p / q, com peq inteiros quaisquer eq diferente de zero:

Conjunto dos Números Racionais

Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p / 1, entao Z é UM subconjunto de Q. valem tambem para o conjuntos dos números racionais as notações Q * (conjunto dos números racionais Não nulos), Q + (conjunto dos números racionais Não negativos ) e Q- (conjunto dos números racionais Não positivos).

Observações:

* São válidas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;
* Além diss é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todos a / b pertencente a Q, a / b diferente de zero, existe b / a em Q tal que (a / b) (b / a) = 1;
* Decorre da propriedade acima que é possivel definir a OPERAÇÃO de Divisão em Q * da seguinte forma (a / b) :( c / d) = (a / b). (D / c), para quaisquer a, b, ced pertencente a Q;
* Todo número racional p / q pode ser escrito como UM número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como umha dízimo periódica (1/3 = 0,333 ...).

Números irracionais

Como o próprio nome Suger UM número irracional é tudo número Não racional, isto é, todos os número que nao pode ser escrito na forma de UMA fração p / q, onde peq São inteiros eq diferente de zero.

São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e raiz cúbica de 3, ou sejas, nenhum deles pertence a Q.

A título de ilustração vamos demonstrar, Pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 Não faz parte de Q.

Suponho que raiz quadrada de 2 é racional e admite que Posse ser escrita como umha fração irredutível a / b, b diferente de zero:

Demonstração


Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, por isso, a é par. Após a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior Vem que:

Demonstração


Da mesma forma obtemos que b tambem é par, o que é UM absurdo pois a / b é irredutível, ou sejas, aeb São primos entre si, pelo que Ele tem como divisor comum apenas o número 1, ou seja, MDC (a, b ) = 1.

Caso Desejo obter maiores informaçoes sobre as Operaçõe com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática.
Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais, simbolizado Pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:

R = {x | x é racional ou irracional x é}

Dêsse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais São subconjuntos de R.

Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dos reais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.
Conjunto dos Números Complexos

O conjunto dos números complexos, simbolizado pela letra C, foi criado para dar sentido às raízes de índice par de números negativos, com a definição da unidade imaginária i igual a raiz quadrada de -1, e são constituídos de elementos na forma a + bi, onde a e b são reais. Desse fato temos que R está contido em C.
Referências:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

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