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sexta-feira, 28 de outubro de 2016

Juros simples

Calculando juros simples e juros compostos
Calcular juros nem sempre é tarefa fácil. Existem diferentes tipos de juros e cálculos e formulas especíicas para cada um deles. Neste estudo você irá aprender como calcular juros e entender a diferença entre juros simples e juros compostos.
Juros Simples
Juro é a importância cobrada por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro, expressa como porcentagem da soma emprestada.

Noção Intuitiva e Nomenclatura Usual

Em "A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano, durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples".

O raciocínio é:
Se o capital 100 produz 10 em um ano, ent~ao o capital 2.000 produzirá 600 em 3 anos.

Temos os seguintes dados:

O Capital é 99K C = 2:000
A Taxa é 99K i = 10(em % ao ano)
O tempo é 99K t = 5(em anos)
Os juros são 99K J = 600

Observações:
Denominamos juros simples aqueles que não são somados ao capital, durante o tempo em que foi empregado.

Se a taxa "i" for referida ao ano, m^es, dia etc, o tempo "t" também deveria ser tomado correspondentemente em anos, meses, dias, etc.

Para efeito de cálculo o ano é considerado de 12 meses de 30 dias cada.

Técnica Operatória

Os problemas envolvendo juros simples, na verdade são de Regra de três composta, que obedecem ao seguinte esquema;
Grandezas

100... i... l
C... j.... t

Interpretação

Se o capital 100 produz i em 1 ano, então; o capital "c"produzir a "j" em "t" anos.

Quando resolvemos isolando "j", temos:

J = C.i.t
-----
100
Exemplos de cálculo de juros
1. Quanto renderia um capital de R$ 5.000,00 empregando a taxa de 5% a:a, em regime de juros simples, durante 3 anos?

Temos:

C = 5000;
I = 5;
T = 3;

Substituindo os respectivos valores na f ormula, temos:

J = 5000.5.3 = 750
--------
100

Assim, teria um rendimento de R$ 750,00.

2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 à taxa de 36% a:a, durante 6 meses.

Observe que a taxa está expressa em anos, enquanto o tempo em meses. Como devemos trabalhar com as duas grandezas em unidades de tempos iguais, tomaremos o tempo como sendo 6/12 anos.

Assim:



Portanto, os juros são de R$ 1.530,00.

3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de 1% a:m. Como não há concordância entre a taxa e o tempo, devemos fazer algumas modificações para que possamos resolver o problema. Faremos as seguintes transformações.

2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou então: 75/360 anos. Ainda; a taxa 1% ao mês, corresponde a 1% vezes
12 meses, o que dá 12% a.a.



Logo, os juros produzidos são de R$ 625,00
Juros compostos

Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.

Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.
Tempo Data Valor Principal Juros Montante
0 01/01/94 100,00 0 100,00
1 01/02/94 100,00 50,00 150,00
2 01/03/94 150,00 75,00 225,00
3 01/04/94 225,00 112,50 337,50
4 01/05/94 337,50 168,75 506,20
5 01/06/94 506,25 253,13 759,38

Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.

Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:
S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5

Em geral:

Sn = P (1+i)n

onde
Sn Soma ou montante
P Valor Principal aplicado inicialmente
i taxa unitária
n número de períodos da aplicação

Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo.

Montante composto

A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período e do número de períodos n, é dada por:

S = P (1+i)n

Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização composta?

Objetivo: S=2P

Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por:

S=P(1+i)n

Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo

(2,5)n = 2

Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:

n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano
Exercícios de Juros
Resolva os exercícios abaixo:

01. (Cespe/UnB - Chesf/2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5350,00. O valor desse capital é:

Solução:
a) 7050 = C (1+21.i)
b) 5350 = C (1+13.i)
multiplicando (b) por 21/13 temos
b’)112350/13 = 21.C/13 - 21.C.i
Somando b’ com a:
204000 = 21.C+13.C → 34C = 204000 →
C = 6000, alternativa D.

02. (Cespe/UnB - Chesf/2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investirtodo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações x, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é:

Solução:
Cx + Cy = 6000
com ix = 0.07 a.a e iy = 0.09 a.a.
Jx + Jy = 500
Cx* 0.07 * 1 + Cy * 0,09 * 1 = 500
como Cy = 6000 - Cx
Cx* 0.07 + (6000 - Cx) * 0,09 = 500
Cx* 0.07 + 540 - 0.09 * Cx= 500
Cx = 2000, alternativa C.

03. (Cespe/UnB - Chesf/2002) No sistema de juros compostos com capitalização anual, um capital de R$ 20.000,00, para gerar em dois anos um montante de R$ 23.328,00, deve ser aplicada a uma taxa:

Solução:
t = 1; C = 20000; n = 2; M = 23328
23328 = 20000*(1+i)²
1.1664 = (1+i)²
i = 0.08
taxa é de 8% a.a.

04. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Se um capital aplicado a juros simples durante seis meses à taxa mensal de 5% gera, nesse período, um montante de R$ 3250,00, então o capital aplicado é menor que R$ 2600,00.

Solução:
n = 6; i=0,05; M=3250;
3250 = C*(1+0,05*6)
C=2500
Verdadeiro, C é menor que R$ 2600.

05. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Suponha que uma pessoa aplique R$ 2000,00 por dois meses, a juros compostos com uma determinada taxa mensal, e obtenha um rendimento igual a R$ 420,00, proveniente dos juros. Se essa pessoa aplicar o mesmo valor por dois messes a juros simples com a mesma taxa anterior, ela terá, no final desse período, um montante de R$ 2.400,00.

Solução:
Aparentemente se quer saber qual foi a taxa de juros mensal aplicada, i.
Na primeira aplicação podemos dizer que
420 = 2000 [(1+i)² - 1]
e na segunda aplicação temos
2400 = 2000 (1+2.i)
como descobrir i na segunda equação é mais fácil:
1 + i.2 = 1.2 → i . 2 = 1.2 → i = 0.1
E de fato, substituindo o valor de i na primeira equação, chegamos em uma verdade.
420 = 2000 [(1+0.1)² - 1] → 420 = 2000 * 0.21 → 420 = 420

06. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Considereque um capital de R$ 4000,00 ficou aplicado por 2 meses à taxa de juros compostos de 10% a.m. Se o montante obtido foi corrigido pela inflação do período obtendo-se um total de R$ 5082,00, então a inflação do período foi superior a 7%.

Solução:
C=4000; n=; i=0,1 a.m.
M = 4000.(1+0.1)²
M = 4000*1,21
M = 4840

A correção da inflação, que eu chamei de f, é no regime de juros compostos:
5082 = 4840 * (1+f)²
(1+f)² = 1.05
f=0,0247
A inflação foi de 2,47% ao mês.

07. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Considere o capital de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 6% a.m. e sejam M1, M2, …, Mn os montantes gerados por esse capital após o 1º mês, 2º mês, respectivamente. Então os montantes M1, M2, …, Mn, formam uma progressão geométrica de razão igual a 1,06.

Solução:
M1 = 5000 * (i+0.06)¹
e
M2 = 5000 * (i+0.06)² → M2 = 5000 * (1.06)*(1.06)
M2 = M1*(1+0.06)
da mesma maneira M3:
M3 = 5000 * (1.06)³ → M3 = 5000 * (1.06)² * (1.06)
M3 = M2*(1.06)
Logo podemos definir M como uma progressão geométrica onde:
a1 = 5300; q = 1.06
an = an-1*1.06; para n > 1

08. (Cespe/Unb - Docas/PA) Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,0. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros simples de 3% a.m. O restante, Mário, aplicou no banco BM, também pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% a.m. Considerando que, ao final do período, Mário obteve R$ 4500 de juros das duas aplicações, julgue os seguintes itens:

a) A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4000,00.
b) Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD.
c) Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco DB foi superior a R$ 8000,00.

Solução:
CBD + CBM = 10000
iBD = 0.03 a.m; iBM = 0.05 a.m; n=12 meses
JBD + JBM = 4500

Como M = C * (1+i*n) → M-C = C * (1+i*n)-C → J = C * (1+i*n)-C → J = C * (i*n) então
JBD = CBD * (iBD*n)
JBD = CBD * (0.03*12)
JBD = CBD * 0.36

Da mesma forma para o banco BM:
JBM = CBM * 0.6

somando as duas equações temos que:
JBD + JBM = CBD * (0.36) + CBM * (0.6)

mas JBD + JBM = 4500 então:
4500 = CBD * 0.36 + CBM * 0.6

mas CBD = 10000 - CBM então:
4500 = (10000 - CBM) * 0.36 + CBM * 0.6
4500 = 3600 - CBM * 0.36 + CBM * 0.6
4500 - 3600 = CBM * 0.24
CBM = 3750

logo a alternativa a) é falsa.

Para achar os juros:
JBM = CBM * 0.6
JBM = 3750 * 0.6
JBM = 2.250

e como JBD + JBM = 4500 então
JBD = 4500 - 2250
JBD = 2250
logo a alternativa b) é falsa.

Quanto ao montante da aplicação no banco BD:
CBD + CBM = 10000
CBD = 10000 - 3750
CBD = 6250

MBD = CBD + JBD
MBD = 6250 + 2250
MBD = 8500

portanto a alternativa c) é verdadeira.

09. (Cespe/Unb - Docas/PA) Julgue os itens que se seguem:

a) Considere a seguinte situação hipotética “Carlos aplicou R$ 5.000,00 em uma instituição financeira à taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados mensalmente” Nessa situaçã, ao final de 2 meses, sessa aplicação renderá para Carlos um montante superior a R% 5.300,00.

b) A taxa semestral de juros compostos equivalente à taxa de 21% a.a. é inferior a 11%.

Solução:
Na alternativa a:
C=5.000,00; i = 2% a.m; t = mensal;
M = 5000 * (1.02)²
M = 5202
Alternativa a) é falsa.

Na alternativa b:
1.21 = (1+i)²
i = 0.1 = 10% ao semestre.
Alternativa b) é verdadeira.

10. (Cespe/Unb - TRT 6º Região ) José dispõe de R$ 10,000, para aplicar durante três meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento:

* I - 2% de juros simples ao mês
* II - 1% de juros compostos ao mês
* III - resgate de R$ 10.300,00, no final de um período de três meses.

Com relação à situação hipotética apresentada acima e considerando que, uma vez aplicado o dinheiro, não seja feita retirada alguma antes de três meses, julgue os itens seguintes:

* a) Se João optar pela proposta I, ele terá, no final do 1º mês, R$10.200,00.
* b) Se João optar pela proposta I, ele terá, no final do 2º mês, mais de R$10.350,00.
* c) Se João optar pela proposta II, ele ter, no final do 2º mês, mais de R$10.200,00.
* d) Se João optar pela proposta III, ele terá aplicado seu dinheiro a uma taxa de juros igual a 3% ao trimestre.
* e) Para João, a proposta financeiramente menos favorável é a III.

Solução:
C = 10000; n =3
iI = 0,02

Na proposta I, no final do primeiro mês:
MI = 10000 * (1+0,02*1)
MI = 10.200

Na proposta I, no final do segundo mês:
MI = 10000 * (1+0,02*2)
MI = 10.400

Logo a alternativa a) é b) são verdadeiras.

Na proposta II, no final do segundo mês:
iII = 0,01
MII = 10.000 * (1+0,01)²

MII = 10201

Então a alternativa c) também é verdadeira.

Na proposta III:
10300 = 10000*(1+i)
(1+i) = 10300/10000
(1+i) = 1,03
i=0,03
Como i foi 3% ao semestre, então a alternativa d) também é verdadeira.

Olhando para todas as opções de investimento temos

* MI = 10.600
* MII = 10.303,01
* MIII = 10.300

Então a alternativa e) também é verdadeira.

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