Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Solução:
Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:
(1) a1 = g1 = 4
(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3
(3) a2 = g2 + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:
(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2
(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:
(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2
(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0
=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):
r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6
Para concluir calculamos a3 e g3:
a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16
g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16
Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
Solução:
Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2
(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2
=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b). Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a: a) 58 b) 59 c) 60 d) 61 e) 62 Solução: Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: (1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1 Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: •Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2; •se n é par temos n = 2i ou i = n/2. Daqui e de (1) obtemos que: an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar an = 8 + (n/2) – 1 se n é par Logo: a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22 e a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37 E portanto: a30 + a55 = 22 + 37 = 59 Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que: a) ac = b2 b) a + c = 2 c) a + c = b2 d) a = b = c e) ac = 2b Solução: A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é: (1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)
(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)
De (1) e (2) vem:
a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0
Para que o produto seja igual a zero:
ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas
Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.
Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4
Solução:
Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4
Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
Solução:
Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:
S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:
15 + 6 = 20 + 1 = 21
E, portanto:
a6 + a15 = a1 + a20
Substituindo este valor na primeira igualdade vem:
20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15
=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5
Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:
a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192
Solução:
Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:
a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2
Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:
a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96
Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.
Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.
Solução:
Sabemos que:
(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912
Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:
(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2
Substituindo (2) em (1):
(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:
n1 = 26 e n2 = -28
Como n > 0, a resposta é 26.
Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?
Solução:
Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que: Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência: Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11. Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra. Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas. Solução: Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que: b = a – 6 e c = a – 3 Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que: a2 = b2 + c2 => a2 = (a – 6)2 + (a – 3)2
Resolvendo os produtos notáveis:
a2 = a2 – 12a + 36 + a2 – 6a + 9 = 2a2 – 18a + 45
=> a2 – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3
Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:
a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12
E a PA é:
(9; 12; 15).
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Solução:
Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:
(1) a1 = g1 = 4
(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3
(3) a2 = g2 + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:
(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2
(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:
(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2
(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0
=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):
r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6
Para concluir calculamos a3 e g3:
a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16
g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16
Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
Solução:
Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2
(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2
=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b). Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a: a) 58 b) 59 c) 60 d) 61 e) 62 Solução: Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: (1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1 Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: •Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2; •se n é par temos n = 2i ou i = n/2. Daqui e de (1) obtemos que: an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar an = 8 + (n/2) – 1 se n é par Logo: a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22 e a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37 E portanto: a30 + a55 = 22 + 37 = 59 Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que: a) ac = b2 b) a + c = 2 c) a + c = b2 d) a = b = c e) ac = 2b Solução: A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é: (1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)
(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)
De (1) e (2) vem:
a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0
Para que o produto seja igual a zero:
ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas
Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.
Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4
Solução:
Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4
Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
Solução:
Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:
S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:
15 + 6 = 20 + 1 = 21
E, portanto:
a6 + a15 = a1 + a20
Substituindo este valor na primeira igualdade vem:
20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15
=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5
Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:
a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192
Solução:
Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:
a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2
Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:
a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96
Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.
Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.
Solução:
Sabemos que:
(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912
Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:
(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2
Substituindo (2) em (1):
(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:
n1 = 26 e n2 = -28
Como n > 0, a resposta é 26.
Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?
Solução:
Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que: Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência: Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11. Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra. Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas. Solução: Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que: b = a – 6 e c = a – 3 Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que: a2 = b2 + c2 => a2 = (a – 6)2 + (a – 3)2
Resolvendo os produtos notáveis:
a2 = a2 – 12a + 36 + a2 – 6a + 9 = 2a2 – 18a + 45
=> a2 – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3
Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:
a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12
E a PA é:
(9; 12; 15).
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