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domingo, 16 de outubro de 2016

Fatoração

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica


Exemplo 19) Fatore c2 - 2bc - a2 + b2

Reagrupando o polinômio, teremos : b2 - 2bc + c2 - a2 = (b2 - 2bc + c2) - a2

O trinômio b2 - 2bc + c2 pode ser fatorado como : (b - c)2

E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrados (b - c)2 - a2, e finalmente, teremos :

(b - c)2 - a2 = (b - c + a) (b - c - a)

Exemplo 20) Fatore: 5m8 + 10m4 - 15

Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:

5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3)

O trinômio m8 + 2m4 - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.
E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pela raiz quadrada m4 de m8.

Dessa forma, teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3) = 5(m4 + 3) (m4 - 1)

E como (m4 - 1) = (m2 + 1) (m2 - 1) , e como (m2 - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m4 + 3)(m2 + 1)(m + 1)(m - 1)

Exemplo 21) Fatore: (x - y)2 + 2(y - x) - 24

Antes de mais nada, lembremos que (x - y)2 = (y - x)2 ( verifique se isso é verdade )

Com isso podemos escrever a expressão dada como : (y - x)2 + 2(y - x) - 24

Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoração, chamemos o binômio (y - x) de A, então :

(y - x)2 + 2(y - x) - 24 = A2 + 2A - 24

O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.
Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 têm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparece multiplicada pela raiz
quadrada A de A2.

E assim : A2 + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y)2 + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y - x - 4)

Exemplo 22) Fatore x6 - y6

1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos

Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y6 é y2. Assim já temos o nosso primeiro fator x2 - y2
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x2 é x4 ; o produto entre x2 e y2 é x2y2 e o quadrado do
segundo é y2 é y4.

E dessa forma, teremos:

x6 - y6 = (x2 - y2) ( x4 + x2y2 + y4). Como a diferença de quadrados (x2 - y2) ainda pode ser fatorado, teremos :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x4 + x2y2 + y4).

Se escrevermos o trinômio ( x4 + x2y2 + y4) de uma outra forma, perceberemos que ele também poderá ser fatorado. Vejamos :

x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2, que é uma diferença de dois quadrados.

Assim : (x2 + y2)2 - x2y2 = ( x2 + y2 + xy) ( x2 + y2 - xy) = ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2). E finalmente :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma diferença de dois quadrados.

A raiz quadrada de x6 é x3 e a raiz quadrada de y6 é y3.

Assim já temos o nosso primeiro fator (x3 + y3) e o segundo fator (x3 - y3).

Assim, teremos : x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) .
Como a soma e a diferença de dois cubos (x3 + y3) e (x3 - y3) ainda podem ser fatorados, teremos :

x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) = (x + y) ( x2 - xy + y2) (x - y) ( x2 + xy + y2) , ou ainda :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE

Sempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar o sinal de identidade
que é uma ampliação do conceito de igualdade.

Vamos entender melhor essa diferenciação:

Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença.
Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.

Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentença verdadeira.
Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade .

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