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quarta-feira, 7 de setembro de 2016

Anagrama

O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema.

Exemplo 1

Vamos determinar os anagramas da palavra:

a) ESCOLA
A palavra possui 6 letras, dessa forma, basta determinarmos o valor de 6! (seis fatorial).
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

b) ESCOLA que inicia com E e termina com A.
E ___ ___ ___ ___ A
Vamos permutar as 4 letras não fixas.
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24


Exemplo 2

a) Determinar os anagramas da palavra REPÚBLICA.
A palavra possui 9 letras, então devemos calcular 9!.
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362.880

b) REPÚBLICA que inicia com R e termina com A.
R ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ A
Vamos permutar as 7 letras não fixadas.
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040


Exemplo 3

Determinar os anagramas da palavra CONQUISTA, que tem as letras CON juntas e na mesma ordem: C O N ___ ___ ___ ___ ___ ___ .
Temos 6 letras não fixadas que permutarão entre si, e a expressão CON que se unirá às permutações.
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040


Exemplo 4

A palavra MATEMÁTICA é formada por 10 letras. Determine o número possível de anagramas dessa palavra.
Temos 10 letras que serão permutadas entre si, portanto:

10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800

A palavra MATEMÁTICA possui 3.628.800 anagramas.

Exemplo 5

Quantas palavras de 3 letras podemos formar com as letras O, L e A? Quais são essas palavras? As palavras não precisam necessariamente terem siginificado.

A quantidade de palavras será dada por 3!
3 * 2 * 1 = 6 palavras

As palavras são:

OLA
OAL
ALO
AOL
LOA
LAO
Os agrupamentos formados nos exercícios de análise combinatória podem ser considerados Arranjos simples. Será assim classificado se levarmos em consideração a ordem de seus elementos, ou seja, se os agrupamentos forem diferentes entre si pela ordem de seus elementos.

Por exemplo, vamos considerar dois agrupamentos dos números divisíveis por 3, de 5 algarismos formados com os elementos (algarismos) do conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Os números 12345 e 54321 são divisíveis por 3 e possuem 5 algarismos do conjunto A. E os algarismos utilizados na construção desses números são iguais, mas estão dispostos em ordens diferentes, tornando-os diferentes entre si. Portanto, esse exercício de análise combinatória é um exemplo de arranjo simples.

Quando os agrupamentos de um exercício de análise combinatória forem caracterizados como Arranjos simples, para calcular a quantidade de agrupamentos formados não é preciso esquematizar todos eles, basta utilizar a seguinte fórmula:

A n,p = n!
(n – p)!

n é a quantidade de elementos do conjunto.
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a união dos elementos na formação dos agrupamentos.

Assim, podemos definir arranjo simples como sendo:

Dado um conjunto qualquer com n elementos e um valor para natural p. Será formado um arranjo simples de p elementos distintos de um conjunto qualquer seqüência formada por p elementos do conjunto.


Exemplo:

Considere o conjunto I = {a,b,c,d}:
• Quantos são os arranjos simples dos elementos de I, tomados dois a dois?
Como o exercício já informou que se trata de um arranjo simples, devemos retirar os dados e aplicá-los na fórmula.

n = 4
p = 2

A n,p = n!
(n – p)!

A 4,2 = 4!
(4 – 2)!

A 4,2 = 4 . 3 . 2!
2!

A4,2 = 4 . 3

A4,2 = 12
Combinação simples é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações simples se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza.

Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?

Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos formados nesse exercício são combinações.

As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos.

Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:

ABC, BAC, CAB, DAB
ABD, BAD, CAD, DAC
ACB, BCA, CBA, DBA
ACD, BCD, CBD, DBC
ADB, BDA, CDA, DCA
ADC, BDC, CDB, DCB

Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.

Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:

Cn,p = n!
p! (n – p)

n é a quantidade de elementos de um conjunto
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.

Substituindo os dados acima na fórmula teremos:

n = 4
p = 3
C4,3 = 4!
3! (4-3)!


C4,3 = 4 . 3!
3! . 1

C4,3 = 4
Pra descobrir se o exercício é de arranjo ou combinação é preciso que montemos pelo menos um dos agrupamentos (reta).
Uma reta é formada por, no mínino, 2 pontos, como os pontos não são colineares podemos unir qualquer ponto, assim podemos dizer que (A,B) é um agrupamento, se trocarmos a ordem dos seus elementos (B,A) a reta (agrupamento) continua sendo a mesma, portanto, esse exercício será resolvido por combinação.

Assim, aplicamos a fórmula da combinação, sendo que n = 9 e p = 2.

C9,2 = 9!
2! (9-2)!

C9,2 = 9 . 8 . 7!
2 . 1 . 7!

C9,2 = 72
2

C9,2 = 36

Serão formados com os 9 pontos da circunferências 36 retas.
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4 comentários:

  1. Antonio, no exemplo 4, que fala sobre os anagramas da palavra MATEMÁTICA, não seria com repetição, tipo P ^ 2,3,2 10 (permutação de 10 elevado a 2 (M = duas vezes), elevado a 3 (A = três vezes) e elevado a 2 (T= duas vezes)? Encontrei 151.200 como resposta.

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  2. Eu também,obrigada por falar o que encontrou,estava na dúvida se estava certo ou não ����

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  3. Sim, esqueceu de dividir por 24.
    , pois para dar o resultado correto seria 3628800/24 = 151200

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  4. Quantos anagramas da palavra ESCOLA que não iniciem por E?

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