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segunda-feira, 28 de abril de 2014

Expressões Algébricas



Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com



Elementos históricos

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abacci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.

O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli ( autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.


Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números.

Exemplos:

a = 7 + 5 + 4

b = 5 + 20 - 87

c = (6 + 8) - 10

d = (5 x 4) + 15


Expressões algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.

Exemplos:

A = 2a + 7b

B = (3c + 4) - 5

C = 23c + 4

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.


Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

(1) Potenciação ou Radiciação

(2) Multiplicação ou Divisão

(3) Adição ou Subtração

Observações quanto a prioridade:

(1) Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.

(2) A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto . ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.

(3) Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.

Exemplos:

(1) Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim

P = 2.5+10 = 10+10 = 20

Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:

A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28

Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.

(2) Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo:

X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22

Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X = 4A + 2 + B - 7, é igual a 28.

(3) Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Então:

Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14

Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.

Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
Monômios e polinômios

São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:
Nome No.termos Exemplo
monômio um m(x,y) = 3 xy
binômio dois b(x,y) = 6 x²y - 7y
trinômio três f(x) = a x² + bx + c
polinômio vários p(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an


Identificação das expressões algébricas

Muitas vezes as expressões algébricas aparecem na forma:

3x2y

onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:

p(x,y) = 3x2y

para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.

Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.


Valor numérico de uma expressão algébrica identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Exemplo: Se p(x,y)=3x2y, então para x=7 e y=2 temos que:

p(7,2) = 3 x 72 x 2 = 294

Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:

p(-1,5) = 3 x (-1)2 x 5 = 3 x 5 = 15

mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:

p(7,2) = 3 x (-7)2 x 2 = 294


A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)

(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1
(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1
(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1
(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1


Regras de potenciação

Para todos x e y em R-{0} e m e n números inteiros, tem-se que:
Propriedades Alguns exemplos
xº=1 (x não nulo) 5º = 1
xm xn = xm+n 5².54 = 56
xm ym = (xy)m 5² 3² = 15²
xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (x/y)m 5² ÷ 3² = (5/3)²
(xm)n = xmn (53)² = 125² = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
x-m = 1 ÷ xm 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2


Eliminação de parênteses em Monômios

Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.

Exemplos:

A = -(4x) + (-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x) + (+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x) + (-7x) = 4x-7x = - 3x
D = +(4x) + (+7x) = 4x+7x = 11x


Operações com expressões algébricas de Monômios

1. Adição ou Subtração de Monômios

Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.

Exemplos:

1. A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x

2. B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x

3. C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x

4. D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x


2. Multiplicação de Monômios

Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²

2. B = -(4x²y).(+2xy) = -8x³y²

3. C = +(4x²y).(-2xy) = -8x³y²

4. D = +(4x²y).(+2xy) = +8x³y²


3. Divisão de Monômios

Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x

2. B = -(4x²y)÷(+2xy) = -2x

3. C = +(4x²y)÷(-2xy) = -2x

4. D = +(4x²y)÷(+2xy) = 2x


4. Potenciação de Monômios

Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6 y³

2. B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6 y³


Alguns Produtos notáveis

1. Quadrado da soma de dois termos

Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que

x² + y² = (x+y)²

a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.

Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:
x+y
x+y
+xy+y²
x²+xy
x²+2xy+y²
Compare
as duas
operações
10+3
10-3
+10.3+3²
10²+10.3
10²+2.10.3+3²

Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

(x+y)² = x² + 2xy + y²


Exemplos:

(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²
(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25

Exercícios: Desenvolver as expressões:

(a+8)² =
(4y+2)² =
(9k/8 +3)² =


Pensando um pouco:

1. Se (x+7)²=x²+[ ]+49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?

2. Se (5a+[ ])² = 25a²+30a+[ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?

3. Se ([ ]+9)² = x²+[ ]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?

4. Se (4b+[ ])² = l6b²+36b+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.

5. Se (c+8)²=c²+[ ]+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.


2. Quadrado da diferença de dois termos

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:

(x-y)² = x² - 2xy + y²


Exemplos:

(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²
(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²


Exercícios: Complete o que falta.

(5x-9)² =[ ]
(k-6s)² =[ ]
(p-[ ])² = p²-10p+[ ]


3. Produto da soma pela diferença de dois termos

Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
x+y
x-y
-xy-y²
x²+xy
x² -y²
Compare
as duas
operações
10+3
10-3
-10.3-3²
10²+10.3
10² - 3²

Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.

(x+y)(x-y) = x² - y²


Exemplos:

(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4
(g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64
(k-20)(k+20) = k²-400
(9-z)(9+z) = 81-z²


Exercícios: Complete as expressões:

(6-m)(6+m) =
(b+6)(b-6) =
(6+b)(b-6) =
(6+b)(6-b) =
(100-u)(100+u) =
(u-100)(100+u) =
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