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sábado, 19 de novembro de 2016

Logaritmo

Definição

Dados a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, definimos logaritmo de b na base a, o número x, cuja potência de grau x de a é igual a b. Ou seja:
Definição de Logaritmo
Observações e consequências da definição:
  1. Na expressão a esquerda a é denominado a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo;
  2. Como a e b são ambos positivos e a é diferente de 1, existe um único valor de x que satisfaz a primeira igualdade na expressão acima;
  3. Decorre da definição de logaritmo que loga1 = 0, pois a0 = 1. Em outras palavras, que o logaritmo de 1 em qualquer base é igual 0;
  4. Do mesmo modo, observe que logaa = 1, uma vez que a potência de grau 1 de a é o próprio a. Ou seja, que o logarítmo da base, qualquer que seja a base satisfazendo, claro, as condições da definição, é igual a 1;
  5. Substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que alogab = b;
  6. logab = logac <=> b = c. Decorrência direta da definição (b = alogac) e do fato acima (alogac = c). Traduzindo: dois logaritmos em um mesma base são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais;
  7. Note que de 6. pode-se afirmar, ainda, que em uma igualdade ao se aplicar o logaritmo aos seus membros essa igualdade não se altera;
  8. Ao conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (a > 0 e diferente de 1), denominamos de sistema de logaritmos de base a;
  9. Entre a infinidade de sistemas de logaritmos de base a, dois são particularmente importantes: o sistema de logaritmo decimais ou de base 10 e o sistema de logaritmo neperiano (também chamado de sistema de logaritmos naturais) ou de base e (e = 2,71828…, irracional);
  10. O logaritmo decimal é representado pela notação log10x ou simplesmente log x. E o neperiano por logex ou ln x;
  11. Fato histórico 1: Henry Briggs, Matemático Inglês (1561-1630) foi quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10, publicando a primeira tabela (ou tábua) de logaritmos de 1 a 1000 em 1617;
  12. Fato histórico 2: O nome neperiano vem de John Neper, Matemático Escocês (1550-1617), autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural é devido ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e.
Exemplos:
Exemplos da Definição de Logaritmo

Antilogaritmo

Sejam a e b dois números reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de b na base a é igual a x, então b é o antilogaritmo de x na base a. Em símbolos:
Definição de Antilogaritmo
Exemplos:
Exemplos de Antilogaritmo

Propriedades dos Logaritmos

L1. O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual a soma dos logaritmos dos fatores. Isto é:
Propriedade L1
Demonstração:
Fazendo z = loga(b.c) temos, usando a definição de logaritmo, que:
az = b.c
Daqui, obtemos pela observação 5. acima:
az = alogab.alogac => az = alogab+logac => z = logab + logac
Substituindo z na última igualdade fica concluída a demonstração.
Uma outra forma, também simples e similar a anterior, de demonstrar a propriedade L1 é esboçada a seguir. Fazendo:
z = loga(b.c), x = logab e y = logac
vamos provar que z = x + y.
Aplicando a definição de logaritmo nas expressões acima obtemos, respectivamente:
az = bc, ax = b e ay = c
Substituindo b e c na primeira igualdade vem que:
az = axay => az = ax+y => z = x + y
A propriedade L1 é válida para o logaritmo do produto de n fatores (n > 2) reais e positivos, ou seja:
loga(b1.b2. … .bn) = logab1 + logab2 + … + logabn
A prova pode ser feita utilizando-se o método de indução sobre n, que consiste em:
  • demonstrar que é verdadeira para n = 2 – já feita;
  • supor que é válida para n = p > 2 e demonstrar que é verdadeira para n = p + 1.
Deixo para vocês a demonstração com a seguinte dica: agrupar como produto de dois fatores de modo a aplicar L1 e após utilizar a hipótese para n = p.
L2. O logaritmo do quociente de dois números reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor nessa mesma base. Em símbolos:
Propriedade Logaritmos - L2
Demonstração:
De maneira semelhante à adotada na propriedade L1, fazendo z = loga(b/c) obtemos:
Demonstração Propriedade L1 - Logaritmos
Como consequência direta da propriedade L2 temos que:
Corolário Propriedade L2

Cologaritmo

Dados a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1, define-se cologaritmo de b na base a ao oposto do logaritmo de b nessa base a. Ou seja:
cologab = -logab = loga(1/b)
L3. O logaritmo da potência de grau x de b em qualquer base a (a, b reais positivos, x real e a diferente de 1) é igual ao produto do expoente x pelo logaritmo de b na base a. Em símbolos:
Propriedade L3 do Logaritmo
Demonstração:
Novamente fazemos uso do procedimento utilizado na demonstração das propriedades anteriores:
Propriedade L3 - Logaritmo
Fica como exercício a demonstração das propriedades L2 e L3 com o uso da segunda técnica adotada para provar a propriedade L1.
Como consequência da propriedade L3 temos que: o logaritmo da raiz de índice n de b na base a é igual ao produto do inverso do índice n pelo logaritmo do radicando na base a, i.e.:
Logaritmo - Corolário Propriedade L3

Observações sobre as Propriedades L1, L2 e L3

  • São válidas somente quando temos expressões logarítmicas que envolvam as operações de multiplicação, divisão e potenciação;
  • Essas propriedades não permitem obter o logaritmo de uma soma ou diferença [loga(b + c) ou loga(b - c)]. Nestes casos, será necessário primeiro obter o valor da soma ou da diferença.

Mudança de Base

É muito comum, e você já deve ter se deparado com o fato, ter expressões ou equações logarítmicas em que seus membros estejam em bases diferentes.
Como na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos em uma mesma base é fundamental saber como isto é feito.
Você deve se lembrar (se não, volte às observações) que no início deste artigo mencionei como importante o sistema de logaritmo decimais ou de base 10, para o qual foi construída, pelo matemático Henry Briggs, uma tábua de logaritmos que possibilita determinar o seu valor para qualquer número real positivo.
Não abordaremos aqui os conceitos de mantissa e característica do logaritmo decimal utilizados para determinar seu valor com o auxílio da tabela. Fica apenas o registro de sua importância no uso das propriedades de mudança de base que apresentamos a seguir.
L4. Dados a, b e c números reais positivos, com a e c diferentes de 1, tem-se que:
Logaritmo -  Propriedade L4
Demonstração:
Fazendo logab = x, logcb = y e logca = z provemos que x = y/z (note que z é diferente de zero, pois por definição a é diferente de 1). De fato:
Demonstração Propriedade L4
Como consequência da propriedade L4 temos:
  1. logab = logcb.logac: a demonstração é feita transformando logcb para a base a no segundo membro da igualdade;
  2. logab = 1/logba: transforme logab para a base b.

Exercícios Resolvidos

1. Resolver a equação 3x = 7 (lembra-se, a do início do artigo):
Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:
log 3x = log 7
Pela propriedade L3:
x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771
2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?
Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de juros compostos cuja fórmula é:
Juros Compostos
onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.
Solução:
Sejam M1 e M2 os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:
M1 = 50000(1 + 0,05)t e M2 = 45000(1 + 0,06)t
Temos que determinar o tempo para que M1 = M2. Assim:
Solução Exercício 2
Referência:
  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

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