Pular para o conteúdo principal

Teoria dos Conjuntos

A Teoria dos conjuntos é a teoria matemática dedicada ao estudo da associação entre objetos com uma mesma propriedade, elaborada por volta do ano de 1872. Sua origem pode ser encontrada nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845-1918), os quais buscavam a mais primitiva e sintética definição de conjunto. Tal teoria ficou conhecida também como “teoria ingênua” ou “teoria intuitiva” por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) associados à ideia central da própria teoria. Tais antinomias levaram a uma axiomatização das teorias matemáticas futuras, influenciando de modo indelével as ciências da matemática e da lógica. Mais tarde, a teoria original receberia complementos e aperfeiçoamentos no início do século XX por outros matemáticos.

O conhecimento prévio de tal teoria serve como base para o desenvolvimento de outros temas na matemática, como relações, funções, análise combinatória, probabilidade, etc.

Como definição intuitiva de conjuntos, dadas por Cantor, surgiam em sua teoria exemplos como:

1. um conjunto unitário possui um único elemento
2. dois conjuntos são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos
3. conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento
4. Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Um conjunto finito pode ser definido reunindo todos os seus elementos separados por vírgulas. Já um conjunto infinito pode ser definido por uma propriedade que deve ser satisfeita por todos os seus membros.

A ideia de conjunto era um conceito primitivo e auto explicativo de acordo com a teoria; não necessitaria de definição.
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração de seus elementos é denominada “forma de listagem”. Poderia-se representar o mesmo conjunto por uma determinada propriedade de seus elementos, sendo x, por exemplo, um número qualquer do conjunto Z representado abaixo:

Z = {1,3,5,7,9,11, … }

teríamos, concluindo:

Z = { x | x é ímpar e positivo } = { 1,3,5, … }.

Merece destaque outras relações básicas, que independem de um cálculo matemático mais complexo, utilizando-se lógica básica e pura. São exemplos desta afirmação as relações a seguir:

1 – Pertinência, que estabelece se um elemento pertence ou não pertence a um conjunto pré-estabelecido:

- dado um número x, caso ele pertença ao conjunto, escrevemos x ∈ A, ou “x” pertence ao conjunto A
- caso “x” não pertença ao conjunto, registra-se x ∉ A
- um conjunto sem elementos é um conjunto vazio, representado pela letra grega φ (phi)

2 – Subconjunto:

Caso todo o elemento do conjunto A pertença também ao conjunto B, sem que todos os elementos deste segundo grupo pertençam todos a B, diremos que “A é subconjunto de B”: A ⊂ B

3 – Conjuntos numéricos fundamentais:

Trata-se de qualquer conjunto cujos elementos são números, entre eles, o conjunto de números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6…}; o conjunto de números inteiros Z = {…, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,… } (sendo que N ⊂ Z); conjunto de números racionais Q = { 2/3, -3/7, 0,001, 0,75, 3, etc.) (sendo que N ⊂ Z ⊂ Q); conjunto de números irracionais, etc.

4 – União

Ocorre união quando o conjunto união contempla todos os elementos de dado conjunto A ou de dado conjunto B.

Exemplo: {0,1,3} ∪ { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}

Assim, através de suas numerosas combinações, que fornecem poderosa ferramenta para a construção da matemática de base axiomática, apesar de seu conteúdo predominantemente dedutivo, logo surgiu o “Paradoxo de Russel”, que é a contradição mais famosa da teoria dos conjuntos.

Bibliografia:
http://www.dcc.ufam.edu.br/~ruiter/afc/node1.html - página do Departamento de Ciência da Computação da UFAM – Teoria dos Conjuntos
http://www.paulomarques.com.br/arq1-1.htm – Página “Matemática do Científico e Vestibular”, de Paulo Marques – Noções de conjuntos

Comentários

Postagens mais visitadas deste blog

EQUAÇÃO DE 1° GRAU

EQUAÇÃO DE 1° GRAU SENTENÇAS Uma sentença matemática pode ser verdadeira ou falsa exemplo de uma sentença verdadeira a) 15 + 10 = 25 b) 2 . 5 = 10 exemplo de uma sentença falsa a) 10 + 3 = 18 b) 3 . 7 = 20 SENTEÇAS ABERTAS E SENTENÇAS FECHADAS Sentenças abertas são aquelas que possuem elementos desconhecidos. Esses elementos desconhecidos são chamados variáveis ou incógnitas. exemplos a) x + 4 = 9 (a variável é x) b) x + y = 20 (as variáveis são x e y) Sentenças fechada ou são aquelas que não possuem variáveis ou incógnitas. a) 15 -5 = 10 (verdadeira) b) 8 + 1 = 12 (falsa) EQUAÇÕES Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade exemplos a) x - 3 = 13 ( a variável ou incógnita x) b) 3y + 7 = 15 ( A variável ou incógnita é y) A expressão à esquerdas do sinal = chama-se 1º membro A expressão à direita do sinal do igual = chama-se 2º membro RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL O processo de res

VALOR NÚMERICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA

Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo: 1º Substituir as letras por números reais dados. 2º Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem: a) Potenciação b) Divisão e multiplicação c) Adição e subtração IMPORTANTE! Convém utilizar parênteses quando substituímos letras por números negativos Exemplo 1 Calcular o valor numérica de 2x + 3a para x = 5 e a = -4 2.x+ 3.a 2 . 5 + 3 . (-4) 10 + (-12) -2 Exemplo 2 Calcular o valor numérico de x² - 7x +y para x = 5 e y = -1 x² - 7x + y 5² - 7 . 5 + (-1) 25 – 35 -1 -10 – 1 -11 Exemplo 3 Calcular o valor numérico de : 2 a + m / a + m ( para a = -1 e m = 3) 2. (-1) + 3 / (-1) + 3 -2 + 3 / -1 +3 ½ Exemplo 4 Calcular o valor numérico de 7 + a – b (para a= 2/3 e b= -1/2 ) 7 + a – b 7 + 2/3 – (-1/2) 7 + 2/3 + 1 / 2 42/6 + 4/6 + 3/6 49/6 EXERCICIOS 1) Calcule o valor numérico das expressões: a) x – y (para x =5 e y = -4) (R:

OPERAÇÕES COM RADICAIS

RADICAIS SEMELHANTES Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando Exemplos de radicais semelhantes a) 7√5 e -2√5 b) 5³√2 e 4³√2 Exemplos de radicais não semelhantes a) 5√6 e 2√3 b) 4³√7 e 5√7 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 1º CASO : Os radicais não são semelhantes Devemos proceder do seguinte modo: a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas) b) Somar ou subtrair os resultados Exemplos 1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7 2) √49 - √25 = 7 – 5 = 2 3) √2 + √3 = 1,41 + 1,73 = 3,14 Neste último exemplo, o resultado obtido é aproximado, pois √2 e √3 são números irracionais (representação decimal infinita e não periódica) EXERCÍCIOS 1) Calcule a) √9 + √4 = 5 b) √25 - √16 = 1 c) √49 + √16 = 11 d) √100 - √36 = 4 e) √4 - √1 = 1 f) √25 - ³√8 = 3 g) ³√27 + ⁴√16 = 5 h) ³√125 - ³√8 = 3 i) √25 - √4 + √16 = 7 j) √49 + √25 - ³√64 = 8 2º CASO : Os radicais são semelhantes. Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de