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sábado, 12 de abril de 2014

Equações Diferencias

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com


Equações Diferenciais
Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.

DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

CLASSIFICAÇÃO
  • EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.
  • EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.
ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
Exemplos:
y' = 2x
tem ordem 1 e grau 1
y"+x2(y')3 - 40y = 0 tem ordem 2 e grau 3
y"'+x2y3 = x.tanx
tem ordem 3 e grau 3
RESOLUÇÃO
A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).
Ex: Equação diferencial ordinária: = 3x2 - 4x + 1
dy = (3x2 - 4x + 1) dx
dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C
y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral)
Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3
(condição inicial)
3 = -1 - 2 - 1 + C seta.gif (302 bytes)C = 7 seta.gif (302 bytes) y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)
Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.
As soluções se classificam em:
Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC,
Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).
EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM
FORMA : y'' + a1 y' + a0 y = 0 (a0, a1 constantes)
Ex: y = e.gif (338 bytes)
Então y' = lamina.gif (300 bytes)e.gif (338 bytes) e y'' = e.gif (338 bytes)
Substituindo na equação dada: ou e.gif (338 bytes)() = 0
diferente.gif (293 bytes)0 para todo x, logo devemos ter = 0, que é uma equação do segundo grau na variável lamina.gif (300 bytes), chamada EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA.
A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes lamina.gif (300 bytes)1 e lamina.gif (300 bytes)2.
  • lamina.gif (300 bytes)1, lamina.gif (300 bytes)2 números reais e distintos seta.gif (302 bytes) C1 e C2 são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1b.gif (352 bytes) + C2c.gif (357 bytes)
  • lamina.gif (300 bytes)1 = lamina.gif (300 bytes)2 = lamina.gif (300 bytes) (números reais e iguais) seta.gif (302 bytes) a solução geral da EDO é y = C1e.gif (338 bytes) + C2xe.gif (338 bytes)
  • lamina.gif (300 bytes)1 = a + bi, lamina.gif (300 bytes)2 = a - bi (complexos conjugados: a, b reais) seta.gif (302 bytes) a solução geral é y = C1b.gif (352 bytes) + C2c.gif (357 bytes)
Ex: y'' - 2y' - 15y = 0
Equação característica: - 2lamina.gif (300 bytes) - 15 = 0 cujas raízes são: lamina.gif (300 bytes)1 = 5, lamina.gif (300 bytes)2= -3
Solução geral: y = d.gif (514 bytes)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N
Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:
fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x)
onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x.
CLASSIFICAÇÕES:
Equação linear homogênea (k(x) = 0), ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).
Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes)
de coeficientes variáveis (pelo menos um fi variável)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
é uma equação diferencial exata se e somente se
Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0
P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3 e Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y
m.gif (633 bytes) e n.gif (640 bytes)
logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.
TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante f.gif (480 bytes).
Ex: g.gif (549 bytes)
Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²
Pelo teorema:
Multiplicando todos os termos pelo fator integrante: i.gif (345 bytes)
i.gif (345 bytes) - 3x²y = x²i.gif (345 bytes) ou i.gif (345 bytes) = dx = um terço.gif (335 bytes) + C
A multiplicação por dá a solução:
k.gif (520 bytes)

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