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domingo, 1 de junho de 2014

Função Afim

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com


Função de 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
x y
0 -1
0
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que f(x) = 0.
Temos:
f(x) = 0 ax + b = 0
Vejamos alguns exemplos:
  1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
    f(x) = 0 2x - 5 = 0
  2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
    g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2
  3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
    O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
    h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5
Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -10 -7 -4 -1 2 5 8
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
valores de y também aumentam. Dizemos, então que a
função y = 3x - 1 é crescente.
Observamos novamente seu gráfico:
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a <>

Justificativa:
  • para a > 0: se x1 <>2, então ax1 <>2. Daí, ax1 + b <>2 + b, de onde vem f(x1) <>2).
  • para a <>1 <>2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
  • Sinal
    Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
    Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:

    1º) a > 0 (a função é crescente)
    y > 0 ax + b > 0 x >
    y < src="http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/bigseta.gif" align="middle" border="0" height="16" width="20"> ax + b < src="http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/bigseta.gif" align="middle" border="0" height="16" width="20"> x <
    Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
    2º) a <>
    y > 0 ax + b > 0 x <
    y < src="http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/bigseta.gif" align="middle" border="0" height="16" width="20"> ax + b < src="http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/bigseta.gif" align="middle" border="0" height="16" width="20"> x >

    Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
  • www.somatematica.com.br

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