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Funções de Segundo Grau

Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro?
O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola. O físico italiano Galileu Galilei, 1564 a 1642 (foto), estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 X 12 = 5 metros;depois de 2 segundos, percorreria cerca de 5 X 22 = 20
metros; depois de 3 segundos, 5 X 32 = 45 metros; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos, percorreria 5 X x2 metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração da gravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo que escrever a função f (x) = 5x2. Galileu agrupou todos esses elementos em um importante conceito matemático: função quadrática. Toda função na qual a variável x aparece com o expoente máximo igual a 2 é chamada de função quadrática, ou polinomial de segundo grau, pois o expoente máximo da variável é o quadrado.
1. O grau de uma função
O grau de uma variável independente é dado pelo seu expoente. Assim, as funções de segundo grau são dadas por um polinômio de segundo grau, e o grau do polinômio é dado pelo monômio de
maior grau.
Portanto, as funções de segundo grau têm a variável independente com grau 2, ou seja, o seu maior expoente é 2. O gráfico que corresponde a essas funções é uma curva denominada parábola.
No dia-a-dia, há muitas situações definidas pelas funções de segundo grau. A trajetória de uma bola lançada para a frente é uma parábola. Se fizermos vários furos em várias alturas num bote cheio de água, os pequenos jorros de água que saem pelos furos descrevem parábolas. A antena parabólica tem a forma de parábola, originando o seu nome.
2. Definição
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau é expressa da seguinte forma:
f (x) = ax2 + bx + c, onde a 0
Observamos que aparece um termo de segundo grau, ax2. É essencial que exista um termo de segundo grau na função para que ela seja uma função quadrática, ou de segundo grau. Além disso, esse termo deve ser o de maior grau da função, pois se houvesse um termo de grau 3, isto é, ax3, ou de grau superior, estaríamos falando de uma função polinomial de terceiro grau.
Assim como os polinômios podem ser completos ou incompletos, temos funções de segundo grau incompletas, como:
f (x) = x2

f (x) = ax2

f (x) = ax2+ bx

f (x) = ax2 + c
Pode acontecer de o termo de segundo grau aparecer isoladamente, como na expressão geral y = ax2; acompanhado por um termo de primeiro grau, como no caso geral y = ax2 + bx; ou também unido a um termo independente ou a um valor constante, como em y = ax2 + c.
Figura 1
Figura 2
Como exemplo, vamos analisar as duas situações seguintes:
Como calcular a área de um círculo cujo raio irá variar? (Figura 1, acima, à esquerda).
Qual será a área de um retângulo cuja altura é cinco unidades menor que sua base? (Figura 2, acima).
Precisamos das funções quadráticas para resolver estes problemas.
No primeiro caso, a função será:
A (r) = r2
No segundo caso, teremos:
A (x) = x2 – 5x
É comum pensarmos que a expressão algébrica de uma função quadrática é mais complexa que a das funções lineares. Normalmente, também supomos que sua representação gráfica é mais complicada. Mas não é sempre assim. Além disso, os gráficos das funções quadráticas são curvas muito interessantes, conhecidas como parábolas.
Figura 3
3. Representação gráfica da função y = ax2

Como acontece com toda função, para representá-la graficamente temos, antes, de construir uma tabela de valores (Figura 3, ao lado).
Começamos representando a função quadrática y = x2, que é a expressão mais simples da função polinomial de segundo grau.
Se unirmos os pontos com uma linha contínua, o resultado é uma parábola, como mostra a Figura 4, abaixo:

Figura 4

Observando atentamente a tabela de valores e a representação gráfica da função y = x2 vamos perceber que o eixo Y, das ordenadas, é o eixo de simetria do gráfico.
Além disso, o ponto mais baixo da curva (aquele em que a curva se intercepta com o eixo Y) é o ponto de coordenadas (0, 0). Este ponto é conhecido como vértice da parábola.
Figura 5
Na Figura 5, ao lado, estão as representações gráficas de várias funções que têm como expressão geral y = ax2.
Observando com atenção a Figura 5 podemos afirmar:
O eixo de simetria de todos os gráficos é o eixo Y.
Como x2 = (– x)2, a curva é simétrica em relação ao eixo das ordenadas.

A função y = x2 é crescente para x > xv e decrescente para x <>v. Trata-se de uma função contínua, pois para pequenas variações de x correspondem pequenas variações de y.

Todas as curvas têm o vértice no ponto (0,0).
Todas as curvas que estão no semiplano de ordenadas positivas, com exceção do vértice V (0,0), têm ponto de mínimo que é o próprio vértice.
Todas as curvas que estão no semiplano de ordenadas negativas, com exceção do vértice V (0,0), têm ponto de máximo que é o próprio vértice.
Se o valor de a for positivo, os ramos da parábola se dirigem para cima. Ao contrário, se a for negativo, os ramos se dirigem para baixo. Dessa forma, o sinal do coeficiente determina a orientação da parábola:
a > 0, a parábola abre-se para valores positivos de y.

a <
0, a parábola abre-se para valores negativos de y.
À medida que aumenta o valor absoluto de a, a parábola é mais fechada, isto é, os ramos ficam mais próximos do eixo de simetria: quanto maior |a|, mais a parábola se fecha.
Os gráficos de y = ax2 e y = –ax2 são simétricos entre si com relação ao eixo X, das abscissas.
Figura 6a
4. Representação gráfica da função y = ax2 + c
Vamos observar as tabelas de valores e suas representações gráficas nas Figuras 6a, acima e 6b, abaixo:
Figura 6b
O gráfico y = x2 – 3 é obtido baixando-se 3 unidades no gráfico da função y = x2.
O gráfico de y = – x2 + 5 obtém-se elevando-se em 5 unidades o gráfico da função y = – x2.
Figura 7
Para lembrar:
Em geral, o gráfico da função y = ax2 + c se obtém deslocando o gráfico y = ax2 em c unidades na direção do eixo Y, como mostra a Figura 7, ao lado.

As duas funções y = x2 – 3 e y = – x2 + 5, representadas nas Figuras 6a e 6b, têm as seguintes características:
Seu eixo de simetria é Y.
São simétricas com relação ao eixo Y.
Para a > 0, o gráfico se abre para as ordenadas positivas.
Para a <>, o gráfico se abre para as ordenadas negativas.
O vértice da parábola é o ponto V (0, c).
O gráfico desloca-se verticalmente em função de c.
5. Representação gráfica da função y = ax2 + bx
Acrescentar um termo de primeiro grau à função estudada y = ax2 implica uma única modificação: a parábola sofre uma translação. Isto significa que o vértice já não será o ponto (0, 0), como mostra a Figura 8, abaixo.
Por isso, para poder representar a parábola, será necessário encontrar um método que nos permita localizar a posição do novo vértice.
Partimos da função y = ax2 + bx. Esta função também pode ser escrita como y = x (ax + b).
Figura 8
Sabemos que nos pontos em que os ramos da parábola cortam o eixo X, das abscissas, o valor de y será 0. Por isso podemos dizer que x X (ax + b) = 0.
Resolvendo esta expressão, saberemos os pontos em que a parábola corta o eixo X. Podemos facilmente notar que uma solução é x = 0, e se isolarmos o x em (ax + b) = 0, obteremos x = – (b/a).
Se a parábola corta o eixo X nos pontos 0 e – (b/a), a abscissa do vértice (Xv) será necessariamente o ponto médio do segmento que tem por extremos 0 e – (b/a).
Assim:
Para obter o valor da ordenada do vértice, basta substituir o valor de x por – (b/2a) na função. A partir daí ficamos conhecendo os valores que mais nos interessam para construir a tabela e representar graficamente a função.
6. Representação gráfica da função y = a (x ­ h)2
Quando a função f (x) = ax2 + bx + c pode ser expressa na forma f (x) = a (x ­ h)2, esta é uma translação horizontal sobre o eixo X da função y = ax2.
Temos a função f (x) = x2 – 4x + 4, que, por ser um quadrado perfeito, pode ser expressa como
f (x) = (x – 2)2
.
Vamos representar f (x) = x2 e f (x) = (x – 2)2 num mesmo gráfico (Figura 9, abaixo):

Figura 9

Observando a Figura 9 (ao lado), vemos que a curva
f (x) = (x – 2)2
é idêntica a y = x2, mas com o vértice
em V (2, 0).
Em geral, os gráficos das funções f (x) = (x – c)2 são idênticos a f (x) = x2, mas com o vértice em (c, 0).
Para lembrar:
Essas funções obedecem aos mesmos critérios que f (x) = ax2, com a diferença de que o eixo de simetria passa pelo vértice (c, 0) e é paralelo ao eixo das ordenadas.
7. Representação gráfica da função f (x) = a (x – h)2 + k
Quando a função f (x) = ax2 + bx + c não pode ser indicada na forma f (x) = a (x – h)2, devemos tentar expressá-la como f (x) = a (x – h)2 + k.
Vamos considerar a função da Figura 10, abaixo:
f (x) = x2 + 6x + 12 = x2 + 6x + 9 + 3
Como:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Podemos, portanto, expressá-la desta maneira:
f (x) = (x + 3)2 + 3

Figura 10

Agora, vamos representar graficamente f (x) = x2:
f (x) = (x + 3)2
f (x) = (x + 3)2 + 3
De acordo com a Figura 10, o gráfico da função f (x) = x2 + 6x + 12 é obtido com uma translação da parábola f (x) = x2 em 3 unidades negativas nas abscissas e 3 unidades positivas nas ordenadas.
Os gráficos obtidos das funções descritas na Figura 11 (abaixo) obedecem aos mesmos critérios gerais. Tendo apenas algumas diferenças:
O vértice encontra-se no ponto (h, k).
O eixo de simetria da parábola é a reta que passa pelo vértice (h, k) e é paralela ao eixo das ordenadas.
Figura 11
8. Representação gráfica da função y = ax2 + bx + c
A função quadrática, em sua forma completa, corresponde à expressão y = ax2 + bx + c. Seu gráfico, em geral, é obtido deslocando-se verticalmente a representação gráfica da função y = ax2 + bx. O valor de c é o que determina o deslocamento da função.
Se c for positivo, a função se deslocará c unidades para cima. Inversamente, se c for negativo, o deslocamento será de c unidades para baixo.
A partir das funções indicadas na Figura 11, acima, vamos observar suas representações gráficas (Figura 12, abaixo) e as translações que sofreram:
Figura 12
Considere que, para representar graficamente a função, precisamos conhecer o vértice da parábola.
Observe que nas duas parábolas da Figura 12, ao lado, o valor da abscissa é o mesmo: x = 2.
Isto nos permite utilizar o método de calcular as coordenadas do vértice:
xy
= – (b/2a) e o valor da ordenada. Esses cálculos podem ser obtidos substituindo-se o valor de x por – (b/2a) na função.
Por último, é bom guardar as seguintes afirmações:
O eixo de simetria da parábola é a reta vertical que passa pelo vértice da parábola.
A parábola corta o eixo Y no ponto (0,c).
Os pontos de interseção com o eixo X são determinados resolvendo-se a equação:
ax2 + bx + c = 0
Para lembrar:
Pode haver dois pontos de interseção, um, ou nenhum, dependendo do valor do discriminante da equação ser positivo, zero ou negativo, respectivamente.
Figura 13
Exemplo:
Assim, o vértice estará situado no ponto V (2,2) (Figura 13, acima, à direita).
EXERCÍCIOS

1.

Representar graficamente as seguintes funções e compará-las com o gráfico da função y = x2.
a) y = –x2.
b) y = x2 + 2.
c) y = x2 – 4x.
d) y = (x2/2) – 2x + 3.


2.
Partindo da função y = x2, desenhar as funções:
y = x2 + 1, y = x2 – 2.

3.
Representar graficamente as funções y = (x – 2)2, y = (x + 1)2 a partir de y = x2.

4.

Representar graficamente as funções y = (x + 2)2 + 1, y = (x – 1)2 – 2.
Glossário
Discriminante: na solução de equações de segundo grau, é a expressão: b2 ­ 4ac .
Grau: é o maior expoente de x.
Monômio: expressão algébrica formada por uma parte numérica, denominada coeficiente, e uma parte literal. Dois monômios originam um binômio.
Translação: movimento direto em que cada ponto e sua imagem determinam retas paralelas.
Valor absoluto: também chamado de módulo de um número. É o próprio número, se este número for positivo ou zero. E é o oposto desse número, se o número for negativo. Assim: |2| = |­2| = 2
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