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Funções Trigonométricas

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
     

Introdução
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), gono(ângulos)e metron(medida); significando assim "medida dos triângulos". Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios , que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astronomos como o grego Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. No século VIII com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes contribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este avanço continuou após a construção da primeira tábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback. Porém o primeiro trabalho matemático sobre trigonometria foi o "tratado dos triângulos", escrito pelo matemático alemão Johann Müller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se que Regiomaontanus foi discipulo de Purback. Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende na outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc.
Função seno
Definição
Chamamos de função seno a função f: R® R que a cada número real x, associa o seno desse número: f: R® R, f(x) = sen x
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.
Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .
  • Sinal da Função:
Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
  • f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)
    • f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)
Função cosseno
Definição
Chamamos de função cosseno a função f: R® R que a cada número real x , associa o cosseno desse número: f: R® R, f(x) = cos x.
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.
Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .
  • Sinal da Função:
Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
  • f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva)
    • f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)
Função tangente

Definição
Chamamos de função tangente a função f: E® R que a cada número xÎ E, com E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý associa a tangente desse número: f: E® R, f(x) = tg x.
O domínio dessa função é E e a imagem é R; visto que no 1° e 3° quadrantes, a função tg x varia de 0(zero) até ¥ (infinito) e 2° e 4° quadrantes varia de -¥ (menos infinito) até 0(zero)
Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý .
Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R.
  • Sinal da Função:
Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:
  • f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva)
  • f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa)

Função secante

Definição
Denomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x, definida para todo xÎ R diferente de ½p + kp , onde kÎ Z.
  • Sinal da função
Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da função cosseno.

Função cossecante

Definição
Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z.
  • Sinal da função
Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno.

Função cotangente

Definição
Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z.
  • Sinal da função
Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno.
Anexos

A função seno



Observe que esse gráfico é razoável.

Pois:

  • Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.
  • Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.
  • Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.
  • Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.]


A função cosseno



Observe que esse gráfico é razoável.


Pois:

  • Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.
  • Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.
  • Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.
  • Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.

A função tangente

Observe que esse gráfico é razoável. De fato:


Em primeiro lugar


ou seja, quando ,
1º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.

Em segundo lugar,


ou seja, quando , 2º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.
Em terceiro lugar,


ou seja, quando, 3º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.

Finalmente,

ou seja, quando , 4º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.



Função secante

Temos:

Definição: .

Logo, o domínio da função secante é .


Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada , sec x é a medida algébrica do segmento OS ou do segmento OT.




Da figura, observamos também que, para todo , , onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função sec é periódica, de período 2p.


A fim de esboçar o gráfico de y=sec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:

  • e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme x aumenta, y aumenta;
  • e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme x aumenta, y aumenta;
  • e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;
  • e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui.

Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da função.




A função y=sec x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada e periódica, de período 2p

função cossecante

Temos:

Definição: .

Logo, o domínio da função cossecante é
Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada , cossec x é a medida algébrica do segmento OU ou do segmento OC.



Da figura, observamos também que, qualquer que seja , , onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função cos sec é periódica, de período 2p.


A fim de esboçar o gráfico de y=cossec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:

  • e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;

  • e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;

Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da função.
A função y=cotg x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada e periódica.

Conclusão
Ramo da matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma seção da superfície de uma esfera.
A trigonometria começa como uma matemática eminentemente prática para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serve à navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica amplia sua aplicação à física, à química e a quase todos os ramos da engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos, como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.

Bibliografia
Paiva, Manoel, Matemática, Volume único, Ed. Moderna, 2003
Barreto Filho, Benigno e Silva, Cláudio Xavier da, Matemática aula por aula, Volume único, FTD, 200.

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