cead20136

segunda-feira, 10 de outubro de 2016

Limites

Noção intuitiva de limite
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:
x y = 2x + 1
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x
y = 2x + 1
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x)b).

Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Escrevemos:

Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.
Propriedades dos Limites
1ª)
O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
Exemplo:

2ª)
O limite do produto é o produto dos limites.
Exemplo:

3ª)
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
Exemplo:

4ª)
Exemplo:

5ª)
Exemplo:

6ª)
Exemplo:

7ª)
Exemplo:

8ª)
Exemplo:
Limites Laterais
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.
Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
O limite de f(x) para xa existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:
  • Se
  • Se
Continuidade
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:
Propriedade das Funções contínuas
Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:
  • f(x)g(x) é contínua em a;
  • f(x) . g(x) é contínua em a;
  • é contínua em a .
  • Limites envolvendo infinito
    Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.
    Exemplo:
    a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.
    b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.
    c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
    d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito
    Limite de uma função polinomial para
    Seja a função polinomial . Então:
    Demonstração:
    Mas:
    Logo:
    De forma análoga, para , temos:
    Exemplos:
  • Limites trigonométricos
    Demonstração:
    Para , temos sen x < x <>x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:
    Invertendo, temos:
    Mas:
  • g(x) <>x) <>x) são funções contínuas e se , então, . Logo,
  • Limites exponenciais
    Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818.
    Veja a tabela com valores de x e de .
    x
    1 2 3 10 100 1 000 10 000 100 000
    2 2,25 2,3703 2,5937 2,7048 2,7169 2,7181 2,7182
    Notamos que à medida que .
    De forma análoga, efetuando a substituição , temos:

    Ainda de forma mais geral, temos :
    As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas.
    Se ,então .
    Mas:
    Logo:
    Como x 0 , então u 0. Portanto:
    Generalizando a propriedade acima, temos .
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