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sexta-feira, 9 de dezembro de 2016

Proporção

Proporções - Introdução
Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.
Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:
propor1.gif (468 bytes)
Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:
propor2.gif (467 bytes)
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade propor3.gif (270 bytes) é uma proporção. Assim:
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Propriedade fundamental das proporções
Observe as seguintes proporções:
propor9.gif (222 bytes)
Produto dos meios = 4.30 = 120
Produto dos extremos = 3.40 = 120
propor10.gif (226 bytes)
Produto dos meios = 9.20 = 180
Produto dos extremos = 4.45 = 180
propor11.gif (221 bytes)
Produto dos meios = 8.45 = 360
Produto dos extremos = 5.72 = 360
De modo geral, temos que:
propor8.gif (325 bytes)
Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicações da propriedade fundamental
Determinação do termo desconhecido de uma proporção
Exemplos:
  • Determine o valor de x na proporção:
propor12.gif (203 bytes)
Solução:
5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 120
propor13.gif (205 bytes)
x = 24
Logo, o valor de x é 24.

  • Determine o valor de x na proporção:
propor14.gif (415 bytes)
Solução:
5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)
5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15
-3x = 19
3x = -19 x = propor15.gif (165 bytes)

Logo, o valor de x é propor15.gif (165 bytes).

  • Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
Solução:
propor16.gif (204 bytes) (aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 8 . 35
5x = 280
propor17.gif (214 bytes)
x = 56
Logo, o valor de x é 56.
Resolução de problemas envolvendo proporções
Exemplo:
  • Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?
Solução:
A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.
Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

propor18.gif (1006 bytes)
Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.
propor19.gif (342 bytes) (aplicando a propriedade fundamental)
1 . 2 = 0,04 . x
0,04x = 2
propor20.gif (222 bytes)
x = 50 m3
Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.
Quarta proporcional
Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:
propor21.gif (185 bytes)
Exemplo:
  • Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.
Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:
propor22.gif (206 bytes) (aplicando a propriedade fundamental)
8 . x = 12 . 6
8 . x = 72
propor23.gif (187 bytes)
x = 9
Logo, a quarta proporcional é 9.
Proporção contínua
Considere a seguinte proporção: propor24.gif (228 bytes)
Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:
Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.
De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:
propor25.gif (191 bytes)
Terceira proporcional
Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:
propor26.gif (191 bytes)
Exemplo:
Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.
Solução

Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:
propor27.gif (232 bytes) (aplicando a propriedade fundamental)
20 . x = 10 . 10
20x = 100
propor28.gif (214 bytes)
x = 5
Logo, a terceira proporcional é 5.
Média geométrica ou média proporcional
Dada uma proporção contínua propor25.gif (191 bytes) , o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c. Exemplo:
  • Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.
    Solução:
propor29.gif (219 bytes)
5 . 20 = b . b
100 = b2
b2 = 100
b =
propor30.gif (161 bytes)
b = 10
Logo, a média geométrica positiva é 10.
Propriedades das proporções
1ª propriedade:
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração Considere as proporções:
propor4.gif (192 bytes) propor35.gif (200 bytes)
Adicionando 1 a cada membro obtemos:
propor31.gif (467 bytes)
propor33.gif (278 bytes)
propor32.gif (453 bytes)
propor34.gif (268 bytes)
Exemplo:
  • Determine x e y na proporção propor36.gif (196 bytes), sabendo que x+y=84.
    Solução:
propor37.gif (389 bytes)
Assim:
propor38.gif (417 bytes)
x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.
Logo, x=36 e y=48.
2ª propriedade:
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração Considere as proporções:
propor4.gif (192 bytes) propor35.gif (200 bytes)
Subtraindo 1 a cada membro obtemos:
propor39.gif (450 bytes)
propor43.gif (260 bytes)
propor40.gif (426 bytes)
propor41.gif (256 bytes) (Mult. os 2 membros por -1)
propor42.gif (251 bytes)
Exemplo:
  • Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção propor44.gif (194 bytes).
    Solução:
Pela 2ª propriedade temos que:
propor45.gif (663 bytes)
x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.
Logo, x=30 e y=12.

3ª propriedade:
Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração Considere a proporção:
propor4.gif (192 bytes)
Permutando os meios, temos:
propor46.gif (199 bytes)
Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:
propor47.gif (268 bytes)
Permutando os meios, finalmente obtemos:
propor48.gif (307 bytes)
4ª propriedade:
Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração Considere a proporção:
propor4.gif (192 bytes)
Permutando os meios, temos:
propor46.gif (199 bytes)
Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:
propor49.gif (254 bytes)
Permutando os meios, finalmente obtemos:
propor50.gif (291 bytes)
Exemplo:
  • Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção propor55.gif (190 bytes).
    Solução:
Pela 4ª propriedade, temos que:
propor56.gif (286 bytes)
propor57.gif (849 bytes)
5ª propriedade:
Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes,
assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.
Demonstração Considere a proporção:
propor4.gif (192 bytes)
Multiplicando os dois membros por propor51.gif (137 bytes), temos:
propor52.gif (463 bytes)
Assim:
propor53.gif (329 bytes)
Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:
propor54.gif (450 bytes)
Proporção múltipla
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:
propor58.gif (273 bytes) é uma proporção múltipla.
Dada a série de razões iguais propor59.gif (252 bytes) , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:
propor60.gif (1237 bytes)
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