Pular para o conteúdo principal

Fatoração

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
     

Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de expressões mais simples.

Casos de fatoração:

FATOR COMUM
ax + bx + cx = x . (a + b + c)
O fator comum é x.
12x3 - 6x2 + 3x = 3x . (4x2 - 2x + 1)
O fator comum é 3x.

AGRUPAMENTO

ax + ay + bx + by
Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum.
(ax + ay) + (bx + by)
Colocar em evidência o fator comum de cada grupo
a(x + y) + b(x + y)
Colocar o fator comum (x + y) em evidência
(x + y) . (a + b) Þ Este produto é a forma fatorada da expressão dada

DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

A expressão a2 - b2 representa a diferença de dois quadrados e sua forma fatorada é :
(a + b) (a - b)
Ex: x2 - 36 = (x + 6) (x - 6)

TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

a2 + 2ab + b2
Um trinômio é quadrado perfeito quando :
- dois de seus termos são quadrados perfeitos (a2 e b2 )
- o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos (2ab)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Ex: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Ex: x2 - 6x + 9 = (x - 3)2

TRINÔMIO DO 2O GRAU

Trinômio do tipo x2 + Sx + P
Devemos procurar dois números a e b que tenham soma S e produto P.
x2 + Sx + P = (x + a) (x + b)
Ex: x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
x2 + 2x - 8 = (x + 4) (x - 2)
x2 - 5x + 6 = (x - 2) (x - 3)
x2 - 2x - 8 = (x - 4) (x + 2)

SOMA DE DOIS CUBOS

A expressão a3 + b3 representa a soma de dois cubos.
Sua forma fatorada é :
(a + b) (a2 - ab + b2)
Ex: x3 + 8 = (x + 2) (x2 - 2x + 4)

DIFERENÇA DE DOIS CUBOS

A expressão a3 - b3 representa a diferença de dois cubos.
Sua forma fatorada é :
(a - b) (a2 + ab + b2)
Ex: x3 - 27 = (x - 3) (x2 + 3x + 9)
Fonte: www.sosmatematica.com

Fatoração

Quando a gente fatora uma expressão, na verdade, a gente esta transformando
esta expressão em fatores de uma multiplicação. Para conseguirmos isto utilizamos
algumas técnicas tais como:
1. Fator comum em evidência
2. Agrupamento de termos semelhantes
3. Diferença de dois quadrados
4. Trinômio quadrado perfeito.
5. Trinômio do segundo grau.
Achou alguns nomes acima complicados ? Não se preocupe! Vamos ver, a seguir,
um exemplo de cada uma destas técnicas utilizadas para a fatoração de uma expressão.

1. Fator comum em evidência: 12x2 + 4x3 - 8x4

Nesta técnica a gente verifica cada um dos termos, procurando ver se os
coeficientes (o que fica na na frente das variáveis x, y etc), podem ser
divididos por um certo número. Neste caso 12, +4, -8 podem ser divididos
por 4. Então, colocamos o número 4 em evidência, ou seja, antes de um
parênteses, dividimos cada um dos coeficientes por 4 e escrevemos o
resultado no lugar o próprio coeficiente. Veja:
12x2 + 4x3 - 8x4
4 (3x2 + 1x3 - 2x4). Observe que se multiplicarmos o 4 pelos novos coeficientes
3, 1 e -2 iremos ter de volta os coeficientes originais 12, 4 e -8.
Nós escolhemos o 4 para dividir os coeficientes porquê ele é o maior número que
pode dividir cada um dos coeficientes. Não poderíamos ter escolhido, o 8, por exemplo, pois ele é maior que o 4 e não daria para fazer divisão exata, ok ?

1. Fator comum em evidência (Continuação) :

12x2 + 4x3 - 8x4 = 4 (3x2 + 1x3 - 2x4)
Agora precisamos verificar se podemos dividir cada um dos termos que estão dentro
dos parênteses, por um mesmo fator literal (que contém letra). Neste caso podemos
notar que o fator x2 serve para dividir cada uma dos termos da expressão.
Desta forma, escrevemos o x2 antes dos parênteses, ao lado do número 4, e dividimos
cada um dos termos por ele. Veja como fica:
4x2 (3 + 1x - 2x2)
Lembrete: x4 / x3 = x (Divisão de
de mesmba base: repete a base e subtrai
os expoentes.
Observe que se multiplicarmos o 4x2 pelos termos dentro dos parênteses iremos obter
a expressão original 12x2 + 4x3 - 8x4. Desta forma, através da técnica de por o fator
comum em evidência, da fatoração, concluímos que 12x2 + 4x3 - 8x4 = 4x2 (3 + x - 2x2).

2. Agrupamento dos termos semelhantes: xy + xz + ay + az

Esta técnica de fatoração consiste em juntar os termos que são iguais e tentar
colocar algo em evidência como fizemos nos exemplos anteriores. Vejamos:
vamos fatorar xy + xz + ay + az.
Primeiro a gente tenta ver os termos que têm partes iguais. Neste caso o xy e xz
têm algo igual: a letra x e, portanto, a gente pode por o x em evidência, que nem fizemos
no exemplo anterior, e o y e o z dentro dos parênteses. Veja:xy + xz = x(y +z).
Então até agora estamos assim: xy + xz + ay + az = x(y +z) + ay + az.
Segundo, a gente nota também que o ay e o az têm parte comum: a letra a. Então
fazemos a mesma coisa: ay + az = a (y + z). Desta forma a expressão original
xy + xz + ay + az é igual a x(y +z) + a (y + z). Finalmente notamos que (y + z) é
comum a x e a, então fazemos novamente a mesma coisa. Colocamos o (y + z) em
evidência e o x e o a dentro dos parênteses. Veja: (y + z) (x + a). Observe que se
fizermos esta multiplicação obteremos a expressão original pois (y + z) (x + a) = xy + xz + ay + az.

3. Diferença de dois quadrados: x2 - y2

Esta técnica consiste em notar que a expressão, ou parte dela, nada mais é que
o resultado de um produto notável do tipo produto da soma pela diferença.
Neste caso, percebemos que a expressão x2 - y2 é o resultado do desenvolvimento
do produto notável (x + y )( x - y ).
Então ao invés de escrevermos x2 - y2 simplesmente escrevemos os fatores
(x + y )( x - y ) pois x2 - y2 = (x + y )( x - y ).

4. Trinômio quadrado perfeito: x2 +2xy + y2

Assim como o caso anterior, esta técnica consiste em notar que a expressão, ou parte dela,
nada mais é que o resultado de um produto notável do tipo a mais b ao quadrado.
Neste caso, percebemos que a expressão x2 +2xy + y2 é o resultado do desenvolvimento
do produto notável (x + y )2.
Então ao invés de escrevermos x2 +2xy + y2 simplesmente escrevemos (x + y )2 pois
x2 +2xy + y2 = (x + y )2.

5. Trinômio do segundo grau: x2 +7x +12

Nesta última técnica, procuramos identificar na expressão, um trinômio do
segundo grau. No exemplo acima, se observarmos atentamente, notaremos
que -7 é a soma das raízes da equação e 12 é o produto destas raízes.
Lembrete: Numa equação do segundo grau a soma das raízes é dada por
-b/a e o produto é dado por c/a, sabendo-se que neste caso a=1, b=7,
e c=12, fica fácil perceber que a Soma é -7/1=-7 e o Produto é 12/1 = 12.
Agora que sabemos a soma (-7) e o produto (12) calculamos por tentativa,
dois número cuja soma seja -7 e o produto seja 12...é claro que os números
são -3 e -4 pois (-3) + (-4) = -7 e (-3).(-4) = 12. Daí escrevemos os fatores
(x - primeira raiz ).(x - segunda raiz) = (x - (-3).(x - (-4) = (x + 3) (x + 4).
Note que efetuando a multiplicação dos fatores (x + 3) (x + 4) obteremos
a expressão original x2 +7x +12.
Fonte: www.interaula.com
Fatorção
Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.
Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:

1) Fator Comum em evidência

Quando os termos apresentam fatores comuns
Observe o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada

Exs : Fatore:

2) Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:

ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:
(x+y).(a+b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Exs: Fatore:

3) Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado
Assim: x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

Exs: Fatore:

4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios (a2 + 2ab + b2 ) e ( a2 - 2ab + b2 ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Fonte: www.vestibular1.com.br

Comentários

Postagens mais visitadas deste blog

EQUAÇÃO DE 1° GRAU

EQUAÇÃO DE 1° GRAU SENTENÇAS Uma sentença matemática pode ser verdadeira ou falsa exemplo de uma sentença verdadeira a) 15 + 10 = 25 b) 2 . 5 = 10 exemplo de uma sentença falsa a) 10 + 3 = 18 b) 3 . 7 = 20 SENTEÇAS ABERTAS E SENTENÇAS FECHADAS Sentenças abertas são aquelas que possuem elementos desconhecidos. Esses elementos desconhecidos são chamados variáveis ou incógnitas. exemplos a) x + 4 = 9 (a variável é x) b) x + y = 20 (as variáveis são x e y) Sentenças fechada ou são aquelas que não possuem variáveis ou incógnitas. a) 15 -5 = 10 (verdadeira) b) 8 + 1 = 12 (falsa) EQUAÇÕES Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade exemplos a) x - 3 = 13 ( a variável ou incógnita x) b) 3y + 7 = 15 ( A variável ou incógnita é y) A expressão à esquerdas do sinal = chama-se 1º membro A expressão à direita do sinal do igual = chama-se 2º membro RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL O processo de res

VALOR NÚMERICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA

Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo: 1º Substituir as letras por números reais dados. 2º Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem: a) Potenciação b) Divisão e multiplicação c) Adição e subtração IMPORTANTE! Convém utilizar parênteses quando substituímos letras por números negativos Exemplo 1 Calcular o valor numérica de 2x + 3a para x = 5 e a = -4 2.x+ 3.a 2 . 5 + 3 . (-4) 10 + (-12) -2 Exemplo 2 Calcular o valor numérico de x² - 7x +y para x = 5 e y = -1 x² - 7x + y 5² - 7 . 5 + (-1) 25 – 35 -1 -10 – 1 -11 Exemplo 3 Calcular o valor numérico de : 2 a + m / a + m ( para a = -1 e m = 3) 2. (-1) + 3 / (-1) + 3 -2 + 3 / -1 +3 ½ Exemplo 4 Calcular o valor numérico de 7 + a – b (para a= 2/3 e b= -1/2 ) 7 + a – b 7 + 2/3 – (-1/2) 7 + 2/3 + 1 / 2 42/6 + 4/6 + 3/6 49/6 EXERCICIOS 1) Calcule o valor numérico das expressões: a) x – y (para x =5 e y = -4) (R:

OPERAÇÕES COM RADICAIS

RADICAIS SEMELHANTES Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando Exemplos de radicais semelhantes a) 7√5 e -2√5 b) 5³√2 e 4³√2 Exemplos de radicais não semelhantes a) 5√6 e 2√3 b) 4³√7 e 5√7 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 1º CASO : Os radicais não são semelhantes Devemos proceder do seguinte modo: a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas) b) Somar ou subtrair os resultados Exemplos 1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7 2) √49 - √25 = 7 – 5 = 2 3) √2 + √3 = 1,41 + 1,73 = 3,14 Neste último exemplo, o resultado obtido é aproximado, pois √2 e √3 são números irracionais (representação decimal infinita e não periódica) EXERCÍCIOS 1) Calcule a) √9 + √4 = 5 b) √25 - √16 = 1 c) √49 + √16 = 11 d) √100 - √36 = 4 e) √4 - √1 = 1 f) √25 - ³√8 = 3 g) ³√27 + ⁴√16 = 5 h) ³√125 - ³√8 = 3 i) √25 - √4 + √16 = 7 j) √49 + √25 - ³√64 = 8 2º CASO : Os radicais são semelhantes. Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de