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sexta-feira, 16 de setembro de 2016

Operações com conjuntos

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com

Reunião ou União

Consideremos os dois conjuntos:
A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}
Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:
C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}
Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:
A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}
Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos.
Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:
União de Conjuntos
Exemplos:
  • {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
  • {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}
A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:
Propriedade da União Propriedades da União
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
  1. Idempotência: A U A = A -> A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
  2. Comutativa: A U B = B U A;
  3. Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A -> O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
  4. Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).
Demonstração da propriedade comutativa:
Da definição da união de conjuntos temos:
Demonstração da Propriedade Comutativa
Como A U B é o conjunto dos elementos de U (universo) que, ou pertencem a A, ou pertencem a B e B U A é o conjunto dos elementos de U que, ou pertencem a B, ou pertencem a A, e as proposições p v q (p ou q) e q v p (q ou p) têm o mesmo valor lógico, concluí-se que a propriedade é verdadeira.

Intersecção

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.
Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
Interseção de Conjuntos
Exemplos:
Exemplos Intersecção
Da definição de intersecção resulta que:
Intersecção
Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
Propriedade da Intersecção de Conjuntos
Propriedades da Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
1. Idempotência:
Idempotência - Intersecção
2. Comutativa:
Comutativa - Intersecção
3. Elemento Neutro – O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:
Elemento Neutro - Intersecção
4. Associativa:
Associativa - Intersecção
Demonstração da propriedade associativa:
O conjunto do primeiro membro da igualdade é constituído pelos elementos x pertencentes a U tais que (por definição):
Demonstração da Propriedade Associativa
onde na segunda passagem foi utilizada, novamente, a definição de intersecção entre os conjuntos B e C. Tendo em vista que a proposição p ^ (q ^ r) tem o mesmo valor lógico da proposição (p ^ q) ^ r vem que esse conjunto é constituído por elementos de U tais que:
Demonstração da Propriedade Associativa
Assim, fica demonstrado que o primeiro conjunto da igualdade está contido no segundo. Para concluir a demonstração, isto é, provar que o segundo conjunto está contido no primeiro, é só seguir o caminho inverso
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.

Propriedades da União e Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:
Propriedades União e Intersecção
Note que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção e a 4 a distributiva da intersecção em relação à união.

Diferença

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.
Definição 3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
Diferença entre Conjuntos
Exemplos:
  • {a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
  • {a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
  • {a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø
Antes de prosseguirmos apresento, a título de ilustração, um diagrama de Euler-Venn com os conceitos até aqui tratados, onde a diferença corresponde à parte branca de A, a intersecção à parte cinza claro e a união à essas duas partes mais a cinza escuro.
Diagrama de Euler-Venn
Note que as propriedades 1. e 2. acima podem ser facilmente visualizadas nesse diagrama.

Complementar de B em A

Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:
Complementar de B em A
Exemplos:
  • A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b} => complementar: A – B = {c, d, e, f}
  • A = B = {1} => complementar: A – B = Ø
Observe que nos exemplos acima a condição para que o complementar de B em relação a A esteja definido é cumprida (B contido em A).
Propriedades da Complementação
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:
Propriedades da Complementação
Vamos demonstrar apenas a primeira parte da propriedade 1. As demais deixo como exercício, me colocando à disposição para sanar eventuais dúvidas.
Da definição de intersecção de conjuntos e do complementar temos que:
Demonstração

Referências

  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
  2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

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