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sábado, 24 de setembro de 2016

Elipse

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c.

Assim é que temos por definição:

PF1 + PF2 = 2 a

Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse.

O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. Como, por definição,
a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.



2 – Equação reduzida da elipse


Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos.

Sendo 2.a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:


PF1 + PF2 = 2.a


Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:




Observe que x – (-c) = x + c.


Quadrando a expressão acima, vem:



Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:

b2.x2 + a2.y2 = a2.b2, onde b2 = a2 – c2

Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:


Veja a figura abaixo, que é elucidativa:

NOTAS:
1 – o eixo A1A2 é denominado eixo maior da elipse.
2 – o eixo B1B2 é denominado eixo menor da elipse.
3 – é válido que:
a2 - b2 = c2, onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
4 – como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo
b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
5 – o ponto (0,0) é o centro da elipse.
6 – se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse passa a ser:

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