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quarta-feira, 25 de junho de 2014

Equação Reduzida da Reta

Podemos representar uma reta no plano cartesiano por meio da condição geométrica ou por uma equação matemática. Em relação à equação matemática, a reta pode ser escrita nas seguintes formas: reduzida, segmentária, geral ou paramétrica. Vamos abordar a representação de uma equação reduzida de reta, demonstrando três possíveis situações.

Vamos considerar a equação da reta que passa por um ponto Q(x1, y1), com coeficiente angular a, observe:

y – y1 = a * (x – x1)

Escolhendo ao acaso, o ponto (0, b) e determinando que a reta o intersecte, temos que:

y – b = a * (x – 0)
y – b = a * x – a * 0
y – b = ax
y = ax + b

Portanto, a equação reduzida da reta possui a seguinte lei de formação:

y = ax +b


1ª situação

Utilizando o ponto P1(2, 7), no qual x = 2 e y = 7, temos:

y – y1 = a * (x – x1)
y – 7 = 4 * (x – 2)
y – 7 = 4x – 8
y = 4x – 8 + 7
y = 4x – 1



2ª situação

A forma geral da equação reduzida da reta é dada pela expressão: y = ax + b. Utilizando o ponto P1(2, 7), temos:

y = ax + b
7 = a * 2 + b
2a + b = 7

Utilizando o ponto P2(–1, –5), temos:

–5 = a * (–1) + b
–5 = –a + b
–a + b = –5



Resolvendo o sistema, , determinamos o coeficiente angular e o linear.


Substituindo os valores de a e b na expressão matemática, temos:

y = ax + b
y = 4x – 1

3ª situação

Podemos construir uma matriz quadrada com os pontos fornecidos e um ponto genérico (x, y). O determinante dessa matriz será a equação da reta. Observe:

P1(2, 7) e P2(–1, –5)


Aplicando Sarrus: produto dos termos da diagonal principal subtraído do produto dos termos da diagonal secundária.

[(x * 7 * 1) + (–1 * 1 * y) + (–5 * 2 * 1)] – [(–1 * 7 * 1) + (y * 2 * 1) + (–5 * x * 1)] = 0
[7x – y –10] – [–7 + 2y – 5x] = 0
7x – y – 10 + 7 – 2y + 5x = 0
12x – 3y – 3 = 0
–3y = –12x + 3 (dividir todos por – 3)
y = 4x – 1
a = coeficiente angular da reta
b = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção da reta com o eixo y)

Note que a equação reduzida da reta se apresenta fornecendo a coordenada y em função de x.

Construindo a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P1(2, 7) e P2(–1, –5).

Vamos determinar o coeficiente angular da reta, caso seja necessário sua utilização:

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