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domingo, 18 de setembro de 2016

Equações modulares

Sabemos que


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Uma equação modular é aquela em que a incógnita "aparece dentro do módulo".

Vamos aqui apresentar alguns tipos de equações e suas estratégias de resolução.

Exemplo 1


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O que queremos aqui é saber qual é o número cujo módulo é igual a 5. Segundo a definição de módulo, esse número pode ser 5 ou -5, pois ambos têm módulo igual a 5.
Assim, podemos dizer que "desmembramos" a equação em duas, para "tirarmos" o módulo.


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Exemplo 2


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Da mesma forma, devemos desmembrar a equação.


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Assim, se voltarmos à igualdade inicial e substituirmos x por -5 ou 3, ela será verdadeira:


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Exemplo 3


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Aqui também se desmembra a equação, com o devido cuidado quanto ao sinal da expressão do segundo membro da igualdade.

resolução.

Exemplo 1


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O que queremos aqui é saber qual é o número cujo módulo é igual a 5. Segundo a definição de módulo, esse número pode ser 5 ou -5, pois ambos têm módulo igual a 5.
Assim, podemos dizer que "desmembramos" a equação em duas, para "tirarmos" o módulo.


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Exemplo 2


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Da mesma forma, devemos desmembrar a equação.


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Assim, se voltarmos à igualdade inicial e substituirmos x por -5 ou 3, ela será verdadeira:


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Exemplo 3


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Logo, 0 e 2 são os valores que verificam as igualdades, quando colocados no lugar de x.

Exemplo 4


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Nesse caso, queremos saber qual o valor de x para que a expressão tenha módulo igual a -5. Pela definição, sabemos que o módulo não pode ser igual a um número negativo. Logo, não existe tal valor de x.
Portanto, .

Exemplo 5


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Exemplo 6


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É bom lembrarmos uma das propriedades do módulo, segundo a qual .

Logo, a equação pode ser reescrita da seguinte forma: .

Agora, basta usar a técnica da substituição para facilitar a resolução.


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Mas ainda não encontramos a solução da equação. Devemos voltar à substituição feita anteriormente.


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Portanto, o conjunto solução da equação é .

Exemplo 7


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Se, para eliminar cada módulo, desmembrarmos em dois casos, teremos quatro equações, porém com dois pares de equações repetidas. Assim, para facilitarmos a resolução, consideraremos dois casos:


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*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

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