Pular para o conteúdo principal

Operações com números complexos na forma trigonométrica

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com          

Operações com números complexos na forma trigonométrica

Marcelo Rigonatto


Forma trigonométrica
Sabemos que número complexo é um par ordenado de números reais z = (a, b). Todo número complexo do tipo z = (a, b) pode ser escrito na forma normal ou algébrica: z = a + bi. Representando esse número complexo no plano de Argand-Gauss e utilizando alguns recursos da trigonometria e o teorema de Pitágoras, podemos escrevê-lo na forma trigonométrica: z = |z|(cos θ + i.sen θ).

A forma trigonométrica é muito útil na realização das operações de multiplicação e divisão envolvendo números complexos, em razão da sua praticidade nos cálculos.

Multiplicação na forma trigonométrica.

Considere dois números complexos quaisquer, escritos na forma trigonométrica:

z1 = |z1 |∙(cosθ + i∙sen θ) e z2 = |z2 |(cos α+i∙sen α)

O produto entre z1 e z2 pode ser feito da seguinte forma:

z1 ∙ z2 = |z1 |∙|z2 |∙[cos(θ+α) +i∙sen (θ+α) ]

Tal fato é garantido pelas relações:

sen(θ + α) = senθ ∙ cosα + senα∙cosθ
cos(θ + α) = cosθ ∙ cosα - senθ∙senα

Exemplo 1: Dados os números complexos z1 = 6∙(cos30o + i∙sen 30o) e z2 = 3∙(cos15o + i∙sen 15o), calcule o valor de z1 ∙ z2.

Solução: Utilizando a fórmula da multiplicação de números complexos na forma trigonométrica, temos que:

z1 ∙ z2 = 6∙3∙[cos(30o + 15o )+i∙sen (30o + 15o )]

z1 ∙ z2 = 18∙(cos45o + i∙sen 45o )

Solução: Utilizando a fórmula da multiplicação, obtemos:

Divisão na forma trigonométrica

Para realizar a divisão na forma trigonométrica também existe uma fórmula que facilita os cálculos.

Sejam z1 = |z1 |∙(cosθ + i∙sen θ) e z2 = |z2 |(cosα + i∙senα), dois números complexos quaisquer, o quociente entre z1 e z2 será dado por:

Exemplo 3: Dados z = 22∙(cos120o + i∙sen 120o) e c = 11∙(cos90o +i∙sen 90o), determine o valor de z/c.

Solução: Pela fórmula da divisão de complexos na forma trigonométrica, temos que:

Comentários

Postagens mais visitadas deste blog

EQUAÇÃO DE 1° GRAU

EQUAÇÃO DE 1° GRAU SENTENÇAS Uma sentença matemática pode ser verdadeira ou falsa exemplo de uma sentença verdadeira a) 15 + 10 = 25 b) 2 . 5 = 10 exemplo de uma sentença falsa a) 10 + 3 = 18 b) 3 . 7 = 20 SENTEÇAS ABERTAS E SENTENÇAS FECHADAS Sentenças abertas são aquelas que possuem elementos desconhecidos. Esses elementos desconhecidos são chamados variáveis ou incógnitas. exemplos a) x + 4 = 9 (a variável é x) b) x + y = 20 (as variáveis são x e y) Sentenças fechada ou são aquelas que não possuem variáveis ou incógnitas. a) 15 -5 = 10 (verdadeira) b) 8 + 1 = 12 (falsa) EQUAÇÕES Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade exemplos a) x - 3 = 13 ( a variável ou incógnita x) b) 3y + 7 = 15 ( A variável ou incógnita é y) A expressão à esquerdas do sinal = chama-se 1º membro A expressão à direita do sinal do igual = chama-se 2º membro RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL O processo de res

VALOR NÚMERICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA

Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo: 1º Substituir as letras por números reais dados. 2º Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem: a) Potenciação b) Divisão e multiplicação c) Adição e subtração IMPORTANTE! Convém utilizar parênteses quando substituímos letras por números negativos Exemplo 1 Calcular o valor numérica de 2x + 3a para x = 5 e a = -4 2.x+ 3.a 2 . 5 + 3 . (-4) 10 + (-12) -2 Exemplo 2 Calcular o valor numérico de x² - 7x +y para x = 5 e y = -1 x² - 7x + y 5² - 7 . 5 + (-1) 25 – 35 -1 -10 – 1 -11 Exemplo 3 Calcular o valor numérico de : 2 a + m / a + m ( para a = -1 e m = 3) 2. (-1) + 3 / (-1) + 3 -2 + 3 / -1 +3 ½ Exemplo 4 Calcular o valor numérico de 7 + a – b (para a= 2/3 e b= -1/2 ) 7 + a – b 7 + 2/3 – (-1/2) 7 + 2/3 + 1 / 2 42/6 + 4/6 + 3/6 49/6 EXERCICIOS 1) Calcule o valor numérico das expressões: a) x – y (para x =5 e y = -4) (R:

OPERAÇÕES COM RADICAIS

RADICAIS SEMELHANTES Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando Exemplos de radicais semelhantes a) 7√5 e -2√5 b) 5³√2 e 4³√2 Exemplos de radicais não semelhantes a) 5√6 e 2√3 b) 4³√7 e 5√7 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 1º CASO : Os radicais não são semelhantes Devemos proceder do seguinte modo: a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas) b) Somar ou subtrair os resultados Exemplos 1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7 2) √49 - √25 = 7 – 5 = 2 3) √2 + √3 = 1,41 + 1,73 = 3,14 Neste último exemplo, o resultado obtido é aproximado, pois √2 e √3 são números irracionais (representação decimal infinita e não periódica) EXERCÍCIOS 1) Calcule a) √9 + √4 = 5 b) √25 - √16 = 1 c) √49 + √16 = 11 d) √100 - √36 = 4 e) √4 - √1 = 1 f) √25 - ³√8 = 3 g) ³√27 + ⁴√16 = 5 h) ³√125 - ³√8 = 3 i) √25 - √4 + √16 = 7 j) √49 + √25 - ³√64 = 8 2º CASO : Os radicais são semelhantes. Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de