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sábado, 20 de agosto de 2016

Equação do 2º Grau


Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:

Classificação

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta

x²-9=0 » x²=9 » x= » x=
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta) b²-4ac:
(2ax+b)²=
2ax+b=
2ax=-b
Logo:
ou

Fórmula de Bháskara


Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:


Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
» x=2

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo: » vazio

Propriedades

Relações entre coeficientes e raízes

Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:
A soma das raízes será:
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será:


Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo:
Substituindo por
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
x² - Sx + P = 0
Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8

c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:

Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br




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