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terça-feira, 23 de agosto de 2016

Produtos notaveis

Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução.
Os produtos abaixo são exemplos, em forma geral, de produtos notáveis:

(a + b) . (a + b) = (a + b)2 Quadrado da soma

(a – b) . (a – b) = (a – b)2 Quadrado da diferença

(a + b) . (a – b) Produto da soma pela diferença

(x + p) . (x + q) Produto do tipo

(a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3 Cubo da soma

(a – b) . (a – b) . (a – b) = (a – b)3 Cubo da diferença

(a + b)2 é o mesmo que (a + b) . (a + b)

Então, utilizando a propriedade distributiva vamos calcular:

(a + b) . (a + b) ------ utilizando a propriedade distributiva.


a 2 + ab + ab + b 2 ------ operar os termos semelhantes.

a 2 + 2ab + b 2

Concluímos que:

(a + b) . (a + b) = (a + b)2
Concluimos que (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2


(a + b)2 = quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.
Resolvendo algebricamente:

(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).

Utilizando a propriedade distributiva temos:

(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.



a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes

a2 – 2ab + b2

Concluímos que:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2



(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:

(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).

Utilizando a propriedade distributiva temos:

(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.



a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes

a2 – 2ab + b2

Concluímos que:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2



(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:

(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).

Utilizando a propriedade distributiva temos:

(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.



a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes

a2 – 2ab + b2

Concluímos que:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2



(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:

(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).

Utilizando a propriedade distributiva temos:

(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.



a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes

a2 – 2ab + b2

Concluímos que:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2



(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.



a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.

a2 – b2

Concluímos que:

(a + b) . (a – b) = a 2 – b2

(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.


►Produto da forma (x + p) . (x + q)

Resolvendo algebricamente, temos:

(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva


x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:

x2 + x (q + p) + pq

Concluímos que:

(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq


Exemplo 1:

(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = 3 e q = 5

x2 + x(5 + 3) + 3 . 5

x2 + 8x + 15

Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.

Exemplo 2:

(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 3 e q = - 4

x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)

x2 – 7x + 12

Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12

Exemplo 3:

(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 5 q = 4

x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4

x2 – x - 20

Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20

Exemplo 4:

A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.



Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).

A = (x + 7) . (x – 1)

A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)

A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:

3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2

Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.

A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2

►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.



a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.

a2 – b2

Concluímos que:

(a + b) . (a – b) = a 2 – b2

(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.


►Produto da forma (x + p) . (x + q)

Resolvendo algebricamente, temos:

(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva


x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:

x2 + x (q + p) + pq

Concluímos que:

(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq


Exemplo 1:

(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = 3 e q = 5

x2 + x(5 + 3) + 3 . 5

x2 + 8x + 15

Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.

Exemplo 2:

(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 3 e q = - 4

x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)

x2 – 7x + 12

Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12

Exemplo 3:

(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 5 q = 4

x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4

x2 – x - 20

Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20

Exemplo 4:

A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.



Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).

A = (x + 7) . (x – 1)

A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)

A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:

3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2

Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.

A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2

►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.



a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.

a2 – b2

Concluímos que:

(a + b) . (a – b) = a 2 – b2

(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.


►Produto da forma (x + p) . (x + q)

Resolvendo algebricamente, temos:

(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva


x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:

x2 + x (q + p) + pq

Concluímos que:

(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq


Exemplo 1:

(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = 3 e q = 5

x2 + x(5 + 3) + 3 . 5

x2 + 8x + 15

Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.

Exemplo 2:

(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 3 e q = - 4

x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)

x2 – 7x + 12

Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12

Exemplo 3:

(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 5 q = 4

x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4

x2 – x - 20

Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20

Exemplo 4:

A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.



Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).

A = (x + 7) . (x – 1)

A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)

A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:

3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2

Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.

A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2

►Cubo da soma (a + b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b)3, podemos escrever assim:

(a + b) . (a + b) . (a + b)

(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:

(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.



a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Concluímos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplo:

(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:

x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125

x3 + 15x2 + 375x + 125

Concluímos que:

(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125



►Cubo da diferença (a – b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a – b)3 , podemos escrever assim:

(a – b) . (a – b) . (a – b)

(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:

(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.



a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.

a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Concluímos que:

(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Exemplo:

(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:

x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33

x3 – 9x2 + 27x – 27

Concluímos que:

(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27

►Cubo da soma (a + b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b)3, podemos escrever assim:

(a + b) . (a + b) . (a + b)

(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:

(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.



a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Concluímos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplo:

(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:

x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125

x3 + 15x2 + 375x + 125

Concluímos que:

(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125



►Cubo da diferença (a – b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a – b)3 , podemos escrever assim:

(a – b) . (a – b) . (a – b)

(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:

(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.



a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.

a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Concluímos que:

(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Exemplo:

(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:

x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33

x3 – 9x2 + 27x – 27

Concluímos que:

(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27

►Cubo da soma (a + b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b)3, podemos escrever assim:

(a + b) . (a + b) . (a + b)

(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:

(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.



a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Concluímos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplo:

(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:

x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125

x3 + 15x2 + 375x + 125

Concluímos que:

(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125



►Cubo da diferença (a – b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a – b)3 , podemos escrever assim:

(a – b) . (a – b) . (a – b)

(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:

(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.



a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.

a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Concluímos que:

(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Exemplo:

(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:

x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33

x3 – 9x2 + 27x – 27

Concluímos que:

(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27

►Cubo da soma (a + b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b)3, podemos escrever assim:

(a + b) . (a + b) . (a + b)

(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:

(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.



a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Concluímos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplo:

(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:

x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125

x3 + 15x2 + 375x + 125

Concluímos que:

(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125



►Cubo da diferença (a – b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a – b)3 , podemos escrever assim:

(a – b) . (a – b) . (a – b)

(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:

(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.



a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.

a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Concluímos que:

(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Exemplo:

(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:

x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33

x3 – 9x2 + 27x – 27

Concluímos que:

(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27

►Cubo da soma (a + b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b)3, podemos escrever assim:

(a + b) . (a + b) . (a + b)

(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:

(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.



a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Concluímos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplo:

(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:

x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125

x3 + 15x2 + 375x + 125

Concluímos que:

(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125



►Cubo da diferença (a – b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a – b)3 , podemos escrever assim:

(a – b) . (a – b) . (a – b)

(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:

(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.



a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.

a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Concluímos que:

(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Exemplo:

(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:

x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33

x3 – 9x2 + 27x – 27

Concluímos que:

(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
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