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quinta-feira, 1 de dezembro de 2016

Ângulos

fonte:http://www.somatematica.com.br
Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.
  • As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.

  • As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.
Podemos, então, estabelecer que:
Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.
MEDIDA DE UM ÂNGULO
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.
Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).
Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.
O grau compreende os submúltiplos:
  • O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.
1º=60'
  • O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.
1'=60''
Logo, podemos concluir que:
1º = 60'.60 = 3.600''
Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.


Como medir um ângulo, utilizando o transferidor
Observe a seqüência
  • O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.
  • A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do ângulo .
  • Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .
Leitura de um ângulo
Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:
15º (lê-se "15 graus'')
45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')
30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')
Observações
Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.
A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou de um número.

Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.
O ângulo de uma volta mede 360º.
Questões envolvendo medidas de ângulos
Observe a resolução das questões abaixo:
  • Determine a medida do ângulo AÔB na figura:
Solução
Medida de AÔB = x
Medida de BÔC = 105º
Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
x + 105º = 180º
x = 180º - 105º
x = 75º
Logo, a medida de AÔB é 75º.
  • Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:
Solução
Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:
x + 50º = 360º
x = 360º - 50º
x = 310º
Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.
Como construir um ângulo utilizando o transferidor
Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:
  • Traçamos uma semi-reta .
  • Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A).
  • Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.
  • Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º.
Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais.
Eles podem ser desenhados com esquadro.
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal.
Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:
  • Transforme 30º em minutos.
Solução
Sendo 1º = 60', temos:
30º = 30 . 60'= 1.800
'Logo, 30º = 1.800
  • Transforme 5º35' em minutos.
Solução
5º = 5 . 60' = 300'
300' + 35'= 335'
Logo, 5º35'= 335'.
  • transforme 8º em segundos.
Solução
Sendo 1º = 60', temos:
8º = 8 . 60'= 480
'Sendo 1'= 60'', temos:
480'= 480 . 60'' = 28.800''
Logo, 8º = 28.800''.
  • Transforme 3º35' em segundos.
Solução
3º = 3 . 60'= 180'
180' + 35' = 215'
215' . 60'' = 12.900''
Logo, 3º35'= 12.900''
  • Transforme 2º20'40'' em segundos.
Solução
2º = 2 . 60' = 120'
120' + 20' = 140'
140'. 60''= 8.400''
8.400'' + 40'' = 8.440''
Logo, 2º20'40'' = 8.440''
Transformando uma medida de ângulo em número misto
  • Transforme 130' em graus e minutos.
Solução

  • Transforme 150'' em minutos e segundos.
Solução

  • Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos.
Solução

Medidas fracionárias de um ângulo
  • Transforme 24,5º em graus e minutos.
solução
0,5º = 0,5 . 60' = 30'
24,5º= 24º + 0,5º = 24º30'
Logo, 24,5º = 24º30'.
  • Transforme 45º36' em graus.
solução
60'
36' x
x = 0,6º (lê-se ''seis décimos de grau'')
Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.
  • Transforme 5'54'' em minutos.
Solução
60'' 1'
54'' x
x = 0,9' ( lê-se ''nove décimos de minuto'')
Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'
OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS
Observe alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos:
Adição
  • 30º48' + 45º10'
  • 43º18'20'' + 25º20'30''
  • 10º36'30'' + 23º45'50''

Simplificando 33º81'80'', obtemos:

Logo, a soma é 34º22'20''.
Subtração
Observe os exemplos:
  • 70º25' - 30º15
  • 38º45'50'' - 27º32'35''

  • 90º - 35º49'46''

  • 80º48'30'' - 70º58'55''
Observe que:

Logo, a diferença é 9º 49'35''.
Multiplicação por um número natural
Observe os exemplos:
  • 2 . ( 36º 25')
  • 4 . ( 15º 12')
  • 5 . ( 12º36'40'')

Logo, o produto é 63º3'20''.
Divisão por um número natural
Observe os exemplos:
  • ( 40º 20') : 2
  • ( 45º20' ) : 4
  • ( 50º17'30'' ) : 6

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