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terça-feira, 23 de agosto de 2016

Função Quadrática ou do 2º grau

Função Quadrática
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

  1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
  2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
  3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
  4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
  5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

="center">
x y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
  • se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
  • se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:
  • quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
  • quando é zero, há só uma raiz real;
  • quando é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
a > 0
2ª quando a < 0,
a < 0
Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
  1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
  2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
  3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
  4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
  5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.
Sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º - > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
quando a > 0
y > 0 (x < x1 ou x > x2)
y < 0 x1 < x < x2
quando a < 0
y > 0 x1 < x < x2
y < 0 (x < x1 ou x > x2)
2º - = 0
quando a > 0
quando a < 0
3º - < 0
quando a > 0
quando a < 0
fonte:somatematica.com.br

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