cead20136

domingo, 16 de outubro de 2016

LÓGICA MATEMÁTICA

CÁLCULO PROPOSICIONAL
Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.

CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
PROPOSIÇÃOsentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.
· A lua é quadrada.
· A neve é branca.
· Matemática é uma ciência.
Não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas ou exclamativas.

OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
· VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) .
Exemplos:    A lua é quadrada : p
                     A neve é branca : q
· CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :




Ùe , Úou , ® : se...então , « : se e somente se , ~nãoExemplos:




· A lua é quadrada e a neve é branca. : Ù q (p e q são chamados conjunctos)· A lua é quadrada ou a neve é branca. : Ú q ( p e q são chamados disjunctos)
· Se a lua é quadrada então a neve é branca. : ® q ( p é o antecedente e q o conseqüente)
· A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : « q
· A lua não é quadrada. : ~p

 
· SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) , parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos;
Exemplos:




· Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada. :
   ((p Ù q) ® ~ p)· A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca. :
   ((~ p) «q))
· DEFINIÇÃO DE FÓRMULA :




1. Toda fórmula atômicaé uma fórmula.
2. Se A e B são fórmulas então
    (A Ú B) , (A Ù B) , (A ® B) , (A « B) (~ A) também são fórmulas.
3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. .
Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ~Ú , Ù , ®« .
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita.
Exemplo: a fórmula Ú q Ù ~ r ® p ® ~ q deve ser entendida como
                  (((p Ú q) Ù (~ r)) ® ( p ® (~ q)))

AS TABELAS VERDADE
A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:
· Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
· Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa.
· Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente.
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade :
1.Tabela verdade da "negação" ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).
p~p
VF
FV
2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjunctos são verdadeiros.
p
q
Ù q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os disjunctos são falsos.
p
q
Ú q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.
p
q
® q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos
p
q
« q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p Ú q) ® ~p) ® (q Ù p)
p
q
      ((p Ú q) ® ~p) ® (q Ù p) 
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F

·NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n. Assim, para duas proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições são 23 = 8; etc.
Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p Ù q) ® r) terá 8 linhas como segue :
p
q
r
((p Ù q) ® r )
V
V
V
V      V
V
V
F
V      F
V
F
V
F     V
V
F
F
F     V
F
V
V
F     V
F
V
F
F     V
F
F
V
F     V
F
F
F
F     V

NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclusivo(disjunção) Ú ("vel")  e exclusivo Ú  ( "aut") onde Úq significa ((p Ú q) Ù~ (p Ù q)).
p
q
((p Ú q) Ù ~ (p Ù q))
V
V
       V       F  F     V
V
F
        V      V  V     F
F
V
        V      V  V     F
F
F
        F       V     F 

CELINA ABAR 

Nenhum comentário:

Postar um comentário