cead20136

sábado, 22 de outubro de 2016

O CÁLCULO PROPOSICIONAL E A ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS

Cálculo Proposicional e a Álgebra dos Conjuntos possuem estruturas semelhantes.
Toda fórmula do Cálculo Proposicional determina uma operação correspondente entre conjuntos :
  • a negação (~ ) corresponde à complementação (  ),
  • a conjunção (Ù ) corresponde à intersecção (Ç ) ,
  • a disjunção (Ú ) corresponde à união (È ).
As variáveis proposicionais podem servir como variáveis simbolizando conjuntos na nova expressão.
Exemplo(( p Ú q) Ù ~ p)corresponde a (( p È q ) Ç p’)
Podemos expressar, as operações entre conjuntos através dos DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que são úteis na verificação de propriedades de operações entre conjuntos, mas não devem ser considerados instrumentos de prova matemática rigorosa. Verifique seu conhecimento com estas operações considerando 2 conjuntos ou  3 conjuntos.
1.COMPLEMENTAÇÃO : p’que corresponde à NEGAÇÃO :~p
p~ p
1V F
2FV
onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem às regiões (1) e (2) do diagrama respectivamente.
2.UNIÃO : È q que corresponde à DISJUNÇÃO: Úq
          p È q

p

q

p Ú q
1VV
V
2VF
V
3FV
V
4FF
F
as linhas (1), (2), (3) e (4) da tabela correspondem às regiões (1), (2), (3) e (4) do diagrama respectivamente.
região hachurada no diagrama corresponde às linhas da tabela onde a fórmula Ú q assume valor V.
3. INTERSECÇÃO : Ç q que corresponde à CONJUNÇÃO: Ù q
            p Ç q
pqp Ùq
1VV
V
2VF
F
3FV
F
4FF
F
região hachurada do diagrama corresponde à linha (1) da tabela, onde a fórmula pÙassume valor V.
A figura abaixo forma um Diagrama de Venn apropriado para três conjuntos. Temos 8 regiões que correspondem, respectivamente, às 8 linhas da tabela-verdade ao lado do diagrama :

pq
r
1VV
V
2VV
F
3VF
V
4VF
F
5FV
V
6FV
F
7FF
V
8FF
F
Exemplo: O diagrama de Venn abaixo corresponde à fórmula ~((p Ù q) ® r) e à expressão (p Ç q) Ç r’. O valor V da fórmula (última coluna) corresponde à região do diagrama de Venn.

p
q
r
~((p Ù q) ® r )
V
V
V
F         V      V   V
V
V
F
V        V      F    F
V
F
V
F         F      V    V
V
F
F
F         F      V    F 
F
V
V
F         F      V    V
F
V
F
F         F      V    F
F
F
V
F         F      V    V
F
F
F
F         F      V    F

CELINA ABAR

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