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sábado, 19 de novembro de 2016

Função Exponencial


Uma função f : IR seta R+ dada pela lei f(x) = ax,   onde a > 0  e  a diferente 1  é chamada de função exponencial.
Se a > 1 a função é crescente                            Se 0 < a < 1 a função é decescente
gráfico               gráfico
A curva Exponencial não toca no eixo dos "x" e, portanto, a função não tem raiz.

Valor numérico:
Dada uma função Exponencial f(x) = 7x, pode-se encontrar o valor numérico para x = 2, ou seja, f(2) = 72 = 49.
Agora, se "x" for negativo, por exemplo, – 2, tem-se f(– 2) = 7–2 = ( 1 / 7)2 = ( 12 / 72 ) = 1/49.
Toda vez que o expoente for negativo inverte-se a base e o expoente passa a ser positivo.

Uma aplicação da função exponencial
O aluguel de um imóvel é de R$ 5 000,00 e por contrato deve aumentar 10% todo ano, quanto custará em cinco anos?
No primeiro ano: M(1) = 5000 + 5000 . 0,1 = 5000 (1 + 0,1)
No segundo ano: M(2) = 5000 (1 + 0,1) + 5000 (1 + 0,1) . 0,1 = 5000 (1 + 0,1) . (1 + 0,1) = 5000 (1 + 0,1)2
No terceiro ano: M(3) = 5000 (1 + 0,1)2 + 5000 (1 + 0,1)2. 0,1 = 5000 (1 + 0,1)2 . (1 + 0,1) = 5000 (1 + 0,1)3
No quarto ano: M(4) = 5000 (1 + 0,1)3 + 5000 (1 + 0,1)3 . 0,1 = 5000 (1 + 0,1)3 . (1 + 0,1) = 5000 (1 + 0,1)4
No quinto ano: M(5) = 5000 (1 + 0,1)4 + 5000 (1 + 0,1)4 . 0,1 = 5000 (1 + 0,1)4 . (1 + 0,1) = 5000 (1 + 0,1)5
Assim, em cinco anos custará: 5000 . 1,15 = 5000 . 1,61051 = 8 052,55.

De uma forma geral, chamando 5000 de capital inicial (c), 10% de taxa (i), e 5 anos de tempo (t)
M(t) = c . (1 + i)t   ( fórmula do cálculo do montante em juros compostos ).

Equação Exponencial

Uma equação onde a incógnita está no expoente é chamada de equação exponencial.
Resolução:
— A principal maneira de se resolver uma equação Exponencial é deixando as bases iguais, em ambos os membros da igualdade.
2x = 4     ( fatorando-se o 4 se tem que 4 = 22) e daí,
2x = 22   ( uma vez que as bases são iguais os expoentes também o são ).
Expoente à esquerda da igualdade x, expoente à direita da igualdade 2, então a solução é:
S = { x pertence IR ; x = 2 } ou simplesmente S = { 2 }.

— Mesmo em algumas situações que a princípio não seja fácil de se observar:
4x + 1 = 9x + 1     ( dividindo-se ambos os membros por, 9x + 1)
4x + 1 / 9x + 1 = 9x + 1 / 9x + 1
(4/9)x + 1 = 1         ou         (4/9)x + 1 = (4/9)0         ou         x + 1 = 0
S = { – 1 }.

Inquação Exponencial

As inequações exponênciais seguem o mesmo princípio das equações com exceção de que:
Se a base for menor do que 1, a desigualdade é invertida, caso contrário, não se altera.

Resolução:
42x + 3 > 8   ( fatorando tanto o 4 como o 8 ) tem-se:
( 22)2x + 3 > 23   ( expoente com expoente multiplica-se )
24x + 6 > 23   ( a base é maior do que 1, então a desigualdade não se altera )
4x + 6 > 3         ou         4x + 6 – 3 > 0         ou         4x + 3 > 0   ( que é uma inequação do 1° grau )
S = { x pertence IR ; x > – 3/4 }
(1/2)x + 2 maior ou igual 1/16
(1/2)x + 2 maior ou igual (1/2)4   ( a base é menor do que 1, então a desigualdade é invertida )
x + 2 menor ou igual 4         ou         x – 2 menor ou igual 0 ( que é uma inequação do 1° grau )
S = { x pertence IR ; x menor ou igual 2 }

Exercícios Resolvidos
R01 — Faça um esboço do gráfico de f(x) = 2x.
Igualando o exponente a zero tem-se x = 0, tomando um valor menor e um valor maior:
f(– 1) = 2– 1 = (1/2)1 = 1/2
f(0) = 20 = 1
f(1) = 21 = 2
gráfico

R02 — O produto das soluções da equação ( 2x )x – 1 = 4 é:
a) – 3                 b) – 2                 c) – 1                 d) 0                 e) 1
Multiplicando os expoentes fica:    2x2– x = 22   (as bases são iguais )
x2 – x = 2         ou         x2 – x – 2 = 0    ( que é uma equação do 2° grau)
x' = 2         e         x'' = – 1, logo o produto das soluções é – 2.
Alternativa "b".

R03 — Encontre a solução da equação 22x – 2 = 2x2– 1.
As bases já são iguais, então 2x – 2 = x2 – 1         ou         x2 – 1 – 2x + 2 = 0         ou          x2 – 2x + 1 = 0
Resolvendo a equação obtem-se x' = x'' = 1.
S = { 1 }.

R04 — Encontre a soma das soluções da equação exponencial 2x + 4 . 2–x = 5.
Como 2–x = 1/2^x,  a equação fica:     2x + 4 . 1/2^x = 5       e     substituindo 2x = y
y + 4/y = 5         ou         y2 + 4 = 5y         ou         y2 – 5y + 4 = 0
Então, y' = 4      e     y'' = 1 e como 2x = y tem-se:
2x = 4, e daí x = 2      e     2x = 1         ou          2x = 20, e daí x = 0
Então a soma das soluções é 2 + 0 = 2.

R05 — Se x é um número real tal que 4x – 4x – 1 = 24, calcule (2x)x.
4x – 1 pode ser escrito na forma 4x . 4– 1 = 4x . 1/4 = 4x / 4, então:
4x – 4x – 1 = 24    fica    4x – 4x / 4 = 24         ou         4 . 4x – 4x = 24 . 4
Fazendo 4x = y tem-se: 4y – y = 24 . 4        ou         3y = 24 . 4        ou         y = (24 . 4) / 3 = 8 . 4 = 32
Então, 4x = 32         ou         22x = 25         ou         2x = 5         ou         x = 5/2.
(2x)x = (2 . 5/2)5/2 = 55/2 = raiz de 2^5 = raiz de 2^4.2 = 4 raiz de 2.

R06 — Encontre a soma dos dois maiores números inteiros que satisfazem a desigualdade 1/8menor ou igual 2– x.
Como 1/8 = 1/2^3 = 2–3 tem-se:
1/8 = 2– x implica 2–3 menor ou igual 2– x        ou          – 3 menor ou igual – x        ou         x – 3 menor ou igual 0    ( que é uma inequação do 1° grau ).
Logo, tem-se que os dois maiores números inteiros da condição: x menor ou igual 3 são: 2 e 3, logo a soma é: 2 + 3 = 5.

R07 — Resolva o sistema  S = 2expx+3expy
Esse sistema pode ser resolvido pela adição das duas equações, daí:
2x + 2x = 11 + 5        ou         2 . 2x = 16        ou
2x = 16 / 2        ou         2x = 8        ou         2x = 23        ou         x = 3.
Substituindo o valor de "x" na primeira equação tem-se:
23 + 3y = 11        ou         8 + 3y = 11        ou         3y = 11 – 8
3y = 3        ou         y = 1.
S = { ( 3, 1) }.

R08 — Seja a é um número real tal que 0 < a < 1, resolva a inequação a2x + 1 > (1/a)x – 3.
Como (1/a)x – 3 = (a–1)x – 3 = a–x + 3, tem-se que:
a2x + 1 > (1/a)x – 3 implica a2x + 1 > a– x + 3 e como a < 1 tem-se:
2x + 1 – x + 3        ou         2x + x + 1 – 3 < 0        ou         3x – 2 < 0 ( que é uma inequação do 1° grau )
S = { x pertence IR ; x < 2/3 }

R09 — Resolva a equação 32x – 1 – 3x – 3x – 1 + 1 = 0.
Como 32x – 1 = 32x . 3– 1 = 32x/3        e         3x – 1 = 3x . 3– 1 = 3x/3, tem-se:
32x/3 – 3x – 3x/3 + 1 = 0   ( multiplicando tudo por 3 )
32x – 3 . 3x – 3x + 3 = 0   ( como 32x = (3x)2 )
(3x)2 – 3 . 3x – 3x + 3 = 0   ( substituindo 3x = y )
y2 – 3y – y + 3 = 0        ou         y2 – 4y + 3 = 0   ( que é uma equação do 2° grau )
y' = 3 e y'' = 1, como 3x = y tem-se:
3x = 3 e, daí x = 1        ou         3x = 1        ou         3x = 30, e daí x = 0
S = { 0, 1 }.

R10 — Determine o conjunto solução de 32x + 1 – 9x – 32x – 1 – 9x – 1 maior ou igual 126.
Como 32x + 1 = 32x . 3 = (32)x . 3 = 9x . 3    e   32x – 1 = 32x . 3– 1 = (32)x/3 = 9x/3    e   9x – 1 = 9x . 9– 1 = 9x/9
9x . 3 – 9x – 9x/3 – 9x/9 maior ou igual 126   ( multiplicando tudo por 9 )
27 . 9x – 9 . 9x – 3 . 9x – 9x maior ou igual 126   ( substituindo 9x = y )
27y – 9y – 3y – y maior ou igual 126
14y maior ou igual 126        ou         14y – 126 maior ou igual 0   ( que é uma inequação do 1° grau )
Então, y maior ou igual 9 e como 9x = y implica 9x maior ou igual 9

S = { x pertence IR ; x maior ou igual 1 }

R11 — Resolva a inequação 4x + 1 – 6 . 2 x + 2 maior ou igual 0.
Como 4x + 1 = (22)x . 41 = (2x)2 . 4 tem-se:
4 . (2x)2 – 6 . 2 x + 2 maior ou igual 0   ( substituindo 2x = y )
4 y2 – 6y + 2 maior ou igual 0   ( que é uma inequação do 2° grau )
Em 4 y2 – 6y + 2 = 0 tem-se: y' = 1 e y'' = 1/2, e a inequação é positiva ou nula em:
menor ou igual 1/2 ou y maior ou igual 1
2x menor ou igual 1/2, isto é, 2x menor ou igual 2–1 e, daí x menor ou igual – 1        ou         2x maior ou igual 1, isto é, 2x maior ou igual 20 e, daí x maior ou igual 0
S = { x pertence IR ; x menor ou igual – 1 ou x maior ou igual 0 }.

R12 — Resolva a equação raiz 3^x-1 = 92x – 1.
Como raiz n = 2p/n, então a equação acima pode ser vista como:
3(x – 1)/2 = 92x – 1
3(x – 1)/2 = (32)2x – 1
3(x – 1)/2 = 34x – 2
(x – 1)/2 = 4x – 2
x – 1 = 2(4x – 2)
x – 1 = 8x – 4
– 1 + 4 = 8x – x
daí 3 = 7x e, portanto, x = 3/7.
S = { 3/7 }.

Exercícios Propostos
P01 — Faça um esboço gráfico de f(x) = (1/4)x.

P02 — Considerando a função f(x) = ax, em que 0 < a < 1, tem-se:
a) se x > 0 então f(x) > 1
b) se x < 0 então f(x) < 1
c) se x < 0 então f(x) < – 1
d) se x > 0 então f(x) < 1 

P03 — A solução da equação 112x + 5 = 1 é:
a) Z               b) Q+               c) Q               d) IR+               e) IR – Q

P04 — Resolva as equações:
a) (0,1)2x – 1 = (0,01)4x + 3                  b) 7x / (1 – x) = 49

P05 — Determine a solução das equações:
a) 3x = (0,3333...)x + 1                  b) 23x . (5x)3 = 1000.

P06 — Qual a solução da equação exponencial 9x . 52x = 225.

P07 — Obtenha a solução da equação 3 . 3x = raiz de 3.

P08 — Se 2x + 3 = 24, então 2–x é:
a) 2/3                  b) 3                  c) 1/3                  d) 8                  e) 1/8

P09 — Obtenha a solução da equação raiz3 = 82x – 3.

P10 — (PUC-RS) A soma das raízes da equação é 4x – 2/5 . 42x – 1 – 2/5 = 0 é:
a) 10                  b) 8                  c) 4                  d) 2                  e) 1

P11 — (IPA/IMEC) Se 2x + 2–x = 10 então 4x + 4–x vale:
a) 40                  b) 50                  c) 75                  d) 98                  e) 100

P12 — (PUC-RS) A soma das raízes da equação 9 . 5x2 – 2x + 1 = 5625 é:
a) – 4                  b) – 2                  c) – 1                  d) 2                  e) 4

P13 — Resolva a equação 2 x – 4 + 2x = 34.

P14 — Obtenha o conjunto solução da inequação (2 raiz de 2x > ( 1/2 )3x + 2.

P15 — O menor inteiro que satisfaz a inequação ( 1/4 )2x – 5 > 321 – x é:
a) – 5                 b) – 4                 c) –3                 d) 0                 d) 3

P16 — Encontre a solução da inequação 2x . 4x + 1 . 8x + 2 > 16x + 3.

P17 — Determine a solução da inequação 9 < 273x – 1 < 27.

P18 — Obtenha o conjunto solução da inequação (3 + raiz de dois )x > – 2.

P19 — A soma dos dois menores valores de x que satisfaz a desigualdade (0,1)5x – 1 < (0,1)2x + 5 é:
a) 3                 b) 4                 c) 5                 d) 6                 e) 7

P20 — A equação 2x – 1 . 128x = raiz 512^5 tem como solução:
a) vazio                  b) { 1 }                  c) { –23/8 }                   d) { 2 }                  e) { 3 }
fonte:hpdemat.apphb.com

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