Função Exponencial

Uma função f :    dada pela lei f(x) = a^x,   onde a > 0  e  a  1  é chamada de função exponencial.

Se a > 1 a função é crescente                            Se 0 < a < 1 a função é decescente
               

A curva Exponencial não toca no eixo dos "x" e, portanto, a função não tem raiz.

Valor numérico:
Dada uma função Exponencial f(x) = 7^x, pode-se encontrar o valor numérico para x = 2, ou seja, f(2) = 7² = 49.
Agora, se "x" for negativo, por exemplo, – 2, tem-se f(– 2) = 7^–2 = ( 1 / 7)² = ( 1² / 7² ) = 1/49.

Toda vez que o expoente for negativo inverte-se a base e o expoente passa a ser positivo.

Uma aplicação da função exponencial

O aluguel de um imóvel é de R$ 5 000,00 e por contrato deve aumentar 10% todo ano, quanto custará em cinco anos?
No primeiro ano: M(1) = 5000 + 5000 . 0,1 = 5000 (1 + 0,1)
No segundo ano: M(2) = 5000 (1 + 0,1) + 5000 (1 + 0,1) . 0,1 = 5000 (1 + 0,1) . (1 + 0,1) = 5000 (1 + 0,1)²
No terceiro ano: M(3) = 5000 (1 + 0,1)² + 5000 (1 + 0,1)². 0,1 = 5000 (1 + 0,1)² . (1 + 0,1) = 5000 (1 + 0,1)³
No quarto ano: M(4) = 5000 (1 + 0,1)³ + 5000 (1 + 0,1)³ . 0,1 = 5000 (1 + 0,1)³ . (1 + 0,1) = 5000 (1 + 0,1)⁴
No quinto ano: M(5) = 5000 (1 + 0,1)⁴ + 5000 (1 + 0,1)⁴ . 0,1 = 5000 (1 + 0,1)⁴ . (1 + 0,1) = 5000 (1 + 0,1)⁵
Assim, em cinco anos custará: 5000 . 1,1⁵ = 5000 . 1,61051 = 8 052,55.

De uma forma geral, chamando 5000 de capital inicial (c), 10% de taxa (i), e 5 anos de tempo (t)
M(t) = c . (1 + i)^t   ( fórmula do cálculo do montante em juros compostos ).

Equação Exponencial

Uma equação onde a incógnita está no expoente é chamada de equação exponencial.

Resolução:
— A principal maneira de se resolver uma equação Exponencial é deixando as bases iguais, em ambos os membros da igualdade.
2^x = 4     ( fatorando-se o 4 se tem que 4 = 2²) e daí,
2^x = 2²   ( uma vez que as bases são iguais os expoentes também o são ).
Expoente à esquerda da igualdade x, expoente à direita da igualdade 2, então a solução é:
S = { x   ; x = 2 } ou simplesmente S = { 2 }.

— Mesmo em algumas situações que a princípio não seja fácil de se observar:
4^{x + 1} = 9^{x + 1}     ( dividindo-se ambos os membros por, 9^{x + 1})
4^{x + 1} / 9^{x + 1} = 9^{x + 1} / 9^{x + 1}
(4/9)^{x + 1} = 1         ou         (4/9)^{x + 1} = (4/9)⁰         ou         x + 1 = 0
S = { – 1 }.

Inquação Exponencial

As inequações exponênciais seguem o mesmo princípio das equações com exceção de que:
Se a base for menor do que 1, a desigualdade é invertida, caso contrário, não se altera.

Resolução:
4^{2x + 3} > 8   ( fatorando tanto o 4 como o 8 ) tem-se:
( 2²)^{2x + 3} > 2³   ( expoente com expoente multiplica-se )
2^{4x + 6} > 2³   ( a base é maior do que 1, então a desigualdade não se altera )
4x + 6 > 3         ou         4x + 6 – 3 > 0         ou         4x + 3 > 0   ( que é uma inequação do 1° grau )
S = { x   ; x > – 3/4 }

(1/2)^{x + 2}  1/16
(1/2)^{x + 2}  (1/2)⁴   ( a base é menor do que 1, então a desigualdade é invertida )
x + 2  4         ou         x – 2  0 ( que é uma inequação do 1° grau )
S = { x   ; x  2 }

Exercícios Resolvidos

R01 — Faça um esboço do gráfico de f(x) = 2^x.

Igualando o exponente a zero tem-se x = 0, tomando um valor menor e um valor maior:
f(– 1) = 2^{– 1} = (1/2)¹ = 1/2
f(0) = 2⁰ = 1
f(1) = 2¹ = 2

R02 — O produto das soluções da equação ( 2^x )^{x – 1} = 4 é:
a) – 3                 b) – 2                 c) – 1                 d) 0                 e) 1

Multiplicando os expoentes fica:    2^{x2– x} = 2²   (as bases são iguais )
x² – x = 2         ou         x² – x – 2 = 0    ( que é uma equação do 2° grau)
x' = 2         e         x'' = – 1, logo o produto das soluções é – 2.
Alternativa "b".

R03 — Encontre a solução da equação 2^{2x – 2} = 2^{x2– 1}.

As bases já são iguais, então 2x – 2 = x² – 1         ou         x² – 1 – 2x + 2 = 0         ou          x² – 2x + 1 = 0
Resolvendo a equação obtem-se x' = x'' = 1.
S = { 1 }.

R04 — Encontre a soma das soluções da equação exponencial 2^x + 4 . 2^–x = 5.

Como 2^–x = ,  a equação fica:     2^x + 4 .  = 5       e     substituindo 2^x = y
y + 4/y = 5         ou         y² + 4 = 5y         ou         y² – 5y + 4 = 0
Então, y' = 4      e     y'' = 1 e como 2^x = y tem-se:
2^x = 4, e daí x = 2      e     2^x = 1         ou          2^x = 2⁰, e daí x = 0
Então a soma das soluções é 2 + 0 = 2.

R05 — Se x é um número real tal que 4^x – 4^{x – 1} = 24, calcule (2x)^x.

4^{x – 1} pode ser escrito na forma 4^x . 4^{– 1} = 4^x . 1/4 = 4^x / 4, então:
4^x – 4^{x – 1} = 24    fica    4^x – 4^x / 4 = 24         ou         4 . 4^x – 4^x = 24 . 4
Fazendo 4^x = y tem-se: 4y – y = 24 . 4        ou         3y = 24 . 4        ou         y = (24 . 4) / 3 = 8 . 4 = 32
Então, 4^x = 32         ou         2^2x = 2⁵         ou         2x = 5         ou         x = 5/2.
(2x)^x = (2 . 5/2)^5/2 = 5^5/2 =  =  = 4 .

R06 — Encontre a soma dos dois maiores números inteiros que satisfazem a desigualdade  2^{– x}.

Como  =  = 2^–3 tem-se:
 = 2^{– x}  2^–3  2^{– x}        ou          – 3  – x        ou         x – 3  0    ( que é uma inequação do 1° grau ).
Logo, tem-se que os dois maiores números inteiros da condição: x  3 são: 2 e 3, logo a soma é: 2 + 3 = 5.

R07 — Resolva o sistema  S = 

Esse sistema pode ser resolvido pela adição das duas equações, daí:
2^x + 2^x = 11 + 5        ou         2 . 2^x = 16        ou
2^x = 16 / 2        ou         2^x = 8        ou         2^x = 2³        ou         x = 3.
Substituindo o valor de "x" na primeira equação tem-se:
2³ + 3^y = 11        ou         8 + 3^y = 11        ou         3^y = 11 – 8
3^y = 3        ou         y = 1.
S = { ( 3, 1) }.

R08 — Seja a é um número real tal que 0 < a < 1, resolva a inequação a^{2x + 1} > (1/a)^{x – 3}.

Como (1/a)^{x – 3} = (a^–1)^{x – 3} = a^{–x + 3}, tem-se que:
a^{2x + 1} > (1/a)^{x – 3}  a^{2x + 1} > a^{– x + 3} e como a < 1 tem-se:
2x + 1 < – x + 3        ou         2x + x + 1 – 3 < 0        ou         3x – 2 < 0 ( que é uma inequação do 1° grau )
S = { x   ; x < 2/3 }

R09 — Resolva a equação 3^{2x – 1} – 3^x – 3^{x – 1} + 1 = 0.

Como 3^{2x – 1} = 3^2x . 3^{– 1} = 3^2x/3        e         3^{x – 1} = 3^x . 3^{– 1} = 3^x/3, tem-se:
3^2x/3 – 3^x – 3^x/3 + 1 = 0   ( multiplicando tudo por 3 )
3^2x – 3 . 3^x – 3^x + 3 = 0   ( como 3^2x = (3^x)² )
(3^x)² – 3 . 3^x – 3^x + 3 = 0   ( substituindo 3^x = y )
y² – 3y – y + 3 = 0        ou         y² – 4y + 3 = 0   ( que é uma equação do 2° grau )
y' = 3 e y'' = 1, como 3^x = y tem-se:
3^x = 3 e, daí x = 1        ou         3^x = 1        ou         3^x = 3⁰, e daí x = 0
S = { 0, 1 }.

R10 — Determine o conjunto solução de 3^{2x + 1} – 9^x – 3^{2x – 1} – 9^{x – 1}  126.

Como 3^{2x + 1} = 3^2x . 3 = (3²)^x . 3 = 9^x . 3    e   3^{2x – 1} = 3^2x . 3^{– 1} = (3²)^x/3 = 9^x/3    e   9^{x – 1} = 9^x . 9^{– 1} = 9^x/9
9^x . 3 – 9^x – 9^x/3 – 9^x/9  126   ( multiplicando tudo por 9 )
27 . 9^x – 9 . 9^x – 3 . 9^x – 9^x  126   ( substituindo 9^x = y )
27y – 9y – 3y – y  126
14y  126        ou         14y – 126  0   ( que é uma inequação do 1° grau )
Então, y  9 e como 9^x = y  9^x  9

S = { x   ; x  1 }

R11 — Resolva a inequação 4^{x + 1} – 6 . 2 ^x + 2  0.

Como 4^{x + 1} = (2²)^x . 4¹ = (2^x)² . 4 tem-se:
4 . (2^x)² – 6 . 2 ^x + 2  0   ( substituindo 2^x = y )
4 y² – 6y + 2  0   ( que é uma inequação do 2° grau )
Em 4 y² – 6y + 2 = 0 tem-se: y' = 1 e y'' = 1/2, e a inequação é positiva ou nula em:
y  1/2 ou y  1
2^x  1/2, isto é, 2^x  2^–1 e, daí x  – 1        ou         2^x  1, isto é, 2^x  2⁰ e, daí x  0
S = { x   ; x  – 1 ou x  0 }.

R12 — Resolva a equação  = 9^{2x – 1}.

Como  = 2^p/n, então a equação acima pode ser vista como:
3^{(x – 1)/2} = 9^{2x – 1}
3^{(x – 1)/2} = (3²)^{2x – 1}
3^{(x – 1)/2} = 3^{4x – 2}
(x – 1)/2 = 4x – 2
x – 1 = 2(4x – 2)
x – 1 = 8x – 4
– 1 + 4 = 8x – x
daí 3 = 7x e, portanto, x = 3/7.
S = { 3/7 }.

Exercícios Propostos

P01 — Faça um esboço gráfico de f(x) = (1/4)^x.

P02 — Considerando a função f(x) = a^x, em que 0 < a < 1, tem-se:
a) se x > 0 então f(x) > 1
b) se x < 0 então f(x) < 1
c) se x < 0 então f(x) < – 1
d) se x > 0 então f(x) < 1 

P03 — A solução da equação 11^{2x + 5} = 1 é:
a) _–               b) ₊               c) _–               d) ₊               e)  – 

P04 — Resolva as equações:
a) (0,1)^{2x – 1} = (0,01)^{4x + 3}                  b) 7^{x / (1 – x)} = 49

P05 — Determine a solução das equações:
a) 3^x = (0,3333...)^{x + 1}                  b) 2^3x . (5^x)³ = 1000.

P06 — Qual a solução da equação exponencial 9^x . 5^2x = 225.

P07 — Obtenha a solução da equação 3 . 3^x = .

P08 — Se 2^{x + 3} = 24, então 2^–x é:
a) 2/3                  b) 3                  c) 1/3                  d) 8                  e) 1/8

P09 — Obtenha a solução da equação  = 8^{2x – 3}.

P10 — (PUC-RS) A soma das raízes da equação é 4^x –  . 4^{2x – 1} –  = 0 é:
a) 10                  b) 8                  c) 4                  d) 2                  e) 1

P11 — (IPA/IMEC) Se 2^x + 2^–x = 10 então 4^x + 4^–x vale:
a) 40                  b) 50                  c) 75                  d) 98                  e) 100

P12 — (PUC-RS) A soma das raízes da equação 9 . 5^{x2 – 2x + 1} = 5625 é:
a) – 4                  b) – 2                  c) – 1                  d) 2                  e) 4

P13 — Resolva a equação 2 ^{x – 4} + 2^x = 34.

P14 — Obtenha o conjunto solução da inequação (2 ) ^x > (  )^{3x + 2}.

P15 — O menor inteiro que satisfaz a inequação (  )^{2x – 5} > 32^{1 – x} é:
a) – 5                 b) – 4                 c) –3                 d) 0                 d) 3

P16 — Encontre a solução da inequação 2^x . 4^{x + 1} . 8^{x + 2} > 16^{x + 3}.

P17 — Determine a solução da inequação 9 < 27^{3x – 1} < 27.

P18 — Obtenha o conjunto solução da inequação (3 +  )^x > – 2.

P19 — A soma dos dois menores valores de x que satisfaz a desigualdade (0,1)^{5x – 1} < (0,1)^{2x + 5} é:
a) 3                 b) 4                 c) 5                 d) 6                 e) 7

P20 — A equação 2^{x – 1} . 128^x =  tem como solução:
a)                   b) { 1 }                  c) { –23/8 }                   d) { 2 }                  e) { 3 }

fonte:hpdemat.apphb.com