cead20136

terça-feira, 1 de novembro de 2016

Função Logarítmica


Chama-se logaritmo de "A" na base "B" ao número "x" tal que, logB A = x se, so se Bx = A.
Ao se escrever logB A = x    (lê-se: log de A na base B igual a "x") tem-se que:
B é a base do logaritmo,       A é o logaritmando       e       x é o logaritmo.

B > 0 e B diferente 1   ( a base é um número real positivo e diferente de 1 );
A > 0    ( o logaritmando é sempre um número real positivo );
pertence IR   ( o logaritmo "x" é um número real qualquer, positivo, negativo ou nulo ).

Consequências da definição

Como se sabe que logB A = x se, so se Bx = A:
1ª)  logB 1 = 0, pois B0 = 1    ( o logaritmo de 1 em qualquer base é zero )
2ª)  logB B = 1, pois B1 = B    ( o logaritmo de um número na sua própria base é 1 )
3ª)  BlogB A = A, pois substituindo logB A por "x" fica Bx = A.
4ª)  logB A = logB C se, so se A = C, pois em logB A = logB C se tem que:   BlogB C = A, ou seja, C = A.

Propriedades operatórias do logaritmo

1ª)  logB (A . C) = logB A + logB C    ( o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos )
2ª)  logB (A / C) = logB A – logB C    ( o logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos )
3ª)  logB An = n . logB A    ( o logaritmo de uma potência é o produto do expoente pelo logaritmo desse número )
4ª)  logBn A = 1/n . logB A    ( se o expoente estiver na base, ele continua a multiplicar o logaritmo, mas invertido )
Exemplo:
— Calcule o valor das expressões:
a) 61 – log6 2                   b) log2 8 raiz de 2 – 2 . log2 (log3 81).
a) 61 – log6 2 = 61 . 6–log6 2 = 6 . 6log6 2–1 = 6 . 2–1 = 6 . (1/2) = 3.

b) log2 8 raiz de 2 – 2 . log2 (log3 81) = log2 23 . 21/2 – 2 . log2 (log3 34) =
log2 23 + 1/2 – 2 . log2 (4 . log3 3) = log2 27/2 – 2 . log2 (4 . 1) = (7/2) . log2 2 – 2 . log2 4 =
(7/2) . 1 – 2 . log2 22 = 7/2 – 2 . 2 . log2 2 = 7/2 – 2 . 2 . 1 = 7/2 – 4 = – 1/2.

Cologaritmo

Chama-se cologaritmo de "x" na base B, e escreve-se, cologB x ao logaritmo do inverso do logaritmando na mesma base,
cologB x = logB (1 / x)         ou          cologB x = – logB x.

Logaritmo natural

Chama-se logaritmo natural ou neperiano ao logaritmo de base e (número de Euler, ondee ~ 2,71828)
Ao invés de se escrever loge x, escreve-se ln x.

Logaritmo decimal

Chama-se logaritmo decimal ao logaritmo de base 10.
Ao invés de se escrever log10 x, escreve-se log x (não se escreve a base).

Mudança de Base

Algumas vezes é necessário fazer uma conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma outra base.
Para mudar de base se faz o quociente entre o logaritmo do logaritmando e o logaritmo da antiga base, ambos na nova base.

Se em logB x, desejar mudar dessa base B para uma base H, tem-se:
logB x = (logH x) / (logH B). 
Exemplo:
— Simplifique a expressão: log2 16 . log4 3 . log25 2 . log3 5.
log2 16 . log4 3 . log25 2 . log3 5 = log2 24 . log22 3 . log52 2 . log3 5 =
4 . log2 2 . (1/2) . log2 3 . (1/2) . log5 2 . log3 5 =
4 . 1 . (1/2) . (1/2) . log2 3 . log5 2 . log3 5 =
mudando para a base 10:
1 . (log 3 / log 2) . (log 2 / log 5) . (log 5 / log 3) =
organizando:
(log 3 / log 3) . (log 2 / log 2) . (log 5 / log 5) = 1 . 1 . 1 = 1.

Função Logarítmica

A função f: R+ seta IR definida por f(x) = logb x, com b > 0 e b diferente 1, é denominada função logarítmica.
Se b > 1 a função é crescente                            Se 0 < b < 1 a função é decescente

gráfico                            gráfico
Esboço gráfico:
Seja a função dada pela sentença: f(x) = log2 x, faça um esboço gráfico.
f(1/2) = log2 1/2 = log2 2–1 = – 1 . log2 2 = – 1 . 1 = – 1.
f(1) = log2 1 = 0
f(2) = log2 2 = 1

gráfico

Equação Logarítmica

Para se resolver equações logarítmicas deve-se reduzir as bases a uma mesma base e igualar os logaritmandos.
Devido ao domínio da função logarítmica, a condição de existência deve ser observada.

Resolução:
Para resolver a equação log2 x2 = log2 ( x + 2 ), verifica-se a condição de existência:
para a 1ª condição:
x2 > 0, é positivo para todo x diferente 0, e para a 2ª condição:
x + 2 > 0, é positivo para todo x > – 2.
Assim, para satisfazer as duas condições, x > 0.

Como as bases já estão iguais, os logaritmandos também são iguais, então:
x2 = x + 2, e daí: x2 – x – 2 = 0
x' = 2 e x'' = – 1  e,   como tem que satisfazer a condição x > 0, a solução é:
S = { 2 }.

Inequação Logarítmica

Para resolver inequações logarítmicas, além de se observa a condição de existência, deve-se realizar dois passos importantes:

1°) A redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base.

2°) A aplicação da propriedade:
logb x > logb y,    então:
x > y   se   b > 1    ( a desigualdade permanece se a base for maior do que 1 )
x < y   se   0 < b < 1    ( a desigualdade será invertida, se a base estiver entre 0 e 1 ).
Resolução:
Obtenha os valores de "x" na inequação log1/2 x2 > log1/2 (x + 2).
Problema semelhante ao anterior, onde a condição de existência é x > 0, e como a base 1/2 é menor que 1, tem-se:
x2 x + 2, e daí: x2 – x – 2 < 0 que é negativa entre as raízes, então:
A inequação do segundo grau assume os valores – 1 < x < 2, mas pela condição de existência x > 0, então:
S = { x pertence IR ; 0 < x < 2 }.
Exercícios Resolvidos
R01 — Faça um esboço do gráfico de f(x) = log1/2 x.
f(2) = log1/2 2 = log2–1 2 = (1 /– 1) . 1 = – 1.
f(1) = log1/2 1 = 0
f(1/2) = log1/2 (1/2) = 1

gráfico

R02 — Sendo log5 2 = k e log5 3 = m, calcule o valor de:
a) log5 45                          b) log5 240
a) log5 45 = log5 32 . 5 = log5 32 + log5 5 = 2 . log5 3 + log5 5 = 2 . m + 1 = 2m + 1.

b) log5 240 = log5 24 . 3 . 5 = log5 24 + log5 3 + log5 5 = 4 . log5 2 + m + 1 = 4k + m + 1.

R03 — Considerando que logb x = 1,52; logb y = 1,43 e que logb z = 0,97. Calcule logb (x3 . y4. z2)
logb (x3 . y4 . z2) = logb x3 + logb y4 + logb z2 = 3 . logb x + 4 . logb y + 2 . logb z =
3. 1,52 + 4. 1,43 + 2. 0,97 = 4,56 + 5,72 + 1,94 = 12,22.

R04 — Supondo que log2 3 = 1,5. Simplifique a expressão: log2 18 / log4 12.
Fatorando:   18 = 2 . 32,    12 = 22 . 3    e    4 = 22, assim:
log2 18 / log4 12 = log2 (2 . 32) / log22 (22 . 3) = (log2 2 + log232) / (1/2) . [ log2 (22 . 3) ] =
(1 + 2 . log2 3) / (1/2) . [ 2 . log2 2 + log2 3 ] = (1 + 2 . log2 3) / (1/2) . ( 2 + log2 3 ) =
2 . (1 + 2 . log2 3) / ( 2 + log2 3 ) = (2 + 4 . log2 3) / ( 2 + log2 3 ) = (2 + 4 . 1,5) / (2 + 1,5) =
(2 + 6) / 3 = 8/3.

R05 — Sendo log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771; log 7 = 0,8451 e log 11 = 1,0414, calcule:
a) log 2,8                          b) log 3,08
a) Log 2,8 = log 28 / 10 = log 28 – log 10 = log 22 . 7 – log 10 = log 22 + log 7 – 1 =
2 . log 2 + log 7 – 1 = 2 . 0,3010 + 0,8451 – 1 = 0,6020 + 0,8451 – 1 = 1,4471 – 1 =
0,4471

b) Log 3,08 = log 308 / 100 = log 308 – log 100 = log 22 . 7. 11 – log 102 =
log 22 + log 7 + log 11 – 2 . log 10 = 2 . log 2 + log 7 + log 11 – 2 . log 10 =
2 . 0,3010 + 0,8451 + 1,0414 – 2 . 1 = 0,6020 + 0,8451 + 1,0414 – 2 = 2,4885 – 2 =
0,4885

R06 — Resolver a equação log3 (x + 5) = 2.
Primeiro deve-se ver a condição de existência: x + 5 > 0       ou       x > – 5

Deixando as bases iguais:
log3 (x + 5) = 2 implica log3 (x + 5) = 2 . log3 3 implica log3 (x + 5) = log3 32
x + 5 = 32       ou       x + 5 = 9       ou       x = 9 – 5       ou       x = 4.
Como x = 4 satisfaz a condição de existência, x > – 5, então a solução é:
S = { 4 }.

R07 — Resolver a equação log2 (log4 x) = 1.
A condição de existência: log4 x > 0, então x > 1.
log2 (log4 x) = 1; como 1 = log2 2, então log2 (log4 x) = log2 2     ou    log4 x = 2
Então, log4 x = 2 . log4 4     ou    log4 x = log4 42
E como as bases são iguais, x = 42 = 16 ( que satisfaz a condição de existência ).
S = { 16 }.

R08 — Resolva a equação logx + 1 (x2 – x) = 1.
Condição de existência:
Da base: x + 1 > 0    ou    x > – 1     e    x + 1 diferente 1     ou    x diferente 0.
Do logaritmando: x2 – x > 0     ou    x < 0 ou x > 1 

R09 — Resolva o sistema: logx+logy=7, 3logx-2logy=1
A condições de existência: x > 0 e y > 0
Na 1ª equação: log x + log y = 7     ou    log y = 7 – log x
Daí, substituindo log y na segunda equação tem-se:

3 . log x – 2 . (7 – log x) = 1     ou    3 . log x – 14 + 2 . log x = 1     ou
5 . log x = 15     ou    log x = 3     ou    x = 103

Como, x = 103 então log y = 7 – log x, temos: log y = 7 – log 103     ou
log y = 7 – 3     ou    log y = 4     ou    y = 104.

Como satisfazem as condições de existência, então a solução é:
S = { (103; 104) }.

R10 — Obtenha a solução da inequação log2 x + 1 > log2 (x2 – 1).
Condição de existência: x > 0 e x2 – 1 > 0, ou seja, x < – 1 ou x > 1, portanto serve apenas x > 1.
log2 x + log2 2 > log2 (x2 – 1)
log2 2x > log2 (x2 – 1)
2x > x2 – 1     ou     – x2 – 2x + 1 > 0
Encontrando as raízes de – x2 – 2x + 1 = 0
delta = (– 2)2 – 4 . (– 1) . 1 = 4 + 4 = 8
x' = 1 – raiz de 2     e     x'' = 1 + raiz de 2
Assim, a solução da inequação do 2º grau é 1 – raiz de 2 < x < 1 + raiz de 2
E por causa da condição de existência a solução é:
S = { x pertene IR ; 1 < x < 1 + raiz de 2 }.

Exercícios Propostos
P01 — Faça um esboço do gráfico de f(x) = log0,25 x.

P02 — Se f(x) = log [x2 / (x + 11) ] o valor de f(– 1) é:
a) – 2                 b) – 1                 c) 0                 d) 1                 e) 2

P03 — Determine o valor de x de modo que existam os logaritmos:
a) log2x (x + 1)                               b) log(4 – x) (x – 3)

P04 — Sendo log5 2 = p e log5 3 = m, calcule, em função de p e m, o valor de:
a) log 4,5                                    b) log 150

P05 — Sendo o log 2 = x e log 3 = y, calcule o valor de:
a) log5 432                                   b) log3 540

P06 — Resolva a equação logb (x + 3) + logb (x – 3) = logb 7.

P07 — Sendo logb a = 3; logc a = 4 e logd a = 2. Calcule b . c . d.

P08 — Considerando que logb x = 1,2 e que logb y = 0,8 e logt b = 0,5. Calcule logt x3 . y4.

P09 — Resolva a equação 3x + 2 = 43x – 1, Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771.

P10 — Resolva o sistema: logx+logy=7, 3logx-2logy=1

P11 — A solução da equação lograiz de 2 (3x – 1) + lograiz de 2 (x) = 2 é:
a) 1/2                  b) 1                 c) raiz de 2                 d) 2                 e) 2/3

P12 — Resolva a equação logarítmica: 2 . log2 x – 5 . log x + 2 = 0.

P13 — Se x e y são números reais que satisfazem ao sistema logx+logypi, qual o valor de raiz-xy ?

P14 — Se "a" e "b" são números reais que satisfazem a equação xlog x = 100/x, então:
a) a . b = 10                 b) a + b = 10,1                 c) a . b = 0,1                 d) a + b = 1,01                  e) a . b = 0,01

P15 — (UDESC 2008) Sabendo que log3 (7x – 1) = 3 e que log2 (y3 + 3) = 7 pode-se afirmar que logy (x2 + 9) é igual a:
a) 6                 b) 2                 c) 4                 d) – 2                 e) – 4

P16 — (UDESC 2008) Se loga b = 3 e logab c = 4, então loga c é:
a) 12                 b) 16                 c) 24                 d) 8                 e) 6

P17 — (FUVEST) Se log x menor ou igual log2 4 . log4 6 . log6 8 – 1, então:
a) 0 < x menor ou igual 102
b) 102 < x menor ou igual 104
c) 104 < x menor ou igual 106
d) 106 < x menor ou igual 108
e) x > 108

P18 — Resolva a inequação: log2 (x + 2) > log2 8.

P19 — Resolva a inequação: log2 (log3 x) > 0.

P20 — Resolva a inequação logb (x + 2) + logb (x – 2) < logb 5.
fonte:hpdemat.apphb.com

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