cead20136

sábado, 1 de outubro de 2016

Conjuntos


Conjunto tem como conceito uma coleção de objetos (elementos) e é descrito por esses elementos, isto é, para caracterizá-lo melhor é necessário conhecer os componentes de tal coleção, e escreve-se:
A = {x; x tem propriedade P}  (x tal que x apresenta uma propriedade P qualquer) ou
A = {x pertence B; x admite uma condição}   (x pertence a um conjunto B tal que x admite uma condição qualquer de B).

Observações:

1. Na notação de conjunto, isto é, dentro das chaves, lê-se tal que quando se usa dois pontos, uma barra ou ponto e virgula ( : | ou ; ).
2. Um conjunto que não tem elementos é chamado de conjunto vazio e é representado apenas Por  vazio ou {   }.
3. Não se repete elementos em um conjunto e a ordem em que os elementos são descritos não importa.
Exemplos de alguns conjuntos:
M2(reais) = {matriz ordem 2a, b, c, d  pertence reais}   (conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com todos os seus elementos reais)
inteiro x inteiro = {(a, b); a, b  pertence inteiro}   (conjunto de pares ordenados de números inteiros)
inteiro x {0} = {(a, 0); a  pertence inteiro}   (conjunto de pares ordenados onde a abscissa é um número inteiro qualquer e a ordenada é zero)
reais2 = {(a, b); a, b  pertence reais}   (conjunto de duplas de números reais)
reais3 = {(a, b, c); a, b, c  pertence reais}   (conjunto de ternas de números reais)
inteiro{resto de zeroresto de 1resto de 2resto de 3resto de 4}   (conjunto formado pelos restos da divisão de um número inteiro por 5)
P3 = {a x3 + b x2 + c x + d ; a, b, c, d  pertence reais}   (conjunto dos polinômios de grau no máximo 3)

Relação de Pertinência

Se um conjunto A apresenta um determinado elemento representado, por exemplo, por x, então se escreve, x pertenceA  (x pertence ao conjunto A) para dizer que ele é um elemento do conjunto A, caso ele não seja um elemento do conjunto A se escreve x não pertence A   (x não pertence ao conjunto A).
(–1, 4) pertence inteiro x inteiro                          (3, –2) não pertence reais3    (uma dupla não pertence a um conjunto exclusivamente de ternas).

Relação de Inclusão

Se todos os elementos que pertencem a um conjunto A também pertencerem a um conjunto B, então,
o conjunto A está contido no conjunto B, e se escreve, A está contido B.
Escreve-se A propriamente contido B (A está propriamente contido em B), para dizer que todo elemento de A é elemento de B, mas A diferente B.
Neste último caso, logicamente o conjunto A tem menos elementos que o conjunto B.
Se A está contido B (A está contido em B) então B contém A (B contém A) ou A contido B (A está propriamente contido em B) então B contém propriamente A (B contém propriamente A).
Dizer que A não está contido B (A não está contido em B) é o mesmo que dizer que existe pelo menos um elemento que pertence ao conjunto A, mas não pertence ao conjunto B.
reais2 não está contido reais3, pois nenhum elemento do reais2 é elemento do reais3.
O conjunto vazio está contido em qualquer que seja o conjunto A, pois para não estar contido teria que existir pelo menos um elemento que pertencesse ao conjunto vazio que não pertencesse ao conjunto A e o conjunto vazio não tem elementos.
Dado um conjunto A, sempre se tem que: A está contido A e, se x pertence A, então {x} está contido A.

O conjunto vazio não pertence a um conjunto qualquer, a menos que o conjunto o apresente, por exemplo, {vazio, 1, 2}. Apenas neste tipo de caso ele é um elemento do conjunto.

Igualdade

Dois conjuntos A e B são iguais apenas quando têm os mesmos elementos, assim, um conjunto só é igual a ele próprio, caso contrário os conjuntos são ditos distintos ou diferentes.
A = B se, e somente se (A está contido B e B está contido A)    (A é igual a B se, e somente se, A está contido em B e B está contido em A).

Subconjuntos

Se A está contido B diz-se que A é subconjunto do conjunto B ou simplesmente que A é subconjunto de B.
Se A propriamente contido B diz-se que A é subconjunto próprio de B.
inteiro = {0; ±2; ±4; ±6; . . . } é subconjunto de inteiro.
P3 é subconjunto de P4.
inteiro x {0} é subconjunto de inteiro x inteiro.
naturais não é subconjunto de inteiro*    (pois 0 pertence naturais, mas não pertence a inteiro*).
M2(reaisnão é subconjunto de M3(reais)   (nenhum elemento do primeiro conjunto é elemento do segundo conjunto).

Conjunto das Partes

A operação unária, que aplicada a um conjunto A, resulta num conjunto constituído de todos os subconjuntos de A é denominada conjunto das partes de A e é denotada por:
conjunto das partes(A) = {X; X está contido A}
Exemplos: conjunto das partes ({a, b}) = {vazio, {a}, {b}, {a, b}}                 conjunto das partes (vazio) = {vazio}

Considerando A = {1, 2, 3} as partes de A seria conjunto das partes(A) = { vazio; {1}; {2}; {3}; {1, 2}; {1,3}; {2, 3}; {1, 2, 3} }
não pertence conjunto das partes(A),          {1} pertence conjunto das partes(A),          {1} não está contido conjunto das partes(A),          {{1}} propriamente contido conjunto das partes(A)
Considerando que o número de elementos de um conjunto A é n, então o números de elementos de  conjunto das partes(A) é 2n

Operações com Conjuntos

União (união)

união B = {x; x pertence A ou  x pertence B}.
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou pertencem ao conjunto B.
Logo, se x pertence A união B então x pertence A ou  x pertence B.
inteiro x {0} união {0} x inteiro = inteiro x inteiro
Propriedades da União
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C se verificam:
união A = A
união vazio = A
está contido (A união B)
está contido (A união B)
Se A está contido B então A união B = B
união B = B união A
(A união B) união C = A união (B união C)  

Intersecção (intersecção)

intersecção B = {x; x pertence A e  x pertence B}.

A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e também pertencem ao conjunto B.
Logo, se x pertence A intersecção B então x pertence A e  x pertence B.
inteiro x {0} intersecção {0} x inteiro = {(0,0)}
Se A intersecção B = vazio então os conjuntos A e B são ditos disjuntos.
Propriedades da Intersecção
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C se verificam:
intersecção A = A
intersecção vazio = vazio
intersecção B está contido A
intersecção B está contido B
Se A está contido B então A intersecção B = A
intersecção B = B intersecção A
(A intersecção B) intersecção C = A intersecção (B intersecção C)
união (B intersecção C) = (A união B) intersecção (A união C)
intersecção (B união C) = (A intersecção B) união (A intersecção C)

Diferença ( –  ou  \ )

A \ B = {x; x pertence A  e   x não pertene B}.
A diferença entre dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo conjunto.
Logo, se x pertence A \ B então x pertence A  e  x não pertene B.
A diferença entre os conjuntos A e B, tanto pode ser representada por A – B como por A \ B.
inteiro x {0} – {0} x inteiros = inteiro* x {0}
Propriedades da Diferença
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B se verificam:
A – A = vazio
A – vazio = A
A – B = A – (A intersecção B)

Diferença Simétrica

delta B = {x; x pertene A união B   e   x não pertene A intersecção B}.
Chama-se diferença simétrica entre dois conjuntos ao conjunto formado pelos elementos que pertencem à união e não pertencem a intersecção desses dois conjuntos.
delta B = (A união B) – (A intersecção B) = (A – B) união (B – A)
(inteiro x {0} união {0} x inteiros) – (inteiro x {0} intersecção {0} x inteiros) = inteiro* x inteiro*
Propriedades da diferença simétrica
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C se verificam:
delta A = vazio
delta vazio = A
delta B = B delta A
(A delta B) delta C = A delta (B delta C) 

Complementar em relação a outro conjunto

Se A está contido B então o complementar de um conjunto A em relação ao conjunto B é dado por:
CA = B \ A = {x; x pertence B   e   x não pertene A}
O complementar do conjunto A em relação ao conjunto B é formado pelos elementos que pertencem a B, mas não pertencem a A.
Logo, se x pertence CA então x pertence B e x não pertene A.

Complementar em relação ao conjunto Universo ( universo )

complemento de A = {x; x pertence universo  e   x não pertene A} = {x pertence universo; x não pertene A}
Sendo o conjunto universo universo  (conjunto pelo qual se estuda alguns subconjuntos dele), e seja A um de seus subconjuntos.
O complementar do conjunto A em relação ao conjunto universo ou  simplesmente o complementar de A ou  ainda, A complementar.
O complementar é representado por complemento de A,  A ou  AC, e é formado pelos elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto A.
Logo, se x pertence AC  então x não pertene A.
Propriedades do complementar
complemento de vazio = universo  (conjunto universo)
Leis De Morgan
complemento de A U B = complemento de A intersecção complemento de B
complemento de A inter B = complemento de A união complemento de B

Cardinalidade de um conjunto

Chama-se cardinalidade de um conjunto A ao número de elementos que possui esse conjunto A e é representado por #A ou n(A).

Números de elementos da União de Conjuntos

Seja n(A intersecção B) o número de elementos de intersecção de A e B n(A união B), o número de elementos da união de A com B.
O número de elementos da união de A com B é dado por:
n(A união B) = n(A) + n(B) – n(A intersecção B)
Para três conjuntos A, B e C tem-se que o número da união é dado por:
n(A união B união C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A intersecção B) – n(A intersecção C) – n(B intersecção C) + n(A intersecção B intersecção C).
Sempre se tem que: n(vazio) = 0            e          n(partes (vazio)) = 1.

Diagrama de Venn

O diagrama de Venn é uma representação gráfica das relações entre conjuntos, e é uma ideia para simplificar tais relações.
Contudo, é bom lembrar que está contido não quer dizer estar dentro, visto que conjunto não é algo físico, mas sim uma ideia.

Um conjunto formado pelos elementos de uma caixa de fósforos (que não esteja vazia) não está contido em um conjunto formado pelos elementos de uma caixa de sapatos, pois há pelo menos um elemento do primeiro que não é elemento do segundo conjunto.
Ao se pensar em dois conjuntos quaisquer tem-se três situações:

1. Não há nenhum elemento comum entre eles.
venn disjuntos 

2. Alguns elementos de um também são elementos do outro.
venn com intersecção 

3. Todos os elementos de um deles são elementos do outro.
venn contido 

As operações com conjuntos num diagrama de Venn

Supondo que se tenha dois conjuntos A e B que tenham alguns elementos em comum.
venn com intersecção 
O conjunto universo é formado pelas regiões em que se encontram as letras abcd.
O conjunto A é formado pelas regiões em que se encontram as letras ab.
O conjunto B é formado pelas regiões em que se encontram as letras ac
intersecção entre os conjuntos A e B é formada pela região em que se encontra a letra a.
união entre os conjuntos A e B é formada pelas regiões em que se encontram as letras ab,c.
diferença entre os conjuntos A e B é formada pela região em que se encontra a letra b.
complementar do conjunto A é formado pelas regiões em que se encontram as letras cd.
complementar da interseção de A e B, é formado pelas regiões em que se encontram as letras bcd.

Supondo que se tenha três conjuntos A, B e C que tenham, dois a dois, alguns elementos em comum.
venn três conjuntos

O conjunto universo é formado pelas regiões em que se encontram as letras abcdefg eh.
O conjunto A é formado pelas regiões em que se encontram as letras abce.
O conjunto B é formado pelas regiões em que se encontram as letras abdf.
O conjunto C é formado pelas regiões em que se encontram as letras acdg
intersecção entre os conjuntos A, B e C é formada pela região em que se encontra a letraa.
intersecção entre os conjuntos A e B é formada pelas regiões em que se encontram as letras ab.
intersecção entre os conjuntos A e C é formada pelas regiões em que se encontram as letras ac.
intersecção entre os conjuntos B e C é formada pelas regiões em que se encontram as letras ad.
união entre os conjuntos A, B e C é formada pelas regiões em que se encontram as letras a,abcdefg.
união entre os conjuntos A e B é formada pelas regiões em que se encontram as letras ab,cdef.
união entre os conjuntos A e C é formada pelas regiões em que se encontram as letras ab,cdeg.
união entre os conjuntos B e C é formada pelas regiões em que se encontram as letras ab,cdfg.
diferença entre os conjuntos A e B é formada pelas regiões em que se encontram a letrasce.
complementar do conjunto A é formado pelas regiões em que se encontram as letras cd.
complementar da intersecção de A e C, é formado pelas regiões em que se encontram as letras fh.

Conjuntos Numéricos

O conjunto dos números naturais, representado por naturais, é definido por:
naturais = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.

Um subconjunto importante de naturais é o conjunto naturais* = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, onde o zero é excluído do conjunto naturais.
O conjunto dos números inteiros, representado por inteiro (do alemão Zahl), é definido por:
inteiro = {. . . , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . .}

inteiro = conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
inteiro = conjunto dos inteiros não positivos = {0, –1, –2, –3, –4, –5, . . .}
inteiro = conjunto dos inteiros negativos = {–1, –2, –3, –4, –5, . . .}
O conjunto dos números racionais, representado por racionais (do inglês quotient), é definido por:
racionais = {p / q ; p e q pertence inteiro e q diferente 0}.
Os números racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de fração com o numerador e denominador inteiros.
um meio = 0,5                       seis sétimos = 0,857142. . .                    – cinco quartos = – 1,25

O conjunto dos números irracionais é formado por decimais infinitas não periódicas.
São números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros).
Uma representação para os irracionais pode ser vista como reais – racionais.
Como exemplo de números irracionais, tem-se a raiz quadrada de 2, a raiz quadrada de 3, o número pi (pi), etc.
raiz de 2 aproximadamente 1,4142135. . .
raiz de 3 aproximadamente 1,7320508. . .
pi aproximadamente 3,1415926535. . .

O conjunto dos números reais, representado por reais, é a união entre os conjuntos dos números racionais ( racionais ) e os irracionais.
Portanto, os números naturaisinteirosracionais e irracionais são todos números reais.
reais= conjunto dos números reais não negativos;
reais = conjunto dos números reais positivos.

Intervalo Real

Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo, entre os números 1 e 2 existem números reais tais como:
1,001; 1,07; 1,081; 1,1; 1,2333. . .; raiz de 2; 1,51; raiz de 3; 1,9888. . .; 1,9997; etc.
Escrever todos os números entre, por exemplo, 1 e 2, representa um intervalo de tais números onde, se incluir os extremos, considera-se fechado e se não incluir, considera-se aberto.
Para escrever o intervalo aberto coloca-se um colchete contrário ao número e para escrever fechado, o colchete fica voltado para o número.
[ 1, 2 [, significa o intervalo de 1 (fechado) até o 2 (aberto) e ] 1, 2 ], o intervalo entre 1 e 2 incluindo o 2.

É preciso lembrar que {1; 3} diferente [ 1; 3 ]
No primeiro só existem dois elementos, o 1 e o 3, já no segundo existem infinitos reais, do 1 até o 3, incluindo eles.

Uma representação gráfica para [ 1; 3 ] seria:

intervalo fechado 1 a 3

E para [ 1; 3 [ seria:
intervalo fechado 1 e aberto 3

Os intervalos podem ser escrito na forma de subconjuntos de reais:
[ –1; 4 [ = {x pertence reais; –1 menor ou igual x < 4} (pertence aos reais tal que é maior ou igual a –1 e é menor do que 4).
] – infinito; –3 [ = {x pertence reais; x < –3} (pertence aos reais tal que é menor que –3).

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se produto cartesiano de A por B, a todos os pares ordenados (a, b) onde pertence ao conjunto A e pertence ao conjunto B.

Escreve-se: A x B  (lê-se: A cartesiano B ou  A por B).
A x B = {(a, b); a pertence A e b pertence B}
Se (a, b) = (c, d), então a = c e b = d.
De maneira geral (a, b) diferente (b, a). O par ordenado (a, b) só será igual ao par ordenado (b, a) se, e somente se, a = b.

Caso pelo menos um dos conjuntos seja um intervalo real não é possível escrever o produto cartesiano na notação de conjunto, sendo preciso ser representado no plano cartesiano.
Exemplos:
1 — Sendo A = {2, 3} e B = {–1, 0, 2}, encontre A x B.

Na notação de conjuntos:
A x B = {(2, –1); (2, 0); (2, 2); (3, –1); (3, 0); (3, 2)}

No plano cartesiano, os seis pares são representados por seis pontos:
plano cartesiano
2 — Sendo A = ] –1, 2 ] e B = {–2; 1}, encontre A x B.

Neste caso, só é possível representar no plano cartesiano.
Como A é um intervalo de –1 a 2, incluindo o 2 e B só tem dois elementos, a representação é dada por duas retas horizontais.
Os pontos (–1, –2) e (–1, 1) não são pintados, pois –1 não pertence a A.
plano cartesiano
3 — Sendo A = ] –1; 2 ] e B = [ –2; 4 ], encontre A x B.

Neste caso, também só é possível representar no plano cartesiano.
Como A é um intervalo de –1 a 2, incluindo o 2 e B é um intervalo de –2 a 4, incluindo os extremos, toda a região entre esses intervalos é pintada.
Nenhum ponto que use o –1 de A é pintado, pois –1 não pertence a A.
plano cartesiano

Exercícios Resolvidos
R01 — Seja A um subconjunto de B, e seja B um subconjunto de C (A contido B e B contido C). Suponha que a pertence A, b pertence B, c pertence C, d não pertence A, e não pertene B, f não pertence C.
Quais das proposições são verdadeiras: a pertence C, b pertence A, c não pertence A, d pertence B, e não pertence A, f não pertene A?
Como a pertence A e A contido B então a pertence B e como B contido C então, a pertence C é verdadeira.
Como se sabe o elemento b pertence B e não necessariamente é elemento de A então, b pertence A pode não ser verdadeira.
Sabe-se que c pertence C e A contido C então, c pode ser ou não um elemento de A logo, c não pertence A pode não ser verdadeira.
Sabe-se também que d não pertence A e A contido B, então d pode ou não pertencer a B, isto é, pode não ser verdadeira.
O que se tem é que e não pertence B e que A contido B e que f não pertence C e A contido C então, e não pertence A e f não pertence A são sempre verdadeiras pelo mesmo motivo, Pois se não pertence a um conjunto jamais poderia pertencer a um subconjunto dele.

R02 — Considerando U = {x ; x é um quadrilátero}, R = {x ; x é um retângulo}, L = {x ; x é um losango}, Q = {x ; x é um quadrado} e T = {x ; x é um trapézio}, que relações os conjuntos apresentam?
O quadrado tem quatro lados congruentes (comprimentos iguais) e quatro ângulos retos.
O retângulo tem os quatro ângulos retos.
O losango é um paralelogramo que tem os quatro lados congruentes (comprimentos iguais).
O trapézio tem pelo menos dois lados paralelos.

Os conjuntos R, L, Q e T são subconjuntos próprios de U.
Q é subconjunto próprio de R, de L e de T.
R e L são subconjuntos próprios de T.

R03 — Seja A = {2, {4}, {4, 5}}. Quais das proposições abaixo são erradas?
a) {4,5} contido A             b) 4 pertence A                   c) {2} contido A                d) {4} pertence A                 e) 2 pertence A
O conjunto A é composto por três elementos 2, {4} e {4,5}.
a) para que o conjunto {4,5} estivesse contido em A seria necessário que o conjunto A tivesse os elementos 4 e 5 o que não ocorre.
Logo, a afirmação {4,5} está contido A é errada;
b) o elemento 4 não pertence a A, mas sim, o elemento {4} e portanto a afirmação: 4 pertence A está errada;
c) o conjunto {2} tem apenas um elemento e este elemento pertence a A, portanto, {2} está contido A está certa.
d) {4} é um dos elementos de A, então {4} pertene A está certa;
e) o número 2 como se pode observar é um elemento de A e, portanto 2 pertence A está certa.

R04 — Sejam o conjunto universo dado por universo = {a, b, c, d, e} e os subconjuntos A = {a, b, d} e B = {b, d, e}, determinar:
a) A – B                    b) (B intersecção A)’              c) B – A’                   d) A’ intersecção B                  e) A união B’                   f) B’ – A’
a) A – B é formado pelos elementos que estão em A, mas não em B e, portanto A – B = {a}, pois os elementos b e d também estão em B.
b) primeiro se calcula B intersecção A = {b, d} e depois se calcula (B intersecção A)’ = {a, c, e} que são exatamente os elementos que faltam para completar B intersecção A.
c) primeiro se encontra A’ = {c, e} os elementos do universo que não estão em A e depois por B – A’ = {b, d}.
d) A’ intersecção B é a intersecção entre A’ = {c, e} e o conjunto B = {b, d, e}, logo A’ intersecção B = {e}.
e) B’ = {a, c} pode-se, portanto, calcular A união B’ = {a, b, c, d}.
f) B’ = {a, c} e A’ = {c, e} conclui-se que B’ – A’ = {a}.

R05 — Dados os conjuntos A = {0, 4, 5}, B = {0, 2, 4} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, o conjunto CC (A intersecçãoB) é igual a:
a) {0, 1}                b) {1, 3, 5}                 c) {0, 2, 4}                 d) {1, 2, 3, 5}                e) {1, 2, 3, 4, 5}
O conjunto CC (A intersecção B) é o mesmo que C – (A intersecção B), isto é, está em C, mas não está na intersecção de A e B e como (A intersecção B) = {0, 4}, então o complementar de A inter B em relação a C é {1,2,3,5}.
Alternativa “d”.

R06 — Sejam A e B contidos no conjunto universo, se x pertence (A união B)C então:
a) x pertence A intersecção B                  b) x pertence A união B                  c) x pertence AC intersecção BC                       d) x pertence A intersecção BC                       e) x pertence AC intersecção B                      
Como x é um elemento do complementar de A união B, então x nem está em A nem está em B, logo x não Pertence A intersecção B, nem pertence a A intersecção BC nem a AC intersecção B, e como para pertencer a união ele teria que está em Pelo menos um dos dois, então também x não pertence A união B. Como x pertence AC e pertence BC, então x pertence AC intersecção BC.
Alternativa "e".

R07 — Dado o diagrama de Venn abaixo, hachure B complementar intersecção (A – C complementar).

venn ABC
Primeiro deve-se encontrar a diferença entre A e o complementar de C, pois estão dentro do parênteses e que dá a região que está a intersecção entre A e C, depois se faz a intersecção com o complementar de B que é o que B não tem.
Logo, deve-se hachurar (pintar com linhas) a região descrita abaixo:

venn ABC

R08 — Considere as afirmações abaixo, onde partes (X) é o conjunto das partes de um conjunto não vazio X.
  I — Existe A pertence partes (X) tal que B intersecção A = B qualquer que seja B pertence partes (X)
  II — Qualquer que seja A pertence partes (X), existe B pertence partes (X) tal que A intersecção B = vazio
III — Quaisquer que sejam A e B em partes (X), tem-se A intersecção B = vazio
IV — Existe A em partes (X) tal que B união A = B, qualquer que seja B pertence partes (X)
Assinale, então, a alternativa correta:
a) apenas I é verdadeira
b) apenas IV é verdadeira
c) I, II e III são verdadeiras
d) II e IV são falsas
e) apenas III é falsa
pertence partes (X) e B intersecção X = B qualquer que seja B, logo “I” é verdadeira.
vazio pertence partes (X) e A intersecção vazio = vazio qualquer que seja A, logo “II” é verdadeira.
partes (X) é formado pelos subconjuntos de X, e como X não é vazio, sempre haverá subconjuntos de X cuja intersecção não seja vazio, logo “III“ é falsa.
Como B união vazio = B para todo B, então “IV“ é verdadeira.
Alternativa "e".

R09 — Obter a relação entre os conjuntos A e B:
a) A = {x; x pertence inteiro e x < 5} e B = {x; x pertence inteiro e (x + 1)2 < 28}
b) A = {x; x é um quadrado de área menor que 9 m2} e B = {x; x é um quadrado de perímetro maior que 12 m}
a) O conjunto A é formado pelos inteiros menores do que 5 e portanto A = {4, 3, 2, 1, 0, –1, –2, . . .} e o conjunto B é formado pelos números inteiros cujo quadrado desse número mais 1 seja menor que 28 e daí, tem-se que B = {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Sendo assim todos os elementos de B estão em A e, portanto B está contido A.
b) O conjunto A é formado por todos os números tais que x2 < 9, isto é, todos os quadrados de lado menor do que 3 (evidentemente maior do que zero), enquanto que B é formado por todos os quadrados de lado x, tais que 4x > 12, ou seja, x > 3. Sendo assim, tem-se que A intersecção B = vazio e, portanto A e B são disjuntos.

R10 — Determinar o M.D.C e o M.M.C. dos números 9 e 12.
Seja D(9) e D(12) os conjuntos formado pelos divisores de 9 e 12, respectivamente, então D(9) = {1, 3, 9} e D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e portanto, o conjunto dos divisores comuns a D(9) e D(12) é D(9) intersecção D(12) = {1, 3}.
Assim sendo o máximo divisor comum é 3, isto é, M.D.C. (9, 12) = 3.
E sendo M(9) e M(12) os conjuntos dos múltiplos de 9 e 12, respectivamente, M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, . . .} e M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, . . .} e portanto, o conjuntos dos múltiplos comuns entre M(9) e M(12) é M(9) intersecção M(12) = {36,72,108, . . .}.
Assim sendo, o mínimo múltiplo comum diferente de zero é 36, ou seja, M.M.C. (9,12) = 36.

R11 — Numa pesquisa realizada com 200 pessoas, 78 informaram que gostam de música sertaneja, 91 música romântica, 56 de música clássica, 32 de músicas sertaneja e romântica, 23 de músicas sertaneja e clássica, 19 de músicas romântica e clássica, 37 não gostam de nenhum dos das três tipos de música. Obter o número de pessoas que gostam apenas de música clássica.
Considerando S, R e C o conjunto das pessoas que gostam de músicas sertaneja, romântica e clássica, respectivamente, tem-se:
n(S) = 78, n(R) = 91, n(C) = 56, n(S intersecção R) = 32, n(S intersecção C) = 23, n(R intersecção C) = 19.

O número total menos 37 (que não gostam de nenhuma das três) é igual a união, então dos três conjuntos.
n(S união R união C) = 200 – 37 = 163.

O número da união é dado por n(S união R união C) = n(S) + n(R) + n(C) – n(S intersecção R) – n(S intersecção C) – n(R intersecção C) + n(S intersecção R intersecção C) então:
163 = 78 + 91 + 56 – 32 – 23 – 19 + n(S intersecção R intersecção C).
163 = 225 – 74 + n(S intersecção R intersecção C).
n(S intersecção R intersecção C) = 163 – 225 + 74 = 237 – 255 = 12.

Preenchendo os dados em um diagrama:

diagrama de venn

Começa pela intersecção dos três que é 12, depois com as intersecções 2 a 2, como já tem 12 para completar a intersecção, por exemplo, entre S e R faltam 20, e assim por diante.

Logo, o número de pessoas que gostam apenas de música clássica é 26.

R12 — Se a = 0,666. . ., b = 1,333. . . e c = 0,141414. . ., então a . b–1 + c é igual a:
a) –74/99                  b) 127/198                  c) 80/99                  d) 187/30                  e) 67/30
Como a = 0,666. . ., multiplicando por 10 tem-se:
10 . a = 6,666. . . e subtraindo de 1 . a = 0,666. . ., para que a parte que se repete seja nula tem-se:
10 . a – 1 . a = 6,666. . . – 0,666 . . .
9 . a = 6 e daí a = 6/9 = 2/3.

Como b = 1,333. . ., multiplicando por 10 tem-se:
10 . b = 13,333. . ., e subtraindo de 1 . b = 1,333. . ., para que a parte que se repete seja nula tem-se:
10 . b – 1 . b = 13,333. . . – 1,333. . .
9 . b = 12 e daí b = 12/9 = 4/3.

Como c = 0,141414. . ., multiplicando por 100 tem-se:
100 . c = 14,1414. . . e subtraindo de 1 . c = 0,1414. . ., para que a parte que se repete seja nula tem-se:
100 . c – 1 . c = 14,1414. . . – 1,41414. . .
99 . c = 14 e daí c = 14/99.

Como b–1 é igual ao inverso de b tem-se b–1 = 3/4.
Portanto, a . b–1 = (2/3).(3/4) = 1/2.
Dai a . b–1 + c = 1/2 + 13/99 = 127/198.
Alternativa “b”.

Exercícios Propostos
P01 — Considere os conjuntos A = {–1, 0, 1, 2}; B = {–1, 1} e C = {0, 1, 2}. Qual das afirmações abaixo é verdadeira:
a) –1 pertence B intersecção C                   b) B contido C                   c) 0 não pertene A intersecção B intersecção C                   d) B não contido A                   e) B = C

P02 — Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre ecologia, tendo sido indicado dois livros sobre esse assunto.
O livro A foi consultado por 26 alunos e o livro B por 28 alunos. Pergunta-se:
a) Quantos alunos consultaram os dois livros?
b) Quantos alunos consultaram apenas o livro A?

P03 — Dados os conjuntos A = {0}, B = {0, 2, 4} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, o conjunto C C (A intersecção B) é igual a:
a) {0,1}           b) {1, 3, 5}           c){0, 2, 4}           d) {1, 2, 3, 4, 5}           e) {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P04 — Num almoço foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabe-se que das 94 pessoas presentes, 56 comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois. O número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é:
a) 10                  b) 12                  c) 15                  d) 17                  e) 18

P05 — Os conjuntos A, B e C são tais que: A intersecção B = A intersecção C = B intersecção C = {2}; A união B = {1; 2; 3} e A uniãoC = {1; 2; 4}.  Então:
a) 1 pertence C                   b) 1 pertence B                   c) 3 não pertene B                   d) 4 não pertene C                   e) n.d.a.

P06 — Se M = {1; 2; 3; 4} e N são conjuntos, tais que M união N = {1; 2; 3; 4; 5} e M intersecção N = {1; 2; 3}, então o conjunto N é:
a) vazio                  b) {4; 5}                  c) {1; 2; 3}                  d) {1; 2; 3; 4; 5}                  e) {1, 2, 3, 5}

P07 — Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto não vazio X.
0   0    Se A união B = A união C, então B = C
1   1    Se A intersecção B = vazio então A = vazio e B = vazio
2   2    Se A contido B e B contido C então A intersecção C = B
3   3    Se A intersecção C = A intersecção B, então B = C
4   4    (A \ B) contido A

P08 — Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que:
união B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
A – B = {1; 3; 6; 7}
B – A = {4; 8}
então A intersecção B é o conjunto:
a) vazio                  b) {1; 4}                  c) {2; 5}                  d) {6; 7; 8}                  e) {1; 3; 4; 6; 7; 8}

P09 — Sejam A, B contido universo. Se x pertence (A união B), então:
a) x pertence A intersecção B           b) x pertence A união B           c) x pertence A intersecção B           d) x pertence A intersecção B           e) x pertence A intersecção B

P10 — Dados os conjuntos A, B e C, não vazios, sabe-se que A contido B; então sempre se tem:
a) A intersecção C = vazio           b) A intersecção B = vazio           c) B intersecção C = vazio           d) (A intersecção B) contido C           e) (A intersecção C) contido B

P11 — Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, assinale a alternativa verdadeira:
a) (A – B) contido B           b) (A – B) contido (A união B)           c) A diferente B implica A não contido B           d) Se A união B = B implica A =vazio

P12 — O número de elementos do conjunto partes (A) união partes (B) (conjunto das partes), com A e B disjuntos e com dois elementos cada um, é:
a) 2                  b) 4                  c) 5                  d) 7                  e) 8

P13 — Numa Universidade são lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos da mesma leem o jornal X e 60% o jornal Y.
Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos.
a) 80%                  b) 14%                  c) 40%                  d) 60%                  e) 48%

P14 — Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a, b} } são:
a) 2 ou 5                  b) 3 ou 6                  c) 1 ou 5                  d) 2 ou 6                  e) 4 ou 5

P15 — Escreva V ou F a cada uma das proposições abaixo:
(    )  se A está contido C e B está contido C então (A união B) está contido C.
(    )  se C está contido A e C está contido B então C está contido (A intersecção B).
(    )  A contém B implica partes (A) contém partes (B) (conjunto das partes).
(    )  partes (A união B) está contido (partes (A) união partes (B)).

P16 — Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A intersecção B é 30, de A intersecção C é 20 e de A intersecção B intersecção C é 15.
Então o número de elementos de A intersecção (B união C) é igual a:
a) 35                  b) 15                  c) 50                  d) 45                  e) 20

P17 — Considere o seguinte diagrama de Venn que representa graficamente os conjuntos A, B e C, onde U representa o universo.
Assinale dentre as alternativas abaixo o conjunto que é representado pela área tracejada no diagrama, onde a barra (–) representa o complementar do conjunto em relação ao universo.

venn oval

a) A intersecçãointersecção C                   b) A união B união C                   c) A intersecção B intersecção C complementar                   d) A intersecção B complementar intersecção C                   e) A complementarunião B união C

P18 — Uma pesquisa foi realizada com pessoas que leem revistas semanais. Entrevistando 200 pessoas, descobriu-se o seguinte: 85 pessoas compram a revisa A, 75 pessoas compram a revista B, 65 pessoas compram a revista C, 30 pessoas compram as revistas A e B, 25 pessoas compram as revistas A e C, 20 pessoas compram as revistas B e C, 10 pessoas compram as três revistas.
Com base nestes dados, responda ao seguinte:
a) Quantas pessoas compram pelo menos uma das revistas?
b) Quantas pessoas não compram nenhuma das três revistas?
c) Quantas pessoas compram exatamente uma das revistas?
d) Quantas pessoas compram exatamente duas das revistas?

P19 — Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que: A união B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; A – B = {1; 3; 6; 7} e B – A = {4; 8}.
Obtenha então n(A) + n(B).

P20 — Assinale V ou F se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas.
naturais contido racionais
racionais intersecção reais = racionais
naturais intersecção inteiros = naturais
(racionais intersecção reaiscontido racionais
a) FVFV                  b) VVVV                  c) FVVF                  d) FVVV                  e) VVVF

P21 — Sejam a e b reais, diferentes de zero, com a = b. Tem-se que:
a) multiplicando por a, tem-se: a2 = ab
b) subtraindo b2, tem-se: a2 – b2 = ab – b2
c) fatorando: (a + b) (a – b) = b (a – b)
d) dividindo por (a – b): a + b = b
e) substituindo a por b: b + b = b e dai, 2b = b ou 2 = 1
Assinale a alternativa correspondente a operação que aplicada indevidamente acarretou o absurdo.

P22 — Sejam a e b números reais tais que a < b. Qual das seguintes afirmações é sempre verdadeira?
a) a2 < b2
b) se c é um outro número real então ac < bc
c) ab < 0
d) se c é um número real positivo então ac < bc
e) a + b > 0

P23 — Dados os conjuntos A = [ 1, 3 [ e B = ] 2, 9 ], os conjuntos A união B, A intersecção B e A – B são, respectivamente:
a) [ 1, 9 ]] 2, 3 [[ 1, 2 ]
b) ] 1, 9 ]] 2, 3 [] 1, 2 ]
c) ] 1, 9 [, ] 2, 3 [] 1, 2 ]
d) [ 1, 9 ], ] 2, 3 ][ 1, 2 ]
e) [ 1, 9 ], [ 2, 3 ][ 1, 2 ]

P24 — Se designarmos por [ 3; 4 ] o intervalo fechado, em reais, de extremidades 3 e 4, é correto escrever:
a) {3, 4} = [ 3; 4 ]
b) {3, 4} pertence [ 3; 4 ]
c) {3, 4} contido [ 3; 4 ]
d) {3, 4} união [ 3; 4 ]
e) nenhuma das alternativas anteriores é correta.

P25 — Sejam R o conjunto dos números reais, a e b elementos de R tais que a < b e considere os seguintes intervalos:
] a, b [ = conjunto dos números reais x tais que a < x < b
[ a, b [ = conjunto dos números reais x tais que a menor ou igual x < b
] a, b ] = conjunto dos números reais x tais que a < x menor ou igual b
[ a, b ] = conjunto dos números reais x tais que a menor ou igual x menor ou igual b.
Qual dentre as seguintes alternativas é a verdadeira?
a) se x pertence ] a, b [ então x2 pertence ] a, b [
b) ] a, b [ é um conjunto ilimitado, pois tem uma infinidade de elementos
c) ] a, b [ tem um número finito de elementos, pois é um conjunto limitado
d) ] a, b [ = [ a, b [ união ] a, b ] e [ a, b ] = [ a, b [ intersecção ] a, b ]
e) ] a, b [ = [ a, b [ intersecção ] a, b ] e [ a, b ] = ] a, b ] união [ a, b [

P26 — Sejam reais o conjunto dos números reais, e dados os conjuntos: A = {x pertence reais; –1 < x menor ou igual 2}, B= {x pertence reais; –2 menor ou igual x menor ou igual 4}, C = {x pertence reais; –5 < x < 0}.
Assinale dentre as afirmações abaixo a correta:
a) (A intersecção B) união C = {x pertence reais; –2 menor ou igual x menor ou igual 2}
b) C – B = {x pertence reais; –5 < x < –2}
c) A – (B intersecção C) = {x pertence reais; –1 menor ou igual x menor ou igual 0}
d) A união B união C = {x pertence reais; –5 < x menor ou igual 2}
e) nenhuma das respostas anteriores

P27 — Sendo A = {x pertence reais; –1 < x menor ou igual 3} e B = {x pertence reais; 2 < x menor ou igual 5}, então:
a) A intersecção B = {x pertence reais; 2 menor ou igual x menor ou igual 3}
b) A união B = {x pertence reais; –1 < x menor ou igual 5}
c) A – B = {x pertence reais; –1 < x < 2}
d) B – A = {x pertence reais; 3 menor ou igual x menor ou igual 5}
e) nenhuma das respostas anteriores.

P28 — Se A = {x pertence reais; –1 < x < 2} e B = {x pertence reais; 0 menor ou igual x < 3}, o conjunto A intersecção B é o intervalo:
a) [ 0; 2 [                   b) ] 0; 2 [                   c) [ –1; 3 ]                   d) ] –1; 3 [                   e) ] –1; 3 ]

P29 — Se –4 < x < –1 e 1 < y < 2, então x . y e  dois sobre x estão no intervalo:
a) ] – 8, – 1 [                   b) ] – 2, – um meio [                   c) ] – 2, – 1 [                   d) ] – 8, – um meio [                   e) ]– 1, – um meio [

P30 — Sejam os intervalos reais A = {x pertence reais; 3 menor ou igual x menor ou igual 7}, B = {x pertence reais; –1 < x < 5} e C = {x pertence reais; 0 menor ou igual x menor ou igual 7}.
É correto afirmar que:
a) (A intersecção C) – B = A intersecção B
b) (A intersecção C) – B = C – B
c) (A união B) intersecção C = B
d) (A intersecção B) intersecção C = A
e) A união B união C = A intersecção C

P31 — A diferença A – B, sendo A = {x pertence reais; –4 menor ou igual x menor ou igual 3} e B = {x pertence reais; –2 menor ou igual x < 5} é igual a:
a) {x pertence reais; –4 menor ou igual x < –2}
b) {x pertence reais; –4 menor ou igual x menor ou igual –2}
c) {x pertence reais; 3 < x < 5}
d) {x pertence reais; 3 menor ou igual x menor ou igual 5}
e) {x pertence reais; –2 menor ou igual x < 5}

P32 — Para o intervalo A = [ –2, 5 ], o conjunto A intersecção naturais* é igual a:
a) {–2, –1, 1, 2, 3, 4, 5}           b) {1, 2, 3, 4, 5}           c) {1, 5}           d) {0, 1, 2, 3, 4, 5}           e) ] 1, 5 ]

P33 — Sejam a, b e c números reais, com a < b < c. O conjunto ] a, c [ – ] b, c [ é igual ao conjunto:
a) {x pertence reais; a < x < b}
b) {x pertence reais; a < x menor ou igual b}
c) {x pertence reais; a < x menor ou igual c}
d) {x pertence reais; b menor ou igual x < c}
e) {x pertence reais; b < x menor ou igual c}

P34 — Sendo a e b números reais quaisquer e m um real diferente de zero, então:
a) se a > b e am > bm, então m = 1
b) se a maior ou igual b e am menor ou igual bm, então m < 0
c) se a maior ou igual b e am maior ou igual bm, então m maior ou igual 1
d) se a < b e am < bm, então m < 0

P35 — Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes:
a) No conjunto dos números inteiros relativos, existe um elemento que é menor do que todos os outros.
b) O número real raiz de 2 pode ser representado sob a forma p/q, onde p e q são inteiros, q diferente 0.
c) O número real representado por 0,37222. . ., é um número racional.
d) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.
e) O quadrado de qualquer número real é um número racional.

P36 — O número real r que não pode ser escrito sob a forma r = x+1 sobre x com x real é:
a) –1                  b) 0                  c) 1                  d) 2                  e) 3

P37 — Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, se pode dizer que:
a) x . y é irracional
b) y . y é irracional
c) x + y é racional
d) x – y + raiz de 2 é irracional
e) x + 2y é irracional

P38 — Sejam a e b números irracionais quaisquer. Das afirmações:
   (I) :  a . b é um número irracional
  (II) :  a + b é um número irracional
(III) :  a – b pode ser um número racional.
Pode-se concluir que:
a) as três são falsas
b) as três são verdadeiras
c) somente (II) é falsa
d) somente (I) é verdadeira
e) somente (III) é verdadeira

P39 — O número x não pertence ao intervalo aberto de extremos –1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou x > 3. Pode-se então concluir que:
a) x menor ou igual –1 ou x > 3
b) x maior ou igual 2 ou x < 0
c) x menor ou igual –1 ou x maior ou igual 2
d) x > 3
e) nenhuma das respostas anteriores está correta.

P40 — A = {x pertence reais; 0 < x < 2} e B = {x pertence reais; –3 menor ou igual x menor ou igual 1}, então o conjunto (A união B) – (A intersecção B) é:
a) [ –3, 0 união 1, 2 [           b) [ –3, 0 união [ 1, 2 [           c) ] –infinito, –3 [ união [ 2, +infinito [           d) ] 0, 1 ]          e) [ –3, 2 [          

P41 — Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número x.y?

reta 0 x y 1
a) à esquerda de 0           b) entre 0 e x           c) entre x e y           d) entre y e 1           e) à direita de 1

P42 — Sejam P = (a, b) e Q = (c, –2) dois pontos no plano cartesiano tais que a . c < 0, b < 0 e c > 0. Pode-se afirmar que:
a) P é um ponto do 1º quadrante
b) P é um ponto do 2º quadrante
c) P é um ponto do 3º quadrante
d) P é um ponto do 4º quadrante
e) P pode estar no 1º ou 4º quadrante

P43 — Se F = {x pertence inteiros; 0 menor ou igual x + 1 menor ou igual 5} e G = {x pertence inteiros; 3 < 2x – 1 < 13}, então:
a) n(F intersecção G) = 1
b) n(F – G) = 2
c) n(G – F) = 3
d) n[(F intersecção G) x (G – F)] = 4
e) n[(F – G) união (G – F)] = 8

P44 — Considere os conjuntos A e B tais que A x B = {(–1, 0), (2, 0), (–1, 2), (2, 2), (–1, 3), (2, 3)}.
O número de elementos do conjunto A intersecção B é:
a) 0                     b) 1                     c) 2                     d) 3                     e) 4

P45 — Em relação a um sistema cartesiano ortogonal, o ponto A(3x + 1, 2x – 5) pertence ao 4º quadrante se, e somente se:
a) – um terço < x < cinco meios
b) – um terço menor ou igual x menor ou igual cinco meios
c)  x > cinco meios
d) x < – um terço
e) 1 < x < 2

P46 — Somando-se uma fração ordinária com a sua inversa obtém-se sempre uma:
a) fração própria
b) fração irredutível
c) fração decimal
d) dízima periódica
e) fração imprópria

P47 — O gráfico do produto cartesiano reais x inteiros é formado por:
a) uma faixa
b) uma reta
c) infinitas retas paralelas ao eixo Ox
d) infinitas retas paralelas ao eixo Oy
e) infinitos segmentos de reta paralelos ao eixo Ox

P48 — O gráfico do produto cartesiano reais x reais = reais2 é:
a) uma reta
b) todo o plano cartesiano
c) três retas
d) o conjunto formado pelos dois eixos Ox e Oy
e) o conjunto formado pelos dois eixos Ox e Oy, exceto a origem

P49 — Dados os conjuntos A = {0, –1, 1}, B = {1, 3, 4} e C = {0, 1}, temos (A – B) x (C – B) igual a:
a) {(0, 0); (0, –1)}           b) {(–1, 0); (0, 0)}           c) {(0, 0); (0, 1)}           d) {(0, 1); (0, –1)}           e) vazio (vazio)

P50 — Analise as afirmações abaixo:
0   0  Existe número natural que é irracional.
1   1  Todo número inteiro é número racional
2   2  Se um número real é natural obrigatoriamente será inteiro
3   3  Um número inteiro jamais será irracional
4   4  Se um número complexo for irracional jamais será imaginário

P51 — Verifique a veracidade das afirmações:
0   0  A diferença entre dois números naturais nem sempre é um número inteiro
1   1  O produto entre um número inteiro e um número racional é sempre um número inteiro
2   2  O quociente entre um número racional e um número irracional é sempre um número irracional
3   3  A soma entre um número inteiro e um número irracional é sempre um número complexo
4   4  O produto entre dois números irracionais nunca será um número natural

P52 — Analise as proposições sobre conjuntos numéricos e marque coluna I quando verdadeiras e coluna II quando falsas.
0   0  Nenhum número irracional pode ser natural
1   1  Todo número inteiro é complexo
2   2  A soma entre um número racional e um número irracional é sempre irracional
3   3  O produto entre um número inteiro e um natural é sempre um natural
4   4  Existe número racional que é natural

P53 — Analise as afirmações abaixo:
0   0  Todo quadrado cartesiano é simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares
1   1  Todo quadrado cartesiano é comutativo
2   2  Em um produto cartesiano a ordem dos fatores não altera o produto
3   3  Existe quadrado cartesiano simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes pares
4   4  O cardinal do produto cartesiano não depende da ordem dos fatores

P54 — Se as diagonais de um retângulo se interceptam na origem do plano cartesiano e seus lados são paralelos aos eixos coordenados e um de seus vértices é o ponto (3, 2) então:
0  0  O vértice simétrico em relação ao eixo das abscissas é (3, –2)
1  1  O vértice simétrico em relação ao eixo das ordenadas é (–3, 2)
2  2  O vértice simétrico em relação à origem do plano cartesiano é (–3, –2)
3  3  A área do retângulo é 30
4  4  Este retângulo é quadrado

P55 — Se A x A = {(2x – y; 1); (4; 1); (2x – y; y + 3x); (4; y + 3x)}, então x + y vale:
a) –2                     b) –1                     c) 0                     d) 1                     e) 2

P56 — O gráfico do produto cartesiano A x B é formado por quinze pontos distintos. Pode-se afirmar que:
a) A não é um conjunto unitário
b) A possui três elementos e B, cinco elementos
c) A é um conjunto de números inteiros
d) A diferente B
e) A possui quinze elementos

P57 — Em um sistema cartesiano ortogonal, os pontos A(a, b) e B(c, d) são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Assim sendo, tem-se que:
a) a = –c e b = –d
b) a = –c e b = d
c) a = c e b = –d
d) a = c e b = d
e) a = d e b = c

P58 — Sejam F = {1, 2, 3, 4} e G = {3, 4, 7}. Então:
a) F x G tem 12 elementos
b) G x F tem 9 elementos
c) F união G tem 7 elementos
d) F intersecção G tem 3 elementos
e) (F união G) intersecção F = vazio

P59 — Em reais x reais, sejam (2m + n; m – 4) e (m + 1; 2n) dois pares ordenados iguais. Então mné igual a:
a) –2                  b) 0                   c) um meio                  d) 1                       e) raiz de dois

P60 — Os pares ordenados de números reais (2a – 5, b + 3) e (1 – 4a, 2b – 1) são iguais se, e somente se:
a) a = 1 e b = 3           b) a = –1 e b = 3           c) a = –1 e b = 4           d) a = 0 e b = 2           e) a = 1 e b = 4

P61 — Sabendo-se que n(A x B) = 48 , n(B x C) = 72 , n(partes(A)) = 256, podemos afirmar que n(A x C) é:
a) 64           b) 72           c) 96           d) 128           e) 192

fonte:hpdemat.apphb.com

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