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Obter a expressão geral da transformação linear T:R³R² definida de tal modo que
T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(1,1) eT(0,0,1)=(1,−1). Depois de obter a forma geral, obtenha o vetor v em R³, tal queT(v)=(1,2).
Para resolver este problema devemos escrever o vetor v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos de C={e1,e2,e3} que é a base canônica de R³, que são e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3= (0,0,1). Assim
(x,y,z) = a(1,0,0)+ b(0,1,0)+ c(0,0,1) = (a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c) = (a,b,c)Assim, x=a, y=b e z=c e como T é linear, segue que:
T(x,y,z) = T[x(1,0,0)+ y(0,1,0)+ z(0,0,1)] = T[x(1,0,0)]+T[y(0,1,0)]+T[z(0,0,1)] = xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1) = x(1,0)+y(1,1)+z(1,−1) = (x+y+z,y−z)
T(x,y,z) = (x+y+z,y−z)Para obter o vetor v=(x,y,z) em R³ tal que T(x,y,z)=(1,2), tomaremos a formaT(x,y,z)=(x+y+z,y−z) exigindo que T(x,y,z)=(1,2). Basta resolver o sistema:
x+y+z = 1 y − z = 2
Também podemos resolver este problema da seguinte forma:
Como x=−2y+3 e y=z+2, escrevemos x em função de z para obter x=−2z−1.
Desse modo, (x,y,z)=(−2z−1,z+2,z). Tomando z=t, podemos escrever as equações paramétricas da reta que tem a direção do vetor v=(−2,1,1) e passa pelo pontoP0= (−1,2,0).
x(t)=−2t−1, y(t)=t+2, z(t)=tPoderíamos ainda escrever (x,y,z)=(3−2y,y,y−2).
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Obter expressão geral da transformação linear T:R³R² tal que
T(1,0,0)=(1,0) ,T(1,1,0)=(2,3) eT(1,1,1)=(4,7).
Para resolver este problema escreveremos o vetor v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos da base B={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} para obter
(x,y,z) = a(1,0,0)+ b(1,1,0)+ c(1,1,1) = (a,0,0)+(b,b,0)+(c,c,c) = (a+b+c,b+c,c)Assim, x=a+b+c, y=b+c e z=c e desse modo:
T(x,y,z) = T[x(1,0,0)+ y(1,1,0)+ z(1,1,1)] = T[x(1,0,0)]+T[y(1,1,0)]+T[z(1,1,1)] = xT(1,0,0)+yT(1,1,0)+zT(1,1,1) = x(1,0)+y(2,3)+z(4,7) = (x+2y+4z,x+3y+7z)
Referências bibliográficas
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Boyer,Carl Boyer. História da Matemática,Editora Edgard Blücher,São Paulo. Pag.424-427. 1974.
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Howard Eves. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino
H. Domingues. 3a.ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.
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