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sábado, 1 de outubro de 2016

Cálculo de autovalores e autovetores


Seja A a matriz da transformação T:V → V. A matriz A deve ser, portanto, uma matriz quadrada (n x n). Conforme já visto, para um autovalor λ e um autovetor v,

T(v) = λ v. De outra forma,

A v = λ v  #A.1#

Considerando I a matriz unitária (ou matriz identidade), pode-se escrever λ v = λ I v. Substituindo na anterior e reagrupando,

λ I v − A v = 0. De outra forma,

(λ I − A) v = 0  #B.1#

Seja a função:
f(λ) = det (λ I − A) #C.1#

Ela é denominada função característica da matriz A.

Para solução não nula de #B.1#, deve-se ter o determinante nulo:

det (λ I − A) = 0  #D.1#

Resolvendo a equação acima, obtém-se os valores de λ que, substituídos em #A.1#, permitem a determinação dos autovetores.


Exemplo: são dados:

• matriz 3x3 A, para a qual se deseja calcular os autovalores.

• λ I, que é o produto do escalar λ pela matriz unitária I 3x3.

Matrizes para autovalores

A matriz da diferença λ I − A é

Matriz da diferença

O seu determinante é calculado pelas relações a seguir.

det (λ I − A) = (λ − 2) [ (λ − 3) (λ + 2) − (1) (−4) ] − (−1) [ (−2) (λ + 2) − (1) (−4) ] + (−1) [ (−2) (1) − (1) (λ − 3) ].

det (λ I − A) = [ (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 4λ − 8 ] + [−2λ ] − [−λ − 1].

det (λ I − A) = (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 3 (λ − 3).

det (λ I − A) = (λ − 3) [ (λ − 2) (λ + 2) + 3 ].

det (λ I − A) = (λ − 3) [ λ2 − 4 + 3 ] = (λ − 3) [ λ2 − 1 ].

Expandindo o último termo e igualando a zero conforme #D.1#,

det (λ I − A) = (λ − 3) (λ + 1) (λ − 1) = 0.

As soluções dessa equação do terceiro grau são claramente:

λ =  1
λ = −1
λ =  3

Aplica-se agora a igualdade #A.1# para o valor de λ = 1.

Matrizes para cálculo de autovetores

Essa relação matricial pode ser transformada em um sistema de equações lineares através do desenvolvimento do produto das matrizes e posterior simplificação.

Equações lineares para autovalores

Somando a primeira com a terceira equação, v3 = 0. Substituindo nas demais, chega-se ao resultado

v1 + v2 = 0

Ou

v1 = − v2

Há infinitas soluções e pode-se dizer que o vetor é dado por v = α (1, −1, 0) onde α é um escalar não nulo qualquer. Portanto, para o autovalor λ = 1, os autovetores são da forma:

α (1, −1, 0) com α ≠ 0.

Procedimento idêntico pode ser usado para os demais valores de λ.
fonte:http://www.mspc.eng.br/mam

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