cead20136

sábado, 5 de novembro de 2016

Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica


A=\begin{pmatrix}7&-2&0\\-2&6&-2\\0&-2&5\end{pmatrix}


Solução

A equação característica da matriz A é o determinante:


det(A-\lambda{I})=\begin{pmatrix}7&-2&0\\-2&6&-2\\0&-2&5\end{pmatrix}=0

isto é, o polinômio característico já fatorado

p(\lambda)=(6-\lambda)(\lambda{-3})(\lambda{-9})=0.

As raízes desse polinômio são

 \lambda_1=3,\,\,\,\,\lambda_2=6\,\,\,\,e\,\,\,\,\lambda_3=9 

e, por conseguinte, são os autovalores da matriz A.


A teoria de sistemas lineares permite a determinação dos autovetores associados a cada autovalor, ou seja, 

(A-\lambda{I})v=0.

Considerando

v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

o sistema fica

\begin{pmatrix}7-\lambda&-2&0\\-2&6-\lambda&-2\\0&-2&5-\lambda\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\

Para o cálculo dos autovetores associados efetuamos os passos:

Passo 1:  substituindo \lambda\,\,\,\,por\,\,\,\,3 no sistema acima, obtém-se um autovetor associado a \lambda_1=3:

\begin{pmatrix}4&-2&0\\-2&3&-2\\0&-2&2\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\

isto é, o sistema linear 

\left\{\begin{matrix}4x-2y=0\\-2x+3y-2z=0\\-2y+2z=0\end{matrix}\right.

Usando o método de Gauss, vemos que o sistema admite uma infinidade de soluções dadas por 

x=\alpha,\,\,\,\,y=2\alpha\,\,\,\,e\,\,\,\,z=2\alpha.

Assim, o autoespaço associados ao autovalor \lambda_1=3 é:  

(\alpha,2\alpha,2\alpha)

e uma base é B_1=[(1,2,2)]. Um autovetor associado é:

v_1=(1,2,2)

Normalizando o vetor v_1, ou seja, fazendo 

u_1=\frac{v_1}{|v_1|}=\frac{(1,2,2)}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}

obtém-se o autovetor unitário associado a \lambda_1=3:

u_1=(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}).


Passo 2:  substituindo \lambda\,\,\,\,por\,\,\,\,6 no, obtém-se um autovetor associado a \lambda_2=6:

\begin{pmatrix}1&-2&0\\-2&0&-2\\0&-2&-1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\

isto é, o sistema linear 

\left\{\begin{matrix}x-2y=0\\-2x-2z=0\\-2y-z=0\end{matrix}\right.

Usando o método de Gauss, vemos que o sistema admite uma infinidade de soluções dadas por 

x=\alpha,\,\,\,\,y=\frac{1}{2}\alpha\,\,\,\,e\,\,\,\,z=-\alpha.

Assim, o autoespaço associados ao autovalor \lambda_2=6 é:  

(\alpha,\frac{1}{2}\alpha,-\alpha)

e uma base é B_2=[(1,\frac{1}{2},-1)]. Um autovetor associado é:

v_2=(1,\frac{1}{2},-1)

Normalizando o vetor v_2, ou seja, fazendo 

u_2=\frac{v_2}{|v_2|}=\frac{(1,\frac{1}{2},-1)}{\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2+(-1)^2}}

obtém-se o autovetor unitário associado a \lambda_2=6:

u_2=(\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3}).  


Passo 3:  substituindo \lambda\,\,\,\,por\,\,\,\,9, obtém-se um autovetor associado a \lambda_3=9:

\begin{pmatrix}-2&-2&0\\-2&-3&-2\\0&-2&-4\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\

isto é, o sistema linear 

\left\{\begin{matrix}-2x-2y=0\\-2x-3y-2z=0\\-2y-4z=0\end{matrix}\right.

Usando o método de Gauss, vemos que o sistema admite uma infinidade de soluções dadas por 

x=\alpha,\,\,\,\,y=-\alpha\,\,\,\,e\,\,\,\,z=\frac{1}{2}\alpha.

Assim, o autoespaço associados ao autovalor \lambda_3=9 é:  

(\alpha,-\alpha,\frac{1}{2}\alpha)

e uma base é B_3=[(1,-1,\frac{1}{2})].  Um autovetor associado é:

v_3=(1,-1,\frac{1}{2})

Normalizando o vetor v_3, ou seja, fazendo 

u_3=\frac{v_3}{|v_3|}=\frac{(1,-1,\frac{1}{2})}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(\frac{1}{2})^2}}

obtém-se o autovetor unitário associado a \lambda_3=9:

u_3=(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}).


Portanto, a matriz P, cujas colunas são os autovetores unitários u_1,u_2\,\,e\,\,u_3, associados aos autovalores \lambda_1,\lambda_2,\,\,e\,\,\lambda_3 é ortogonal (verifique):


P=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}.

A matriz P é a matriz diagonalizadora, ou seja,

 P^{-1}AP=D        


onde 


D=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&6&0\\0&0&9\end{pmatrix},

fonte: http://www.igm.mat.br

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