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terça-feira, 11 de outubro de 2016

Determinantes

Determinantes
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
  • resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
  • cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;
Determinante de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.
Por exemplo:

  • M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5
  • M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3
Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.
Menor complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:
b) Sendo , de ordem 3, temos:

Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij .
Veja:
a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:

b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:

Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
Assim, fixando , temos:
em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, .
Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para .
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):
Assim:
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.
Determinante de ordem n > 3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.
Propriedades dos determinantes
Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplo:

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:

P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:

P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:

P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:

P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:

P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:
Exemplo:
P12)
Exemplo:
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