Permutação

Considere um conjunto C com n elementos distintos. Permutação simples é o arranjo desses n elementos, tomados n a n. Uma característica das permutações é que elas são agrupamentos formados pelos mesmos elementos, diferindo entre si apenas pela ordem na qual se encontram esses elementos. O número de permutações de n elementos é dado por:
P_n = n!

Exemplo 1. Quantos números naturais de cinco algarismos distintos podemos escrever usando os algarismo 1, 5, 7, 8 e 9?

Solução: Como queremos o número total de números com 5 algarismos e temos exatamente 5 algarismos para formá-los, basta permutá-los e teremos a resposta. Assim,
P₅ = 5! = 5*4*3*2*1 = 120

Exemplo 2. Antônio e Maria têm quatro filhos: Isabela, Júlia, Lázaro e Pedro. A família quer tirar uma foto de recordação de uma viagem na qual todos apareçam lado a lado. De quantas formas distintas eles poderão tirar a foto?

Solução: A posição em que cada um aparecerá na foto é uma permutação entre os membros. Assim, o número de maneiras em que os membros da família podem se distribuir é dado por:
P₆ = 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720
Portanto, eles poderão tirar a foto de 720 maneiras diferentes.

Exemplo 3. Resolva as equações:
a) P_n = 6
Solução: Sabemos que P_n = n!.
Assim, segue que:
n! = 6 para resolver essa equação precisamos encontrar o número cujo fatorial é 6.
3! = 3*2*1 = 6
Portanto, n = 3.
S = {6}


Solução: Temos que
P_n = n!
P_(n-2) = (n-2)!
Assim, podemos reescrever a equação da seguinte forma:

Fazendo a simplificação no 1º membro, obtemos:
n(n – 1) = 506
ou
n² – n – 506 = 0

Resolvendo a equação acima, obtemos:
n = 23 ou n = 22
S = {22, 23}

Marcelo Rigonatto