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terça-feira, 23 de agosto de 2016

Progressão Geométrica (P.G.) e (PA)

Progressões Geométricas (PG)
Definição
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q denominada a razão da PG. Ou seja:
an = an-1.q (n >= 2)
Observe que se a1 e q são diferentes de zero podemos escrever q = an/an-1, uma vez que, nessas condições, todos os termos da PG são também diferentes de zero.
Exemplos:
  1. (1; 2; 4; 8; 16; …) onde a1 = 1 e q = 2;
  2. (-2; -6; -18; -54; …) onde a1 = -2 e q = 3;
  3. (9; 9; 9; 9; …) onde a1 = 9 e q = 1;
  4. (1; -3; 9; -27; …) onde a1 = 1 e q = -3;
  5. (20; 0; 0; 0; …) onde a1 = 20 e q = 0.
Classificação
As PG são classificadas em cinco categorias de acordo com os valores do seu primeiro termo a1 e de sua razão q.
a) Crescentes:
São as PG em que cada termo é maior do que o seu antecessor (exemplo 1. acima) e ocorre nas duas situações seguintes:
  1. a1 > 0 e q > 1 (termos positivos e razão maior do que 1);
  2. a1 <>
Demonstração de 1:
Como a1 e q são diferentes de zero, temos
an/an-1 = q > 1 <==> an > an-1
b) Decrescentes
São as PG em que cada termo é menor do que o seu antecessor (exemplo 2.) e ocorre nas duas situações abaixo indicadas:
  1. a1 <> 1 (termos negativos e razão maior do que 1);
  2. a1 > 0 e 0 <>
c) Constantes
São as PG em que cada termo é igual ao anterior (exemplo 3.):
  1. a1 = 0 e q qualquer;
  2. a1 = c e q = 1, onde c é um número real qualquer.
d) Alternantes
São as PG em que cada termo tem o sinal contrário ao de seu antecessor (exemplo 4.). Ocorre quando q <>1 é diferente de zero.
e) Estacionárias
São as PG em que seu termo inicial a1 é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero (exemplo 5.). Ocorre quando q = 0, e, claro, a1 é diferente de zero.
Fórmula do Termo Geral de uma PG
Seja (a1; a2; a3; … ; an-1; an; …) uma PG de razão q, então seu enésimo termo (an) é:
an = a1.qn-1
Demonstração:
Pelo princípio da indução finita:
i) Verdadeira para n = 1:
a1 = a1.q1-1 => a1 = a1.qo = a1.1 = a1
ii) Suponhamos que a fórmula é verdadeira para n = p (hipótese da indução) e mostremos que é verdadeira para n = p + 1, isto é:
ap = a1.qp-1 => ap+1 = a1.qp+1-1 = a1.qp
Da definição de PG:
ap+1 = ap.q
Da hipótese, vem:
ap+1 = a1.qp-1.q => ap+1 = a1.qp+1-1 = a1.qp
Interpolação Geométrica
Interpolar k meios geométricos entre dois números a e b, é o mesmo que determinar uma PG de n = k + 2 termos, onde seus extremos sejam iguais a esses números, ou seja, onde a1 = a e an = b.
Como temos os extremos definidos, para interpolar meios em uma PG basta calcular sua razão. Assim, da definição de PG temos:
Interpolação Geométrica
Note que se o índice da raiz é par, teremos como solução duas PG distintas correspondente a q positivo e q negativo, respectivamente.
Soma dos Termos de uma PG Finita
A soma dos n primeiros termos de uma PG é:
Soma de uma PG Finita
Demonstração:
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an
Multiplicando os membros da igualdade por q obtemos
qSn = a1q + a2q + a3q + … + an-1q + anq = a2 + a3 + … + an + an+1
Na última passagem foi utilizada a definição de PG. Subtraindo membro a membro esta igualdade da anterior e cancelando os termos comuns:
qSn – Sn = -a1 + an+1 = -a1 + a1.qn
Colocando Sn e a1 em evidência vem:
(q – 1)Sn = a1(qn – 1)
Dessa última igualdade se obtem a fórmula da soma.
Soma dos Termos de uma PG Infinita (Limite da Soma)
Inicialmente, deixemos claro que a fórmula da soma a seguir só se aplica quando -1 <>. Isto porque, somente nessas condições, uma PG infinita converge, ou seja, à medida que n tende para infinito, qn tende a zero.
Caso contrário, quando q > 1 ou q < -1, qn cresce indefinidamente à medida que n cresce, e, portanto, é impossível calcular a soma dos termos da PG. Lembre-se que em uma PG seus termos crescem ou decrescem em função da razão.
Para clarear, tome como exemplo a PG infinita definida por:
Exemplo de PG Infinita
cuja soma dos seus n primeiros termos, aplicando-se a fórmula é (deixo os cálculos para você):
Soma de uma PG Finita
Conforme n aumenta indefinidamente (na fração) o seu denominador aumenta da mesma forma e, em consequência, a fração assume valores cada vez mais próximos de zero e Sn se aproxima de 1. Ou seja:
Limite da Soma
Dessa forma, podemos agora estabelecer a definição da soma dos termos de uma PG infinita.
Seja (a1; a2; a3; … ; an-1; an; …) uma PG infinita de razão q, -1 <>
Fórmula da Soma de uma PG infinita
Demonstração:
Como em Sn, qn tende a zero quando n tende a infinito temos:
Demonstração da Soma de uma PG Infinita
Referências:
  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
  2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

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