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Mostrando postagens com o rótulo Algébra Linear

Cálculo de autovalores e autovetores

Seja A a matriz da transformação T:V → V. A matriz A deve ser, portanto, uma matriz quadrada (n x n). Conforme já visto, para um autovalor λ e um autovetor v, T(v) = λ v . De outra forma, A v = λ v    #A.1# Considerando I a matriz unitária (ou matriz identidade), pode-se escrever  λ v = λ I v . Substituindo na anterior e reagrupando, λ I v − A v = 0 . De outra forma, (λ I − A) v = 0    #B.1# Seja a função: f(λ) = det (λ I − A)   #C.1# Ela é denominada  função característica  da matriz A. Para solução não nula de #B.1#, deve-se ter o determinante nulo: det (λ I − A) = 0    #D.1# Resolvendo a equação acima, obtém-se os valores de λ que, substituídos em #A.1#, permitem a determinação dos autovetores. Exemplo : são dados: • matriz 3x3 A, para a qual se deseja calcular os autovalores. • λ I, que é o produto do escalar λ pela matriz unitária I 3x3. A matriz da diferença λ I − A é O seu determinante é calculado pelas relações a seguir. det (λ I − A)

Transformações Lineares

1. Se T : V → W é uma transformação linear, mostre que: (a) Ker(T) é um subespaço de V . (b) Im(T) é um subespaço de W. Solução: Agora, somando-se membro a membro estas duas equações vetoriais, vem fazendo v = λu ∈ V . Isto é, existe v ∈ V tal que λw = T(v), basta tomarmos v = λu ∈ V e, portanto, λw ∈ Im(T). Daí, concluímos que Im(T) é um subespaço vetorial de W. (a) Determine uma base do núcleo de T. (b) Dê a dimensão da imagem de T. (c) T é sobrejetora? Justifique. (d) Faça um esboço de Ker(T) e Im(T). Solução: (c) Não. A imagem não é igual ao contradomínio já que DimIm(T) = 2 e o contradomínio tem dimensão 3. 3. No plano, uma rotação anti-horária de 45◦ é seguida por uma dilatação de √ 2. Ache a aplicação A que representa esta trasnformação do plano. Solução: sinθ cosθ Que pode ser escrito como uma transformação: Uma dilatação D de √ 2(x,y). Como queremos dilatar a transformação R, teremos Solução: Escreva Aplicando T e sabendo que ela

Vetores

Esse é o blog de Antonio Carneiro, Professor e Articulador do gestar de Matemática do Estado da Bahia no Colégio Est. Dinah Gonçalves em Valéria, Salvador-bahia e Biologia na rede privada. graduado Em Ciências Naturais UFBA e pós graduado em Metodologia de Ensino Superior pela Faculdade São Bento. visite meus blogs http://accbarrosogestar.blogspot.com.br e accbarroso60.wordpress.com ou    www.accbarrosogestar.wordpress.com Vetores 1) determine x para que se tenha AB=CD sendo A(x,1) B(4,x+3) C (x,x+2) e D (2x,x+6) Resolução AB=CD B-A= D-C (4-x;x+3-1) = (2x-x;x+6-x-2) 4-x=x oux+2=4 fica x=2 2) Escreva o vetor (7,-1) como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,-1) e outro paralelo ao vetor (1,1) resolvendo sabemos que A+B =(7,-1) A=(y,-y) B= (x,x) logo temos x+y=7 e x-y=-1 resolvendo o sistema x=3 e y =4 3) dados A (-1,-1) B=(3,5) Determine C tal que: a) AC=AB:2 resolvendo C-A = (B-A):2 C=(B_A):2 +A C=(1,2) b)AC=2(AB):3 C-A=2(B-A):3 C=2(B-A):3+A C=(8/3,3

Vetores Exercícios

Esse é o blog de Antonio Carneiro, Professor e Articulador do gestar de Matemática do Estado da Bahia no Colégio Est. Dinah Gonçalves em Valéria, Salvador-bahia e Biologia na rede privada. graduado Em Ciências Naturais UFBA e pós graduado em Metodologia de Ensino Superior pela Faculdade São Bento. visite meus blogs http://accbarrosogestar.blogspot.com.br e accbarroso60.wordpress.com ou o site www.profantoniocarneiro.com   www.accbarrosogestar.wordpress.com Vetores 1) determine x para que se tenha AB=CD sendo A(x,1) B(4,x+3) C (x,x+2) e D (2x,x+6) Resolução AB=CD B-A= D-C (4-x;x+3-1) = (2x-x;x+6-x-2) 4-x=x oux+2=4 fica x=2 2) Escreva o vetor (7,-1) como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,-1) e outro paralelo ao vetor (1,1) resolvendo sabemos que A+B =(7,-1) A=(y,-y) B= (x,x) logo temos x+y=7 e x-y=-1 resolvendo o sistema x=3 e y =4 3) dados A (-1,-1) B=(3,5) Determine C tal que: a) AC=AB:2 resolvendo C-A = (B-A):2 C=(B_A):2 +A C=(1,2) b)AC=2(AB):3 C-

Transformações Lineares

F:R R definida por F(x)=2x é linear. F(x+y) = 2(x+y) = 2x+2y = F(x)+F(y) F(k.x) = 2(kx) = 2.k.x=k(2x) = k.F(x) F:R R definida por F(x)=0 é linear. F(x+y) = 2(0) = 0 = 0+0 = F(x)+F(y) F(k.x) = 0 = k.0 = k.F(x) F:R R definida por F(x)=ax é linear. F(x+y) = a(x+y) = ax+ay = F(x)+F(y) F(k.x) = a(kx) = a.k.x = k(ax) = k.F(x) F:R R² definida por F(x)=x(a,b) sendo a R e b R. F(x+y) = (a(x+y),b(x+y)) = (ax+ay,bx+by) = (ax,bx)+(ay,by) = F(x)+F(y) F(k.x) = x(ak,bk) = (akx,bkx) = k.(ax,bx) = k.F(x) F:R² R definida por F(x,y)=2x+3y é linear. Se u=(x 1 ,y 1 ) R², v=(x 2 ,y 2 ) R² e w = (x,y) R², então F(u+v) = F((x 1 ,y 1 )+(x 2 ,y 2 )) = F(x 1 +x 2 , y 1 +y 2 ) = 2(x 1 +x 2 )+3(y 1 +y 2 ) = (2x 1 +2x 2 )+(3y 1 +3y 2 ) = (2x 1 +3y 1 )+(2x 2 +3y 2 ) = F(x 1 ,y 1 ) + F(x 2 ,y 2 ) = F(u)+F(v) F(k.w) = F(k(x,y)) = F(kx,ky) = 2(kx)+3(ky) = (2kx)+(3ky) = k.(2x+3y) = k.F(x,y) = k.F(w) F:R² R d