Trigonométria

1 - Multiplicação de arcos

Problema: Conhecendo-se as funções trigonométricas de um arco a , determinar as funções trigonométricas do arco n.a onde n é um número inteiro maior ou igual a 2.
Usaremos as fórmulas das funções trigonométricas da soma de arcos para deduzi-las.

1.1 - Seno e cosseno do dobro de um arco

Sabemos das aulas anteriores que sen(a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a. Logo, fazendo a = b, obteremos a fórmula do seno do dobro do arco ou do arco duplo:
sen 2a = 2 . sen a . cos a
Analogamente, usando a fórmula do cosseno da soma, que sabemos ser igual a
cos(a + b) = cos a . cos b - sen a .sen b
e fazendo a = b, obteremos a fórmula do cosseno do dobro do arco ou do arco duplo:
cos 2a = cos2a - sen2a

Da mesma forma, partindo da tangente da soma, obteremos analogamente a fórmula da tangente do dobro do arco ou do arco duplo:

A fórmula acima somente é válida para tga ¹ 1 e tga ¹ -1, já que nestes casos o denominador seria nulo! Lembre-se do 11º mandamento! NÃO DIVIDIRÁS POR ZERO! Sabemos que a divisão por zero não é possível. Imagine dividir 2 chocolates por zero pessoas!!!

Exemplos:

sen4x = 2.sen2x.cos2x
senx = 2.sen(x/2).cos(x/2)
cosx = cos2(x/2) - sen2(x/2)
cos4x = cos22x - sen22x, ... , etc.

2 - Divisão de arcos
Vamos agora achar as funções trigonométricas da metade de um arco, partindo das anteriores.

2.1 - Cosseno do arco metade
Ora, sabemos que cos2a = cos2a - sen2a
Substituindo sen2a, por 1 - cos2a, já que sen2a + cos2a = 1, vem:
cos2a = 2.cos2a - 1. Daí, vem:
cos2a = (1+cos2a) / 2
Fazendo a = x/2, vem, cos2(x/2) = [1+cosx]/2.
Podemos escrever então a fórmula do cosseno do arco metade como:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

2.2 - Seno do arco metade
Podemos escrever: cos2a = (1-sen2a) - sen2a = 1 - 2sen2a
Daí vem: sen2a = (1 - cos2a)/2
Fazendo a = x/2 , vem: sen2(x/2) = (1 - cosx) / 2.
Podemos escrever então, a fórmula do seno do arco metade como segue:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

2.3 - Tangente do arco metade
Dividindo membro a membro as equações 2.1 e 2.2 anteriores, lembrando que
tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

Exercício resolvido
Simplifique a expressão y = cossec2a - cotg2a

Solução:
Sabemos que cossec2a = 1 / sen2a e cotg2a = cos2a / sen2a . Logo,
y = (1/sen2a) - (cos2a/sen2a)
Simplificando, vem: y = (1 - cos2a) / sen2a . Portanto,

Portanto, cossec2a - cotg2a = tga.
Lembre-se que 1 - cos2a = sen2a.
Somente a título de ilustração, vamos ler a expressão resultado: A cossecante do dobro de um arco subtraída da cotangente do dobro do mesmo arco é igual à tangente do arco. Aqui pra nós: a linguagem simbólica não é muito mais fácil?

3 - Transformação de somas em produto

Vamos deduzir outras fórmulas importantes da Trigonometria.
As fórmulas a seguir são muito importantes para a simplificação de expressões trigonométricas.

Já sabemos que:
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
Somando membro a membro estas igualdades, obteremos:
sen(a + b)+ sen(a - b) = 2.sen a . cos b.

Fazendo
a + b = p
a - b = q
teremos, somando membro a membro:
2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q) / 2
Agora, subtraindo membro a membro, fica:
2b = p - q, de onde tiramos b = (p - q) / 2

Daí então, podemos escrever a seguinte fórmula:

Exemplo: sen50º + sen40º = 2.sen45º.cos5º

Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:

Exemplos:

cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10º
cos 60º - cos 40º = -2.sen50º.sen10º
sen 70º - sen 30º = 2.sen20º.cos50º.

Adição de Matrizes

Marcos Noé

Somando matrizes

O estudo das matrizes deve ser considerado de grande importância, constituindo numa importante ferramenta da Matemática presente em áreas relacionadas aos cálculos, como a Engenharia, a Informática e outras. Nos estudos estatísticos, as matrizes constituem tabelas que objetivam por organizar os dados distribuídos por linhas e colunas.

Assim como os números, as matrizes possuem propriedades operatórias, podem ser adicionadas. Considerando duas matrizes A e B de mesma ordem, isto é, mesmo número de linhas e colunas, a soma entre elas constituirá em uma matriz C de mesma ordem das adicionadas. Os termos deverão ser somados de acordo com suas posições. Por exemplo, se somarmos duas matrizes de ordem 3x3, as adições dos elementos respeitarão a seguinte situação:

a₁₁ + b₁₁ = c₁₁
a₁₂ + b₁₂ = c₁₂
a₁₃ + b₁₃ = c₁₃
a₂₁ + b₂₁ = c₂₁
a₂₂ + b₂₂ = c₂₂
a₂₃ + b₂₃ = c₂₃
a₃₁ + b₃₁ = c₃₂
a₃₂ + b₃₂ = c₃₂
a₃₃ + b₃₃ = c₃₃

Observe:

Exemplo 1

Adicionar as matrizes A e B.

A + B = C ↔ a_ij + b_ij = c_ij

A matriz se enquadra nas propriedades da adição, dada a matriz A, B, C e O, sendo O nula, vale as propriedades da:

Comutação: A + B = B + A
Associação: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + O = O + A = 0

Matrizes operações

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada

Marcelo Rigonatto

Matriz quadrada

Matriz quadrada é uma matriz que apresenta o número de linhas e colunas iguais. A toda matriz quadrada está associado um número que recebe a denominação de determinante. Os determinantes apresentam aplicações na resolução de sistemas lineares e no cálculo da área de um triângulo no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas de seus vértices.
Veremos como se dá o cálculo do determinante de matrizes quadradas de 1ª, 2ª e 3ª ordem.

Determinante de uma matriz de 1ª ordem.

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a₁₁], seu determinante será o número a₁₁. Ou seja:
det M = a₁₁

Determinante de uma matriz de 2ª ordem.

Dada uma matriz quadrada de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:

Determinante de uma matriz de 3ª ordem.

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo:

Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:


O método de Sarrus consiste em:
1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna.

2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à principal.

(a₁₁∙a₂₂∙a₃₃+a₁₂∙a₂₃∙a₃₁+a₁₃∙a₂₁∙a₃₂ )
3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária:

(a₁₂∙a₂₁∙a₃₃ + a₁₁∙a₂₃∙a₃₂ + a₁₃∙a₂₂∙a₃₁)

4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2 e 3, ou seja:

det A = (a₁₁∙a₂₂∙a₃₃ + a₁₂∙a₂₃∙a₃₁ + a₁₃∙a₂₁∙a₃₂ ) - (a₁₂∙a₂₁∙a₃₃ + a₁₁∙a₂₃∙a₃₂ + a₁₃∙a₂₂∙a₃₁)

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo:

Solução: A matriz M é quadrada de ordem 2 x 2. Assim, seu determinante será dado por:

Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz

Solução:

Exemplo 3. Dada a matriz M3 x 3 abaixo, calcule seu determinante.

Solução:

det A = (10+12+0) - (16+0+15)=22-31 = -9

Exemplo 4. Calcule o determinante da matriz 3 x 3 abaixo:

Solução:

Multiplicação de Matrizes

Marcos Noé

Multiplicando matrizes

Matrizes são tabelas que respeitam uma ordem de formação, possuem respectivamente linhas e colunas. Esse tipo especial de tabela possui propriedades e definições. Entre as propriedades mais importantes está a multiplicação de matrizes. Antes de multiplicarmos duas matrizes devemos verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda, sendo registrada a igualdade podemos realizar a operação.
A multiplicação consiste em uma regra prática geral, observe passo a passo como deve ser feita a multiplicação.
Devemos sempre multiplicar na seguinte ordem: linha x coluna.

Observe o exemplo:

Exemplo 1



Observe que a multiplicação somente foi efetuada porque o número de coluna da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª. Outra característica importante que deve ser analisada é que a matriz produto possui o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª.


Exemplo 2

Em uma confecção são produzidos três modelos de calças: A, B e C. Sendo usado dois tipos de botões G (grande) e M (médio). O número de botões usado por modelo de calça é dado pela seguinte tabela:

O número de calças produzidas nos meses de novembro e dezembro é fornecido pela tabela a seguir:



De acordo com os dados fornecidos, calcule a quantidade de botões gastos nos meses referidos.


O cálculo da quantidade de botões pode ser efetuado multiplicando as duas tabelas, pois elas constituem uma multiplicação entre matrizes.

Matrizes

Matrizes

Introdução

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

	Química	Inglês	Literatura	Espanhol
A	8	7	9	8
B	6	6	7	6
C	4	8	5	9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

Veja mais alguns exemplos:

• é uma matriz do tipo 2 x 3
• é uma matriz do tipo 2 x 2

Notação geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [a_ij]_{m x n}, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a₂₃ é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

Na matriz , temos:

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a₁₁ = -1, a₁₂ = 0, a₁₃ = 2 e a₁₄ = 5.

Denominações especiais

Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

• Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
  
• Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1
  
• Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a_ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

Veja:

Observe a matriz a seguir:

a₁₁ = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a₃₁= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)

• Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0_{m x n.}

Por exemplo, .

• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por I_n, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:

Assim, para uma matriz identidade .

• Matriz transposta: matriz A^t obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A^t é do tipo n x m.

Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A^t e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de A^t.

• Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = A^t . Por exemplo,

é simétrica, pois a₁₂ = a₂₁ = 5, a₁₃ = a₃₁ = 6, a₂₃ = a₃₂ = 4, ou seja, temos sempre a _ij = a _ij.

• Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, .

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

.

Operações envolvendo matrizes

Adição

Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas matrizes a matriz , tal que C_ij = a_ij + b_ij , para todo :

A + B = C

Exemplos:

• 
  
• 

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades

Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

Subtração

Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A - B = A + ( - B )

Observe:

Multiplicação de um número real por uma matriz

Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b_ij = xa_ij:

B = x.A

Observe o seguinte exemplo:

Propriedades

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A

b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A

Multiplicação de matrizes

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.

Assim, o produto das matrizes A = ( a_ij) _{m x p} e B = ( b_ij) _{p x n} é a matriz C = (c_ij) _{m x n} em que cada elemento c_ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada C_ij:

• 1ª linha e 1ª coluna

• 1ª linha e 2ª coluna

• 2ª linha e 1ª coluna

• 2ª linha e 2ª coluna

Assim, .

Observe que:

Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes :

Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

• Se A_{3 x 2} e B _{2 x 5} , então ( A . B ) _{3 x 5}
• Se A _{4 x 1} e B _{2 x 3}, então não existe o produto
• Se A _{4 x 2} e B _{2 x 1}, então ( A . B ) _{4 x 1}
  

Propriedades

Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . I_n = I_n . A = A, sendo I_n a matriz identidade de ordem n

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 _{m x n} uma matriz nula, A .B =0 _{m x n} não implica, necessariamente, que A = 0 _{m x n} ou B = 0 _{m x n}.

Matriz inversa

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = I_n , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A^-1 .

www.somatematica.com.br