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sexta-feira, 21 de fevereiro de 2020

Combinações

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M).

Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!
Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1), então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
o que pode ser reescrito
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / [(1.2.3.4....(p-1)p]

Se multiplicarmos numerador e denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!

e o denominador ficará:
p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:
m!
C(m,p) =
---------------------------------------------------------
p! (m-p)!

quinta-feira, 20 de fevereiro de 2020

Polinômios

Assim:

Q(x) = ax + b e R(x) = cx + d

2^a etapa

Como A(x)

B(x) · Q(x) + R(x), temos:

2x³ – 8x² + 7x – 5

(x² – 2x + 3) · (ax + b) + cx + d

2x³ – 8x² + 7x – 5

ax³ + (–2a + b)x² +

+ (3a – 2b + c)x + (3b +d)

3^a etapa

Estabelecemos a igualdade dos coeficientes dos termos correspondentes.

4^a etapa

Resolvemos o sistema e encontramos a = 2; b = – 4; c = –7 e d = 7.

Então: Q(x) = 2x – 4 e R(x) = –7x + 7

Exercícios Resolvidos

01. (UFG-GO) Na divisão do polinômio
P(x) = ax³ + bx² + cx + d pelo polinômio D(x) = x² + 1 encontra-se para quociente o polinômio Q(x) = 2x – 1 e para resto o polinômio R(x) = – x + 1. Então, P(x) é o polinômio:

a) x³ – x² + x + 1

b) 2x³ – x² + 1

c) 2x³ – x² – x + 1

d) 2x³ – x² + x

Resolução

ax³ + bx² + cx + d = (2x – 1)(x² + 1) + (–x + 1)

ax³ + bx² + cx + d = 2x³ + 2x – x² – 1 – x + 1

ax³ + bx² + cx + d = 2x³ – x² + x

Logo:

Portanto, P(x) = 2x³ – x² + x

Resposta: D

02. Dados os polinômios

P(x) = 2x⁵ – 32x³ + 43x² – 40x + 20 e

D(x)= x² + 4x – 3, efetuar a operação P(x) ÷ D(x).

Resolução

03. (ITA-SP) Os valores de

que tornam o polinômio P(x) = 4x⁵ + 2x⁴ – 2x³ +

x² +

x +

divisível por Q(x) = 2x³ + x² – 2x +1 satisfazem as desigual-dades:

Resolução

Como P(x) deve ser divisível por Q(x), temos:

(

– 3)x² + (

+ 2)x + (

– 1) = 0

Assim,

Resposta: Binterna.coceducacao.com.br

Polinômios

Considerações sobre o Grau

Sendo A e B dois polinômios não-nulos, o grau do produto A · B é a soma dos graus dos polinômios A e B.

No caso de um dos polinômios A ou B ser identicamente nulo, o produto A · B é identicamente nulo (o grau não é definido).

Exemplo

G_A = 5 e G_B = 3

G_{A + B} = 8

7. Divisão de Polinômios

7.1. Definição

Dados dois polinômios, A(x) e B(x), B não-nulo, existe um único par de polinômios Q (x) e R(x) em que se verificam as condições:

1^a) A(x)

B(x) · Q(x)+ R(x)

2^a) G_R < G_B ou R(x)

Os polinômios A e B são chamados de dividendoe divisor e os polinômios Q e R são o quociente e oresto.

Quando R(x)

0 , dizemos que a divisão é exata, ou que A(x) é divisível por B(x).

7.2. O Método da Chave

Dividir o polinômio A(x) pelo polinômio B(x), não-nulo, significa determinar o quociente Q(x) e o resto R(x).

Vamos dividir, por exemplo, o polinômio

A(x) = 2x³ – 8x² +7x – 5 por B(x) = x² – 2x + 3, pelo método da chave.

1^a etapa

Dividimos inicialmente 2x³ por x², encontrando 2x.

2^a etapa

Multiplicamos 2x por x² – 2x + 3 e vemos “quanto falta para 2x³ – 8x² + 7x – 5”, isto é, subtraímos:

2x³ – 4x² + 6x de 2x³ – 8x² + 7x – 5.

3^a etapa

Enquanto o grau do resto for maior ou igual ao grau do divisor, continuamos a divisão. Dividimos então – 4x² por x², encontrando – 4.

4^a etapa

Multiplicamos – 4 por x² – 2x + 3 e vemos “quanto falta para – 4x² + x – 5”.

Nesse ponto terminamos a divisão, pois o grau de
– 7x + 7 é menor que o grau do divisor.

Portanto, temos:

Quociente = Q(x) = 2x – 4

Resto = R(x) = – 7x + 7

7.3. Considerações sobre o Grau

Sendo A e B dois polinômios não-nulos, o grau do quociente Q(x) é a diferença entre os graus dos polinômios A e B, e o resto, se não for nulo, terá grau menor que o grau de B(x).

7.4. O Método de Descartes

Vamos dividir, por exemplo, o polinômio

A (x) = 2x³ – 8x² + 7x – 5 por B(x) = x² – 2x + 3 pelo método de Descartes, também conhecido como método dos coeficientes a determinar.

1^a etapa

Estimamos quem serão o quociente Q(x) e o resto R(x) da divisão, lembrando que G_Q = G_A – G_B = 1, e, se o resto não for nulo, G_R < G_Binterna.coceducacao.com.br