A parte da Matemática responsável pelo agrupamento de elementos é denominada Análise Combinatória. Ao realizar agrupamentos de elementos devemos analisar as condições determinadas. Por exemplo, em algumas situações não devem ocorrer a presença de termos repetidos, e em outros casos, essa restrição não é imposta. Esse tipo de agrupamento é resolvido através do princípio multiplicativo, que consiste na multiplicação das possibilidades de cada posicionamento.
Exemplo 1
Utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, forme números de 3 algarismos, respeitando as seguintes condições:
a) os números podem ser repetidos
centenas dezenas unidades
5 5 5
Podemos utilizar 5 possibilidades na casa das centenas, 5 na casa das dezenas e 5 na casa das unidades.
5 * 5 * 5 = 125 números
b) Números distintos
centenas dezenas unidades
5 4 3
Utilizaremos 5 possibilidades na casa das centenas, 4 na casa das dezenas e 3 na casa das unidades.
5 * 4 * 3 = 60 números
Observe que na situação envolvendo números distintos, as possibilidades de posicionamento da casa das centenas, dezenas e unidades foram diferentes. Essa condição anula a possibilidade de ocorrer números iguais, condicionando a multiplicação, a fornecer o resultado de forma exata.
Exemplo 2
Uma senha de 6 dígitos deve ser escolhida com a utilização dos algarismos representantes da base decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. A condição estabelecida informa que os números precisam ser distintos, assegurando senhas complexas. Quantas senhas podem ser formadas?
10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 151.200
Podem ser formadas 151.200 senhas.
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articulador 1
Mostrando postagens com marcador 3º Ano Ensino Médio. Mostrar todas as postagens
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sexta-feira, 28 de fevereiro de 2020
Volume do tronco de pirâmide
Pirâmide
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
www.accbarrosogestar.wordpress.com
Quando um plano intercepta uma pirâmide a uma determinada altura, paralelamente à sua base, obtém-se uma nova forma geométrica, denominada tronco de pirâmide. O tronco de pirâmide apresenta duas bases (base maior e base menor) e sua superfície lateral é composta de trapézios.
O volume do tronco de pirâmide é obtido fazendo a diferença entre o volume da pirâmide original e o volume da pequena pirâmide formada após a intersecção do plano. Dessa maneira, obtemos a fórmula que determina o volume do tronco de qualquer pirâmide.
Fórmula do volume do tronco de pirâmide:
Onde
h → é a altura do tronco de pirâmide.
AB → é a área da base maior.
Ab → é a área da base menor.
Observe os seguintes exemplos para compreender como utilizar a fórmula.
Exemplo 1. Calcule o volume do tronco de pirâmide abaixo.
Solução: Observe que as bases desse tronco de pirâmide são quadrados e sua altura é de 6 cm. Para calcular o volume de um tronco de pirâmide qualquer, precisamos da área das duas bases e da medida da altura. Assim, teremos:
AB = 102 = 100 cm2
Ab = 42 = 16 cm2
h=6cm
Substituindo esses valores na fórmula do volume, obtemos:
Exemplo 2. A base maior de um tronco de pirâmide é uma das faces de um cubo de 125 cm3 de volume. Sabendo que a base menor desse tronco é um quadrado de 2 cm de lado e sua altura é de 9 cm, calcule seu volume.
Solução: Como a base maior do tronco é uma das faces de um cubo, sabemos que sua base é um quadrado. Foi dado que o volume desse cubo é de 125 cm3, assim, cada aresta do cubo mede 5 cm. Dessa forma, a base maior do tronco é um quadrado de 5 cm de lado. Logo, teremos:
AB = 52 = 25 cm2
Ab = 22 = 4 cm2
h = 9 cm
Substituindo na fórmula do volume, teremos:
Marcelo Rigonatto
Ponto médio de um seguimento de reta
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Segmento de reta é limitado por dois pontos de uma reta. Por exemplo, considere a reta r e dois pontos A e B que pertencem a essa reta.
A distância dos pontos A e B é o segmento da reta r.
Por ser um “pedaço” de uma reta podemos medir o seu comprimento (distância entre dois pontos de uma reta), assim possuindo seu ponto médio (ponto que separa o segmento ao meio).
Se o ponto fosse A (2,1) e B (3,4), qual seria as coordenadas do ponto médio?
Utilizando o Teorema de Tales, podemos dizer que:
AM = A1M1
MB M1B1
Os segmentos AM e MB são iguais, pois M é o ponto médio de A e B, assim podemos escrever:
1 = A1M1
M1 B1
x A = 2, então A1M1 = xM – 2
x B = 3, então M1B1 = 3 – xM
Substituindo A1M1 = xM – 2 e M1B1 = 3 – xM em 1 = A1M1, teremos:
M1B1
1 = A1M1
M1B1
1 = xM – 2
3 – xM
xM – 2 = 3 – xM
2xM = 3 + 2
xM = 3+2
2
xM = 5/2
Podemos concluir que a abscissa xM é a media entre as abscissas xA e xB, portando yM será a mediana de yA e yB.
y M = 4 + 1 2
y M = 5/2
Portanto, o ponto médio M terá coordenadas iguais a (5/2, 5/2).
Assim, a forma geral para o cálculo das coordenadas de um ponto médio será:
xM = xA + xB
2
yM = yA + yB
2
terça-feira, 25 de fevereiro de 2020
Combinações
Combinação simples é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações simples se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza.
Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?
Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos formados nesse exercício são combinações.
As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos.
Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:
ABC, BAC, CAB, DAB
ABD, BAD, CAD, DAC
ACB, BCA, CBA, DBA
ACD, BCD, CBD, DBC
ADB, BDA, CDA, DCA
ADC, BDC, CDB, DCB
Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:
Cn,p = n!
p! (n – p)
n é a quantidade de elementos de um conjunto
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
Substituindo os dados acima na fórmula teremos:
n = 4
p = 3
C4,3 = 4!
3! (4-3)!
C4,3 = 4 . 3!
3! . 1
C4,3 = 4
Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?
Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos formados nesse exercício são combinações.
As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos.
Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:
ABC, BAC, CAB, DAB
ABD, BAD, CAD, DAC
ACB, BCA, CBA, DBA
ACD, BCD, CBD, DBC
ADB, BDA, CDA, DCA
ADC, BDC, CDB, DCB
Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:
Cn,p = n!
p! (n – p)
n é a quantidade de elementos de um conjunto
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
Substituindo os dados acima na fórmula teremos:
n = 4
p = 3
C4,3 = 4!
3! (4-3)!
C4,3 = 4 . 3!
3! . 1
C4,3 = 4
Produtos notáveis
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email
accbarroso@hotmail.com
Quadrado da soma de dois termos
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Vale reforçar que o quadrado da soma de dois termos pode também ser representado da seguinte maneira:
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De acordo com a regra de multiplicação de polinômios:
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"O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo."
Quadrado da diferença de dois termos
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
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Novamente segundo a regra:
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"O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo"
Produto da soma pela diferença de dois termos
(a + b)(a - b) = a2 - b2
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Ou, se você duvidar, venha a multiplicação:
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"A multiplicação da soma de dois termos pela diferença deles é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo."
Produtos notáveis e equações de 2º grau
Imagine a equação: x2 - 6x + 9 = 0
Ela pode resolvida com o auxílio da fórmula de Bhaskara
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Mas antes de sair desenvolvendo fórmulas, preste atenção novamente na equação. Você notará que ela é um produto notável - um quadrado da diferença de dois termos:
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Logo:
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Imagine: em que situação uma multiplicação pode dar zero? Pense na tabuada: qual número vezes outro é igual a zero? Apenas o próprio zero! ( 2 x 0 = 0; 3 x 0 = 0; 1.000 x 0 = 0)
Isso quer dizer que um dos termos de nossa multiplicação é igual a zero.
Como na nossa multiplicação, temos uma potência, isso quer dizer que temos a multiplicação de dois termos iguais. Ou seja, tanto o primeiro, quanto o segundo termo é igual ao zero.
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*Carlos Alberto Campagner é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.
O teorema de D'Alembert
O teorema de D'Alembert
Marcelo Rigonatto
Polinômios
Vejamos através de exemplos a praticidade desse teorema.
Exemplo 1. Determine qual será o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 – 3x3 + 2x2 + x pelo binômio x – 2.
Solução: Pelo teorema do resto, sabemos que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo x – a será P(a).
Assim, temos que:
R = P(2)
R=24– 3∙23 + 2∙22 + 2
R = 16 – 24 + 8 + 2
R = 2
Portanto, o resto da divisão do polinômio P(x) pelo binômio x – 2 será 2.
Exemplo 2. Verifique se a divisão de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 1 por x – 5 é exata.
Solução: A divisão de P(x) por x – 5 será exata se o resto da divisão for igual a zero. Dessa forma, utilizaremos o teorema de D’Alembert para verificar se o que restou é ou não igual a zero.
Segue que:
R = P(5)
R=3∙53 –2∙52 –5∙5 – 1
R = 375 – 50 – 25 – 1
R = 299
Como o resto da divisão é diferente de zero, a divisão não é exata.
Exemplo 3. Calcule o resto da divisão de P(x) = x3 – x2 – 3x – 1 por x + 1.
Solução: Observe que o teorema se refere às divisões de polinômios por binômios do tipo x – a. Dessa forma, devemos nos atentar para o binômio do problema: x + 1. Ele pode ser escrito da seguinte maneira: x – (– 1). Assim, teremos:
R = P(– 1)
R= (-1)3 – (–1)2 – 3∙(–1) – 1
R = – 1 – 1 + 3 – 1
R = 0
O resto da divisão de P(x) por x + 1 é zero, logo, podemos afirmar que P(x) é divisível por x + 1.
Exemplo 4. Determine o valor de c para que P(x) = x5 – cx4 + 2x3 + x2 – x + 6 seja divisível por x – 2.
Solução: Pelo teorema de D’Alembert, o polinômio P(x) é divisível por x – 2 se R = P(2) = 0. Assim, temos que:
R = P(2) = 0
25 – c∙24 + 2∙23 + 22 –2 + 6 = 0
32 – 16c + 16 + 4 – 2 + 6 = 0
– 16c = – 56
c = 56 / 16
c = 7 / 2
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