EXPRESSÕES NÚMERICAS

As expressões devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações:

1) Potenciação e radiciação;
2) Multiplicação e divisão
3) Adição e subtração

Nessas operações são realizados :

1) parênteses ( )
2) colchetes [ ]
3) chaves { }

exemplos:

calcular o valor das expressões :

1°) exemplo
(-3)² - 4 - (-1) + 5²
9 – 4 + 1 + 25
5 + 1 + 25
6 + 25
31


2°) exemplo

15 + (-4) . (+3) -10
15 – 12 – 10
3 – 10
-7

3°) exemplo

5² + √9 – [(+20) : (-4) + 3]
25 + 3 – [ (-5) +3 ]
25 + 3 - [ -2]
25 +3 +2
28 + 2
30

EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor das expressões:

a) 5 + ( -3)² + 1 = 15
b) 10 + (-2)³ -4 = -2
c) 12 – 1 + (-4)² = 27
d) (-1)⁵ + 3 – 9 = -7
e) 18 – (+7) + 3² = 20
f) 6 + (-1)⁵ - 2 = 3
g) (-2)³ - 7 – (-1) = -14
h) (-5)³ - 1 + (-1)⁹ = -127
i) 5⁰ - ( -10) + 2³ = 19
j) (-2)³ + (-3)² - 25 = -24

2) Calcule o valor das expressões:

a) 3 - 4² + 1 = -12
b) 2³ - 2² - 2 = 2
c) (-1)⁴ + 5 - 3² = -3
d) 5⁰ - 5¹ - 5⁰ = -5
e) (-3)². (+5) + 2 = 47
f) (-1)⁷ - (-1)⁸ = -2
g) 5 + (-3)² + 7⁰ = 15
h) √49 + 2³ - 1 = 14

3) Calcule o valor das expressões:

a) (-3)² + 5 = 14
b) (-8)² - (-9)² = -17
c) -72⁰ + (-1)⁸ = 0d) (-12)⁰ + (+12)⁰ = 2
e) 10³ - (-10)² - 10⁰ = 899
f) (-7)² + (-6)² - (-1)² = 84
g) (-1)⁶ + (+1)⁵ + (-1)⁴ + (+1)³ = 4
h) 2⁶ - 2⁵ - 2⁴ - 2³ - 2² - 2 = 2

4) Calcule o valor das expressões:

a) (-3) . (+7) + (-8) . (-3) = 3
b) (-3)³ + (+2)² - 7 = -30
c) 8 + (-3 -1)² = 24
d) (-2 + 6)³ : (+3 – 5)² = 16
e) –(-5)² + (-7 + 4) = -28
f) (-2)⁶ + (+5) . (-2) = 54

5) Calcule o valor das expressões:

a) (-3)³ . (-2)² + (3) + 5⁰ = -110
b) (-1)³ + 3 + (+2) . (+5) = 12
c) (-2) . (-7) + (-3)² = 23
d) 2 . (-5)² - 3 . (-1)³ + 4 = 57
e) –[ -1 + (-3) . (-2)]²
f) –(5 – 7)³ - [ 5 - 2² - (4 – 6)] = 5
g) (-3 + 2 – 1)³ - ( -3 + 5 – 1)⁸ + 3 = -6
h) 8 – [ -7 + )-1) . (-6) + 4]²
i) 14 – [(-1)³ . (-2)² + (-35) : (+5)] = 25
j) 5³ - [ 10 + (7 -8)² ]² - 4 + 2³ = 8
k) (-1)⁸ + 6⁰ - [15 + (-40) : (-2)³ ] = -18
l) -3 –{ -2 – [(-35) : (+5) + 2² ]} = -4

6) Calcule o valor das expressões:

a) (- 3 + 5 + 2) : (-2) = -2
b) (+3 – 1)² - 15 = -11
c) (-2)³ - (-1 + 2)⁵ = -9
d) 40 : (-1)⁹ + (-2)³ - 12 = -60
e) 10 – [5 – (-2) + (-1)] = 4
f) 2 – { 3 + [ 4 – (1 – 2) + 3 ] – 4} = -5
g) 15 – [ (-5)² - (10 - 2³ ) ] = -8
h) 13 – [(-2) – (-7) + (+3)² ] = -1
i) 7² - [ 6 – (-1)⁵ - 2²] = 46
j) 2³ - [(-16) : (+2) – (-1)⁵] = 15
k) 50 : { -5 + [ -1 –(-2)⁵ : (-2)³ ]} = -5

7) Calcule o valor das expressões:

a) 10 + (-3)² = 19
b) (-4)² - 3 = 13
c) 1 + (-2)³ = -7
d) -2 + (-5)² = 23
e) (-2)² + (-3)³ = -23
f) 15 + (-1)⁵ - 2 = 12g) (-9)² -2 – (-3) = 82
h) 5 + (-2)³ + 6 = 3

8) Calcule o valor das expressões:

a) 5 – { +3 – [(+2)² -(-5)² + 6 – 4 ]} = -17
b) 15 – { -3 + [(5 – 6)² . (9 -8 ) ² + 1]} = 16
c) 18 – { 6 – [ -3 – (5 – 4) – (7- 9)³ ] – 1 } = 17
d) -2 + { -5 –[ -2 – (-2)³ - 3- (3 -2 )⁹ ] + 5 } = -4
e) 4 – {(-2)² . (-3) – [ -11 + (-3) . (-4)] – (-1)} = 16

Exercícios em forma de teste:

1) O resultado de (-1001)² é:
a) 11 011
b) -11 011
c) 1 002 001 X
d) -1 002 001

2) O valor da expressão 2⁰ - 2¹ - 2² é:

a) -4
b) -5 x
c) 8
d) 0

3) O valor da expressão (-10)² - 10² é:

a) 0 x
b) 40
c) -20
d) -40

4) O valor da expressão √16 - √4 é

a) 2 x
b) 4
c) 6
d) 12

5) O valor da expressão 10 + √9 – 1 é:

a) 14
b) 18
c) 12 x
d) 20

6) O valor da expressão (-4)⁴ - (-4) é :

a) 20
b) -20
c) 252
d) 260 x
7) O valor da expressão (-2)⁴ + (-9)⁰ - (-3)² é :

a) 8 x
b) 12
c) 16
d) -26

8) O valor da expressão (-7)² + (+3) . (-4) – (-5) é :

a) 7
b) 37
c) 42 x
d) 47

9) A expressão (-7)¹⁰ : (-7)⁵ é igual a:

a) (-7)⁵ x
b) (-7)²
c) (-7)¹⁵
d) (-1)²

10) O valor da expressão –[-2 + (-1) . (-3)]² é :

a) -1 x
b) -4
c) 1
d) 4

11) O valor da expressão numérica -4² + (3 -5) . (-2)³ + 3² - (-2)⁴ é

a) 7
b) 8
c) 15
d) -7 x

domingo, 17 de maio de 2009

01-NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS


INTRODUÇÃO:

Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é possivel

exemplos:

a) 5 - 3 = 2 (possível: 2 é um número natural)
b) 9 - 9 = 0 ( possível: 0 é um número natural)
c) 3 - 5 = ? ( impossível nos números naturais)

Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros relativos,

-1, -2, -3,.........

lê-se: menos um ou 1 negativo
lê-se: menos dois ou dois negativo
lê-se: menos três ou três negativo

Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos numeros inteiros relativos, que será representado por Z.

Z = { .....-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,......}

Importante: os números inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal de +.

exemplo

a) +7 = 7
b) +2 = 2
c) +13 = 13
d) +45 = 45

Sendo que o zero não é positivo nem negativo

EXERCICIOS

1) Observe os números e diga:

-15, +6, -1, 0, +54, +12, -93, -8, +23, -72, +72

a) Quais os números inteiros negativos?
R: -15,-1,-93,-8,-72

b) Quais são os números inteiros positivos?
R: +6,+54,+12,+23,+72

2) Qual o número inteiro que não é nem positivo nem negativo?
R: É o zero

3) Escreva a leitura dos seguintes números inteiros:

a) -8 =(R: oito negativo)
b)+6 = (R: seis positivo)
c) -10 = (R: dez negativo)
d) +12 = (R: doze positivo)
e) +75 = (R: setenta e cinco positivo)
f) -100 = (R: cem negativo)

4) Quais das seguintes sentenças são verdadeiras?

a) +4 = 4 = ( V)
b) -6 = 6 = ( F)
c) -8 = 8 = ( F)
d) 54 = +54 = ( V)
e) 93 = -93 = ( F )


5) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números positivos e as temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a seguinte situação com números inteiros relativos:

a) 5° acima de zero = (R: +5)
b) 3° abaixo de zero = (R: -3)
c) 9°C abaixo de zero= (R: -9)
d) 15° acima de zero = ( +15)



REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA

Vamos traçar uma reta e marcar o ponto 0. À direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida, assinalemos os pontos que correspondem aos números positivos e à esquerda de 0, com a mesma unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos números negativos.



_I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6

exercícios

1) Escreva os números inteiros:

a) compreendidos entre 1 e 7 (R: 2,3,4,5,6)
b) compreendidos entre -3 e 3 (R: -2,-1,0,1,2)
c) compreendidos entre -4 e 2 ( R: -3, -2, -1, 0, 1)
d) compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3 )
e) compreendidos entre -5 e -1 ( R: -4, -3, -2)
f) compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1)

2) Responda:

a) Qual é o sucessor de +8? (R: +9)
b) Qual é o sucessor de -6? (R: -5)
c) Qual é o sucessor de 0 ? (R: +1)
d) Qual é o antecessor de +8? (R: +7)
e) Qual é o antecessor de -6? ( R: -7)
f) Qual é o antecessor de 0 ? ( R: -1)

3) Escreva em Z o antecessor e o sucessor dos números:

a) +4 (R: +3 e +5)
b) -4 (R: -5 e - 3)
c) 54 (R: 53 e 55 )
d) -68 (R: -69 e -67)
e) -799 ( R: -800 e -798)
f) +1000 (R: +999 e + 1001)



NÚMEROS OPOSTOS E SIMÉTRICOS

Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma distancia do zero.


-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6


Observe que cada número inteiro, positivo ou negativo, tem um correspondente com sinais deferentes

exemplo

a) O oposto de +1 é -1.
b) O oposto de -3 é +3.
c) O oposto de +9 é -9.
d) O oposto de -5 é +5.

Obsevação: O oposto de zero é o próprio zero.

EXERCÍCIOS

1) Determine:

a) O oposto de +5 = (R:-5)
b) O oposto de -9 = (R: +9)
c) O oposto de +6 = (R: -6)
d) O oposto de -6 = (R: +6)
e) O oposto de +18 = (R: -18)
f) O oposto de -15 = (R: +15)
g) O oposto de +234= (R: -234)
h) O oposto de -1000 = (R: +1000)



COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS ,

Observe a representação gráfica dos números inteiros na reta.

-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6


Dados dois números quaisquer, o que está à direita é o mair deles, e o que está à esquerda, o menor deles.

exemplos

a) -1 maior; -4, poque -1 está à direita de -4.
b) +2 maior; -4, poque +2 está a direita de -4
c) -4 menor -2 , poque -4 está à esquerda de -2.
d) -2 menor +1, poque -2 está à esquerda de +1.

exercicios

1) Qual é o número maior ?

a) +1 ou -10 (R:+1)
b) +30 ou 0 (R: +30)
c) -20 ou 0 ( R: 0)
d) +10 ou -10 (R: +10)
e) -20 ou -10 (R: -10)
f) +20 ou -30 (R: +20)
g) -50 ou +50 (R:+50)
h) -30 ou -15 (R:-15)

2) compare os seguites pares de números, dizendo se o primeiro é maior, menor ou igual

a) +2 e + 3 (menor)
b) +5 e -5 (maior)
c) -3 e +4 (nenor)
d) +1 e -1 (maior)
e) -3 e -6 ( maior)
f) -3 e -2 (menor)
g) -8 e -2 (menor)
h) 0 e -5 (maior)
i) -2 e 0 (nenor)
j) -2 e -4 (maior)
l) -4 e -3 (menor)
m) 5 e -5 (maior)
n) 40 e +40 ( igual)
o) -30 e -10 (menor)
p) -85 e 85 (menor)
q) 100 e -200 (maior)
r) -450 e 300 (menor)
s) -500 e 400 (menor)

3) coloque os números em ordem crescente.

a) -9,-3,-7,+1,0 (R: -9,-7,-3,0,1)
b) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2)
c) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20)
d) 25,-3,-18,+15,+8,-9 (R: -18,-9,-3,+8,+15,+25)
e) +60,-21,-34,-105,-90 ( R: -105,-90,-34,-21, +60)
f) -400,+620,-840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)

4) Coloque os números em ordem decrescente

a) +3,-1,-6,+5,0 (R: +5,+3,0,-1,-6)
b) -4,0,+4,+6,-2 ( R: +6,+4,0,-2,-4)
c) -5,1,-3,4,8 ( R: 8,4,1,-3,-5)
d) +10,+6,-3,-4,-9,+1 (R: +10,+6,+1,-3,-4,-9)
e) -18,+83,0,-172, -64 (R: +83,0,-18,-64,-172)
f) -286,-740, +827,0,+904 (R: +904,+827,0,-286,-740)





ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS


ADIÇÃO



1) Adição de números positivos


A soma de dois números positivos é um número positivo.

EXEMPLO

a) (+2) + (+5) = +7
b) (+1) + (+4) = +5
c) (+6) + (+3) = +9

Simplificando a maneira de escrever

a) +2 +5 = +7
b) +1 + 4 = +5
c) +6 + 3 = +9

Observe que escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parêteses das parcelas.



2) Adição de números negativos


A soma de dois numeros negativos é um número negativo

Exemplo

a) (-2) + (-3) = -5
b) (-1) + (-1) = -2
c) (-7) + (-2) = -9

Simplificando a maneira de escrever

a) -2 - 3 = -5
b) -1 -1 = -2
c) -7 - 2 = -9

Observe que podemos simplificar a maneira de escrever deixando de colocar o sinal de + na operação e eliminando os parênteses das parcelas.

EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) +5 + 3 = (R:+8)
b) +1 + 4 = (R: +5)
c) -4 - 2 = (R: -6)
d) -3 - 1 = (R: -4)
e) +6 + 9 = (R: +15)
f) +10 + 7 = (R: +17)
g) -8 -12 = (R: -20)
h) -4 -15 = (R: -19)
i) -10 - 15 = (R: -25)
j) +5 +18 = (R: +23)
l) -31 - 18 = (R: -49)
m) +20 +40 = (R: + 60)
n) -60 - 30 = (R: -90)
o) +75 +15 = (R: +90)
p) -50 -50 = (R: -100)

2) Calcule:

a) (+3) + (+2) = (R: +5)
b) (+5) + (+1) = (R: +6)
c) (+7) + ( +5) = (R: +12)
d) (+2) + (+8) = (R: +10)
e) (+9) + (+4) = (R: +13)
f) (+6) + (+5) = (R: +11)
g) (-3) + (-2) = (R: -5)
h) (-5) + (-1) = (R: -6)
i) (-7) + (-5) = (R: -12)
j) (-4) + (-7) = (R: -11)
l) (-8) + ( -6) = (R: -14)
m) (-5) + ( -6) = (R: -11)

3) Calcule:

a) ( -22) + ( -19) = (R: -41)
b) (+32) + ( +14) = (R: +46)
c) (-25) + (-25) = (R: -50)
d) (-94) + (-18) = (R: -112)
e) (+105) + (+105) = (R: +210)
f) (-280) + (-509) = (R: -789)
g) (-321) + (-30) = (R: -350)
h) (+200) + (+137) = (R: +337)

3) Adição de números com sinais diferentes

A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos, dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto.

exemplos

a) (+6) + ( -1) = +5
b) (+2) + (-5) = -3
c) (-10) + ( +3) = -7

simplificando a maneira de escrever

a) +6 - 1 = +5
b) +2 - 5 = -3
c) -10 + 3 = -7

Note que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor absoluto

Observação:

Quando as parcelas são números opostos, a soma é igual a zero.

Exemplo

a) (+3) + (-3) = 0
b) (-8) + (+8) = 0
c) (+1) + (-1) = 0

simplificando a maneira de escrever

a) +3 - 3 = 0
b) -8 + 8 = 0
c) +1 - 1 = 0

4) Um dos numeros dados é zero

Quando um dos números é zero , a soma é igual ao outro número.

exemplo

a) (+5) +0 = +5
b) 0 + (-3) = -3
c) (-7) + 0 = -7

Simplificando a maneira de escrever

a) +5 + 0 = +5
b) 0 - 3 = -3
c) -7 + 0 = -7

exercícios

1) Calcule:

a) +1 - 6 = -5
b) -9 + 4 = -5
c) -3 + 6 = +3
d) -8 + 3 = -5
e) -9 + 11 = +2
f) +15 - 6 = +9
g) -2 + 14 = +12
h) +13 -1 = +12
i) +23 -17 = +6
j) -14 + 21 = +7
l) +28 -11 = +17
m) -31 + 30 = -1

2) Calcule:

a) (+9) + (-5) = +4
b) (+3) + (-4) = -1
c) (-8) + (+6) = -2
d) (+5) + (-9) = -4
e) (-6) + (+2) = -4
f) (+9) + (-1) = +8
g) (+8) + (-3) = +5
h) (+12) + (-3) = +9
i) (-7) + (+15) = +8
j) (-18) + (+8) = -10
i) (+7) + (-7) = 0
l) (-6) + 0 = -6
m) +3 + (-5) = -2
n) (+2) + (-2) = 0
o) (-4) +10 = +6
p) -7 + (+9) = +2
q) +4 + (-12) = -8
r) +6 + (-4) = +2


PROPRIEDADE DA ADIÇÃO

1) Fechamento : a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro

exemplo (-4) + (+7) =( +3)

2) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma.

exemplo: (+5) + (-3) = (-3) + (+5)

3) Elemento neutro: o número zero é o elemento neutro da adição.

exemplo: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8

4) Associativa: na adição de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.

exemplo: [(+8) + (-3) ] + (+4) = (+8) + [(-3) + (+4)]

5) Elemento oposto: qualquer número inteiro admite um simétrico ou oposto.

exemplo: (+7) + (-7) = 0


ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS


Para obter a soma de três ou mais números adicionamos os dois primeiros e, em seguida, adicionamos esse resultado com o terceiro, e assim por diante.

exemplos

1) -12 + 8 - 9 + 2 - 6 =
= -4 - 9 + 2 - 6 =
= -13 + 2 - 6 =
= -11 - 6 =
= -17

2) +15 -5 -3 +1 - 2 =
= +10 -3 + 1 - 2 =
= +7 +1 -2 =
= +8 -2 =
= +6

Na adição de números inteiros podemos cancelar números opostos, poque a soma deles é zero.


INDICAÇÃO SIMPLIFICADA


a) podemos dispensar o sinal de + da primeira parcela quando esta for positiva.


exemplos


a) (+7) + (-5) = 7 - 5 = +2

b) (+6) + (-9) = 6 - 9 = -3




b) Podemos dispensar o sinal + da soma quando esta for positiva


exemplos


a) (-5) + (+7) = -5 + 7 = 2

b) (+9) + (-4) = 9 - 4 = 5




EXERCÍCIOS


1) Calcule


a) 4 + 10 + 8 = (R: 22)
b) 5 - 9 + 1 = (R: -3)
c) -8 - 2 + 3 = (R: -7)
d) -15 + 8 - 7 = (R: -14)
e) 24 + 6 - 12 = (R:+18)
f) -14 - 3 - 6 - 1 = (R: -24)
g) -4 + 5 + 6 + 3 - 9 = (R: + 1)
h) -1 + 2 - 4 - 6 - 3 - 8 = (R: -20)
i) 6 - 8 - 3 - 7 - 5 - 1 + 0 - 2 = (R: -20)
j) 2 - 10 - 6 + 14 - 1 + 20 = (R: +19)
L) -13 - 1 - 2 - 8 + 4 - 6 - 10 = (R: -36)


2) Efetue, cancelando os números opostos:


a) 6 + 4 - 6 + 9 - 9 = (R: +4)
b) -7 + 5 - 8 + 7 - 5 = (R: -8)
c) -3 + 5 + 3 - 2 + 2 + 1 = (R: +6)
d) -6 + 10 + 1 - 4 + 6= (R: +7)
e) 10 - 6 + 3 - 3 - 10 - 1 = (R: -7)
f) 15 - 8 + 4 - 4 + 8 - 15 = (R: 0)


3) Coloque em forma simplificada ( sem parênteses)


a) (+1) + (+4) +(+2) = (R: 1 +4 + 2)
b) (+1) + (+8) + (-2) = (R: 1 + 8 - 2)
c) (+5) +(-8) + (-1) = (R: +5 - 8 - 1)
d) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -6 - 2 + 1)


4) Calcule:


a) (-2) + (-3) + (+2) = (R: -3)
b) (+3) + (-3) + (-5) = (R: -5)
c) (+1) + (+8) +(-2) = (R: +7 )
d) (+5) + (-8) + (-1) = (R: -4)
e) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -7)
f) (-8) + ( +6) + (-2) = (R: -4)
g) (-7) + 6 + (-7) = (R: -8)
h) 6 + (-6) + (-7) = (R: -7)
i) -6 + (+9) + (-4) = (R: -1)
j) (-4) +2 +4 + (+1) = (R: +3)


5) Determine as seguintes somas


a) (-8) + (+10) + (+7) + (-2) = (R: +7)
b) (+20) + (-19) + (-13) + (-8) = (R: -20)
c) (-5) + (+8) + (+2) + (+9) = (R: +14)
d) (-1) + (+6) + (-3) + (-4) + (-5) = (R: -7)
e) (+10) + (-20) + (-15) + (+12) + (+30) + (-40) = (R: -23)


6) Dados os números x= 6, y = 5 e z= -6, calcule


a) x + y = (R: +11)
b) y + z = (R: -4)
c) x + z = (R: -3)



SUBTRAÇÃO



A operação de subtração é uma operação inversa à da adição


Exemplos


a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = = +4
b) (-6) - (+9) = (-6) + (-9) = -15
c) (+5) - (-2) = ( +5) + (+2) = +7


Conclusão: Para subtraimos dois números relativos, basta que adicionemos ao primeiro o oposto do segundo.


Observação: A subtração no conjunto Z tem apenas a propriedade do fechamento ( a subtração é sempre possivel)



ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES PRECEDIDOS DE SINAL NEGATIVO


Para facilitar o cálculo, eliminamos os parênteses usando o segnificado do oposto

veja:

a) -(+8) = -8 (significa o oposto de +8 é -8 )

b) -(-3) = +3 (significa o oposto de -3 é +3)

analogicamente:

a) -(+8) - (-3) = -8 +3 = -5

b) -(+2) - (+4) = -2 - 4 = -6

c) (+10) - (-3) - +3) = 10 + 3 - 3 = 10

conclusão: podemos eliminar parênteses precedidos de sinal negativo trocando-se o sínal do número que está dentro dos parênteses.

EXERCÍCIOS

1) Elimine os parênteses

a) -(+5) = -5
b) -(-2) = +2
c) - (+4) = -4
d) -(-7) = +7
e) -(+12) = -12
f) -(-15) = +15
g) -(-42) = +42
h) -(+56) = -56

2) Calcule:

a) (+7) - (+3) = (R: +4)
b) (+5) - (-2) = (R: +7)
c) (-3) - ( +8) = (R: -11)
d) (-1) -(-4) = (R: +3)
e) (+3) - (+8) = (R: -5)
f) (+9) - (+9) = (R: 0 )
g) (-8) - ( +5) = (R: -13)
h) (+5) - (-6) = (R: +11)
i) (-2) - (-4) = (R: +2)
j) (-7) - (-8) = (R: +1)
l) (+4) -(+4) = (R: 0)
m) (-3) - ( +2) = (R: -5)
n) -7 + 6 = (R: -1)
o) -8 -7 = (R: -15)
p) 10 -2 = (R: 8)
q) 7 -13 = (R: -6)
r) -1 -0 = (R: -1)
s) 16 - 20 = (R: -4)
t) -18 -9 = (R: -27)
u) 5 - 45 = (R:-40)
v) -15 -7 = (R: -22)
x) -8 +12 = (R: 4)
z) -32 -18 = (R:-50)

3) Calcule:

a) 7 - (-2) = (R: 9)
b) 7 - (+2) = (R: 5)
c) 2 - (-9) = (R: 11)
d) -5 - (-1) = (R: -4)
e) -5 -(+1) = (R: -6)
f) -4 - (+3) = (R: -7)
g) 8 - (-5) = (R: 13)
h) 7 - (+4) = (R: 3)
i) 26 - 45 = (R: -19)
j) -72 -72 = (R: -144)
l) -84 + 84 = (R: 0)
m) -10 -100 = (R: -110)
n) -2 -4 -1 = (R: -7)
o) -8 +6 -1 = (R: -3)
p) 12-7 + 3 = (R: 8)
q) 4 + 13 - 21 = (R: -4)
r) -8 +8 + 1 = (R: 1)
s) -7 + 6 + 9 = (R: 8)
t) -5 -3 -4 - 1 = (R: -13)
u) +10 - 43 -17 = (R: -50)
v) -6 -6 + 73 = (R: 61)
x) -30 +30 - 40 = (R: -40)
z) -60 - 18 +50 = (R: -28)



4) Calcule:

a) (-4) -(-2)+(-6) = (R: -8)
b) (-7)-(-5)+(-8) = (R: -10)
c) (+7)-(-6)-(-8) = (R: 21)
d) (-8) + (-6) -(+3) = (R: -17)
e) (-4) + (-3) - (+6) = (R: -13)
f) 20 - (-6) - (-8) = (R: 34)
g) 5 - 6 - (+7) + 1 = (R: -7)
h) -10 - (-3) - (-4) = (R: -3)
i) (+5) + (-8) = (R: -3)
j) (-2) - (-3) = (R: +1)
l) (-3) -(-9) = (R: +6)
m) (-7) - (-8) =(R: +1)
n) (-8) + (-6) - (-7) = (R: -7)
o) (-4) + (-6) + (-3) = (R: -13)
p) 15 -(-3) - (-1) = (R: +19)
q) 32 - (+1) -(-5) = (R: +36)


5) Calcule:

a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (R: -9)
b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9)
c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0)
d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12)
e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13)
f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 )
g) -2 + (-1) -6 = (R: -9)
h) -(+7) -4 -12 = (R: -23)
i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 )
j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50)
l) -50 - (+7) -43 = (R: -100)
m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4)
n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) = (R: 11)
o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 = (R: 10)
p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40)
q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11)
r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 = (R: 20)


ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES

1) parenteses precedidos pelo sinal +

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede, devemos conservar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

a) + (-4 + 5) = -4 + 5

b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7

2) Parênteses precedidos pelo sinal -

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de - que os precede, devemos trocar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

a) -(4 - 5 + 3) = -4 + 5 -3

b) -(-6 + 8 - 1) = +6 -8 +1

EXERCICIOS

1) Elimine os parênteses:

a) +(-3 +8) = (R: -3 + 8)
b) -(-3 + 8) = (R: +3 - 8)
c) +(5 - 6) = (R: 5 -6 )
d) -(-3-1) = (R: +3 +1)
e) -(-6 + 4 - 1) = (R: +6 - 4 + 1)
f) +(-3 -2 -1) = (R: -3 -2 -1 )
g) -(4 -6 +8) = (R: -4 +6 +8)
h) + (2 + 5 - 1) = (R: +2 +5 -1)

2) Elimine os parênteses e calcule:

a) + 5 + ( 7 - 3) = (R: 9)
b) 8 - (-2-1) = (R: 11)
c) -6 - (-3 +2) = (R: -5)
d) 18 - ( -5 -2 -3 ) = (R: 28)
e) 30 - (6 - 1 +7) = (R: 18)
f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4) = (R: 3)
g) 4 + (3 - 5) + ( -2 -6) = (R: -8)
h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10) = (R: 13)
i) 20 - (-6 +8) - (-1 + 3) = (R: 16)
j) 35 -(4-1) - (-2 + 7) = (R: 27)

3) Calcule:

a) 10 - ( 15 + 25) = (R: -30)
b) 1 - (25 -18) = (R: -6)
c) 40 -18 - ( 10 +12) = (R: 0)
d) (2 - 7) - (8 -13) = (R: 0 )
e) 7 - ( 3 + 2 + 1) - 6 = (R: -5)
f) -15 - ( 3 + 25) + 4 = (R: -39)
g) -32 -1 - ( -12 + 14) = (R: -35)
h) 7 + (-5-6) - (-9 + 3) = (R: 2)
i) -(+4-6) + (2 - 3) = (R: 1)
j) -6 - (2 -7 + 1 - 5) + 1 = (R: 4)

EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

Lembre-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem:

1°) PARÊNTESES ( ) ;

2°) COLCHETES [ ] ;

3°) CHAVES { } .

Exemplos:

1°) exemplo

8 + ( +7 -1 ) - ( -3 + 1 - 5 ) =
8 + 7 - 1 + 3 - 1 + 5 =
23 - 2 = 21

2°) exemplo

10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6 ) ] =
10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] =
10 - 3 + 1 + 2 - 6 =
13 - 9 =
= 4

3°) exemplo

-17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]} =
-17 + { +5 - [ +2 + 6 - 9]} =
-17 + { +5 - 2 - 6 + 9 } =
-17 +5 - 2 - 6 + 9 =
-25 + 14 =
= - 11

EXERCICIOS

a) Calcule o valor das seguintes expressões :

1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (R: 17)
2) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) = (R: 20 )
3) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) = (R: 15)
4) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) = (R: 17)
5) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 )
6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] = (R: -5)
7) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4)
8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21)
9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26)
10) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } = (R: -2)
11) 3 - { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18)
12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] } = (R: -20)
13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] } = (R: -29)
14) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 )
15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33)
16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1)
17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7 - 3) - 2] + 6 } = (R: 3 )
18) -{ -2 - [ -3 - (-5) + 1 ]} - 18 = (R: -13)
19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12 - 6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15)
20) {[( -50 -10) + 11 + 19 ] + 20 } + 10 = (R: 0 )


MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

MULTIPLICAÇÃO


1) multiplicação de dois números de sinais iguais

observe o exemplo

a) (+5) . (+2) = +10
b) (+3) . (+7) = +21
c) (-5) . (-2) = +10
d) (-3) . (-7) = +21


conclusão: Se os fatores tiverem sinais iguais o produto é positivo

2) Multiplicação de dois produtos de sinais diferentes

observe os exemplos

a) (+3) . (-2) = -6
b) (-5) . (+4) = -20
c) (+6) . (-5) = -30
d) (-1) . (+7) = -7

Conclusão : Se dois produtos tiverem sinais diferentes o poduto é negativo


Regra pratica dos sinais na multiplicação

SINAIS IGUAIS: o resultado é positivo +


a) (+) . (+) = (+)

b) (-) . (-) = (+)

SINAIS DIFERENTES: o resultado é negativo -

a) (+) . (-) = (-)

b) (-) . (+) = (-)



EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações

a) (+8) . (+5) = (R: 40)
b) (-8) . ( -5) = (R: 40)
c) (+8) .(-5) = (R: -40)
d) (-8) . (+5) = (R: -40)
e) (-3) . (+9) = (R: -27)
f) (+3) . (-9) = (R: -27)
g) (-3) . (-9) = (R: 27)
h) (+3) . (+9) = (R: 27)
i) (+7) . (-10) = (R: -70)
j) (+7) . (+10) = (R: 70)
l) (-7) . (+10) = (R: -70)
m) (-7) . (-10) = (R: 70)
n) (+4) . (+3) = (R: 12)
o) (-5) . (+7) = (R: -35)
p) (+9) . (-2) = (R: -18)
q) (-8) . (-7) = (R: 56)
r) (-4) . (+6) = (R: -24)
s) (-2) .(-4) = (R: 8 )
t) (+9) . (+5) = (R: 45)
u) (+4) . (-2) = (R: -8)
v) (+8) . (+8) = (R: 64)
x) (-4) . (+7) = (R: -28)
z) (-6) . (-6) = (R: 36)

2) Calcule o produto

a) (+2) . (-7) = (R: -14)
b) 13 . 20 = (R: 260)
c) 13 . (-2) = (R: -26)
d) 6 . (-1) = (R: -6)
e) 8 . (+1) = (R: 8)
f) 7 . (-6) = (R: -42)
g) 5 . (-10) = (R: -50)
h) (-8) . 2 = (R: -16)
i) (-1) . 4 = (R: -4)
j) (-16) . 0 = (R: 0)


MULTIPLICAÇAO COM MAIS DE DOIS NÚMEROS

Multiplicamos o primeiro número pelo segundo, o produto obtido pelo terceiro e assim sucessivamente, até o ultimo fator

exemplos

a) (+3) . (-2) . (+5) = (-6) . (+5) = -30

b) (-3) . (-4) . (-5) . (-6) = (+12) . (-5) . (-6) = (-60) . (-6) = +360


EXERCÍCIOS

1) Determine o produto:

a) (-2) . (+3) . ( +4) = (R: -24)
b) (+5) . (-1) . (+2) = (R: -10)
c) (-6) . (+5) .(-2) = (R: +60)
d) (+8) . (-2) .(-3) = (R: +48)
e) (+1) . (+1) . (+1) .(-1)= (R: -1)
f) (+3) .(-2) . (-1) . (-5) = (R: -30)
g) (-2) . (-4) . (+6) . (+5) = (R: 240)
h) (+25) . (-20) = (R: -500)
i) -36) .(-36 = (R: 1296)
j) (-12) . (+18) = (R: -216)
l) (+24) . (-11) = (R: -264)
m) (+12) . (-30) . (-1) = (R: 360)
2) Calcule os produtos

a) (-3) . (+2) . (-4) . (+1) . (-5) = (R: -120)
b) (-1) . (-2) . (-3) . (-4) .(-5) = (R: -120)
c) (-2) . (-2) . (-2) . (-2) .(-2) . (-2) = (R: 64)
d) (+1) . (+3) . (-6) . (-2) . (-1) .(+2)= (R: -72)
e) (+3) . (-2) . (+4) . (-1) . (-5) . (-6) = (R: 720)
f) 5 . (-3) . (-4) = (R: +60)
g) 1 . (-7) . 2 = (R: -14)
h) 8 . ( -2) . 2 = (R: -32)
i) (-2) . (-4) .5 = (R: 40)
j) 3 . 4 . (-7) = (R: -84)
l) 6 .(-2) . (-4) = (R: +48)
m) 8 . (-6) . (-2) = (R: 96)
n) 3 . (+2) . (-1) = (R: -6)
o) 5 . (-4) . (-4) = (R: 80)
p) (-2) . 5 (-3) = (R: 30)
q) (-2) . (-3) . (-1) = (R:-6)
r) (-4) . (-1) . (-1) = (R: -4)


3) Calcule o valor das expressões:

a) 2 . 3 - 10 = (R: -4)
b) 18 - 7 . 9 = (R: -45)
c) 3. 4 - 20 = (R: -8)
d) -15 + 2 . 3 = (R: -9)
e) 15 + (-8) . (+4) = (R: -17)
f) 10 + (+2) . (-5) = (R: 0 )
g) 31 - (-9) . (-2) = (R: 13)
h) (-4) . (-7) -12 = (R: 16)
i) (-7) . (+5) + 50 = (R: 15)
j) -18 + (-6) . (+7) = (R:-60)
l) 15 + (-7) . (-4) = (R: 43)
m) (+3) . (-5) + 35 = (R: 20)

4) Calcule o valor das expressões

a) 2 (+5) + 13 = (R: 23)
b) 3 . (-3) + 8 = (R: -1)
c) -17 + 5 . (-2) = (R: -27)
d) (-9) . 4 + 14 = (R: -22)
e) (-7) . (-5) - (-2) = (R: 37)
f) (+4) . (-7) + (-5) . (-3) = (R: -13)
g) (-3) . (-6) + (-2) . (-8) = (R: 34)
h) (+3) . (-5) - (+4) . (-6) = (R: 9)

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

1) Fechamento: o produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

exemplo: (+2) . (-5) = (-10)

2) Comultativa: a ordem dos fatores não altera o produto.

exemplo: (-3) . (+5) = (+5) . (-3)

3) Elemento Neutro: o número +1 é o elemento neutro da multiplicação.

Exemplos: (-6) . (+1) = (+1) . (-6) = -6

4) Associativa: na multiplicação de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.

exemplo: (-2) . [(+3) . (-4) ] = [ (-2) . (+3) ] . (-4)

5) Distributiva

exemplo: (-2) . [(-5) +(+4)] = (-2) . (-5) + (-2) . (+4)




DIVISÃO


Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação

Observe:

a) (+12) : (+4) = (+3) , porque (+3) . (+4) = +12
b) (-12) : (-4) = (+3) , porque (+3) . (-4) = -12
c) (+12) : (-4) = (-3) , porque (-3) . (-4) = +12
d) (-12) : (+4) = (-3), porque (-3) . (+4) = -12



REGRA PRÁTICA DOS SINAIS NA DIVISÃO

As regras de sinais na divisão é igual a da multiplicação:

SINAIS IGUAIS: o resultado é +

(+) : (+) = (+)

(-) : (-) = (-)

SINAIS DIFERENTES : o resultado é -

(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)


EXERCÍCIOS

1) Calcule o quocientes:

a) (+15) : (+3) = (R: 5 )
b) (+15) : (-3) = (R: -5)
c) (-15) : (-3) = (R: 5)
d) (-5) : (+1) = (R: -5)
e) (-8) : (-2) = (R: 4)
f) (-6) : (+2) = (R: -3)
g) (+7) : (-1) = (R: -7)
h) (-8) : (-8) = (R: 1)
f) (+7) : (-7) = (R: -1)

2) Calcule os quocientes

a) (+40) : (-5) = (R: -8)
b) (+40) : (+2) = (R: 20)
c) (-42) : (+7) = (R: -6)
d) (-32) : (-8)= (R: 4)
e) (-75) : (-15) = (R: 5)
f) (-15) : (-15) = (R: 1)
g) (-80) : (-10) = (R: 8)
h) (-48 ) : (+12) = (R: -4)
l) (-32) : (-16) = (R: 2)
j) (+60) : (-12) = (R: -5)
l) (-64) : (+16) = (R: -4)
m) (-28) : (-14) = (R: 2)
n) (0) : (+5) = (R: 0)
o) 49 : (-7) = (R: -7)
p) 48 : (-6) = (R: -8)
q) (+265) : (-5) = (R: -53)
r) (+824) : (+4) = (R: 206)
s) (-180) : (-12) = (R: 15)
t) (-480) : (-10) = (R: 48)
u) 720 : (-8) = (R: -90)
v) (-330) : 15 = (R: -22)



3) Calcule o valor das expressões

a) 20 : 2 -7 = (R: 3 )
b) -8 + 12 : 3 = (R: -4)
c) 6 : (-2) +1 = (R: -2)
d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5)
e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12)
f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35)
g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8)
h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10)
i) -14 + 42 : 3 = (R: 0)
j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11)
l) (-12) 3 + 6 = (R: 2)
m) (-54) : (-9) + 2 = (R: 8)
n) 20 + (-10) . (-5) = (R: 70)
o) (-1) . (-8) + 20 = (R: 28 )
p) 4 + 6 . (-2) = (R: -8)
q) 3 . (-7) + 40 = (R: 19)
r) (+3) . (-2) -25 = (R: -31)
s) (-4) . (-5) + 8 . (+2) = (R: 36)
t) 5: (-5) + 9 . 2 = (R: 17)
u) 36 : (-6) + 5 . 4 = (R: 14)
http://jmpmat13.blogspot.com/

GEOMETRIA

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves www.accbarrosogestar.wordpress.com

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com

extraído do http://jmp25.blogspot.com

GEOMETRIA

A geometria, assim como as ciências,nasceu das necessidades e das observações do homem.
Os conhecimentos geométricos começaram a ser utilizados muitos séculos antes de Cristo. No Egito, por exemplo as cheias anuais do rio Nilo destruíam as cercas que demarcavam os campos de plantação. Quando as águas voltavam ao nível normal os escribas egípcios dividiam novamente as terras, baseando-se em registros feitos antes das cheias.
Foi a partir de procedimentos como esse dos egípcios que nasceu a geometria experimental. Também a origem da palavra geometria.
Os gregos que amavam o saber, fizeram muitas descobertas a respeito de figuras geométricas. Com eles nasceu, também , a geometria dedutiva



PONTO, RETA E PLANO

A geometria é construída a partir de três idéias: ponto, reta e plano. Os matemáticos aceitam essas idéias sem tentar explicá-las.

Você já tem idéia intuitiva sobre ponto, reta e plano. Assim:
Um furo de agulha num papel dá idéia de ponto.
Uma corda bem esticada dá idéia de reta.
O quadro-negro da sala de aula de aula dá idéia de plano.

O ponto, a reta e o plano são conceitos primitivos no estudo de Geometria, isto é, não possuem definição.



























FIGURA GEOMÉTRICA
- Toda figura é um conjunto de pontos.

- Figura geométrica plana é uma figura que todos os seus pontos estão num mesmo plano.
exemplos: retângulo, circunferência , quadrado

- Figura geométrica espacial é uma figura em que os seus pontos não pertencem a um mesmo plano.


EXERCÍCIOS

1) Quais são os elementos fundamentais da geometria?
R: ponto, reta e plano

2) Que idéia (ponto, reta ou plano) você tem quando observa:

a) A cabeça de um alfinete. (ponto)
b) O piso da sala de aula (plano)
c) Uma corda de violão bem esticada (reta)
d) O encontro de duas paredes (plano)
e) Um grão de areia (ponto)
f) Um campo de futebol (plano)


POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO





























































































EXERCÍCIOS

A temperatura do ar

Temperatura do Ar

A temperatura do ar é medida por meio de termômetros. Os boletins meteorológicos costumam indicar as temperaturas máxima e mínima previstas para um determinado período.

O vapor de água presente no ar ajuda a reter calor. Assim verificamos que, em lugares mais secos, há menor retenção de calor na atmosfera e a diferença entre temperatura máxima e mínima é maior. Simplificando, podemos dizer que nesses locais pode fazer muito calor durante o dia, graças ao Sol, mas frio à noite como, por exemplo, nos desertos e na caatinga.



Roupas típicas de habitantes do deserto costumam ser de lã, um ótimo isolante térmico, que protege tanto do frio quanto do calor excessivo. Além disso, as roupas são bem folgadas no corpo, com espaço suficiente para criar o isolamento térmico.



Umidade do Ar

A umidade do ar diz respeito à quantidade de vapor de água presente na atmosfera - o que caracteriza se o ar é seco ou úmido - e varia de um dia para o outro. A alta quantidade de vapor de água na atmosfera favorece a ocorrência de chuvas. Já com a umidade do ar baixa, é difícil chover.

Quando falamos de umidade relativa, comparamos a umidade real, que é verificada por aparelhos como o higrômetro, e o valor teórico, estimado para aquelas condições. A umidade relativa pode variar de 0% (ausência de vapor de água no ar) a 100% (quantidade máxima de vapor de água que o ar pode dissolver, indicando que o ar está saturado).

Em regiões onde a umidade relativa do ar se mantém muito baixa por longos períodos, as chuvas são escassas. Isso caracteriza uma região de clima seco.

A atmosfera com umidade do ar muito alta é um fator que favorece a ocorrência de chuva. Quem mora, por exemplo em Manaus sabe bem disso. Com clima úmido, na capital amazonense o tempo é freqüentemente chuvoso.

Como já vimos, a umidade do ar muito baixa causa clima seco e escassez de chuvas.

De acordo com a OMS (Organização Mundial da Saúde), valores de umidade abaixo de 20% oferecem risco à saúde, sendo recomendável a suspensão de atividades físicas, principalmente das 10 às 15horas. A baixa umidade do ar, entre outros efeitos no nosso organismo pode provocar sangramento nasal, em função do ressecamento das mucosas.

No entanto, também é comum as pessoas não se sentirem bem em dias quentes e em lugares com umidade do ar elevada. Isso acontece porque, com o ar saturado de vapor de água, a evaporação do suor do corpo se torna difícil, inibindo a perda de calor. E nosso corpo se refresca quando o suor que eliminamos evapora, retirando calor da pele.



Nível pluviométrico/ quantidade de chuva

A quantidade de chuva é medida pelo pluviômetro. Nesse aparelho, a chuva é recolhida por um funil no alto de um tambor e medida em um cilindro graduado.

A quantidade de chuva é medida no pluviômetro em milímetros: um milímetro de chuva corresponde a 1 litro de água por metro quadrado. Quando se diz, por exemplo, que ontem o índice pluviométrico, ou da chuva, foi de 5 milímetros na cidade de Porto Alegre, significa que se a água dessa chuva tivesse sido recolhida numa piscina ou em qualquer recipiente fechado, teria se formado uma camada de água com 5 milímetros de altura.

Os meteorologistas dizem que a chuva é leve quando há precipitação de menos de 0,5mm em uma hora; ela é forte quando excede os 4mm.




Pressão atmosférica

A pressão atmosférica está relacionada à umidade do ar. Quanto mais seco estiver o ar, maior será o valor desta pressão.

A diminuição da pressão atmosférica indica aumento da umidade do ar, que, por sua vez, indica a possibilidade de chuva. A pressão atmosférica é medida pelo barômetro.
www.sobiologia.com.br

RESTOS

RESTOS

Para calcularmos o resto da divisão de um número N por um número p de critério de divisibilidade conhecido aplicamos esse
critério e subtraímos do valor encontrado o menor múltiplo de p imediatamente inferior a esse número.

Restos por 2

Se o número for ímpar ele deixará por 2 o resto 1, se for par ele será divisível por 2 e deixará, ao ser dividido por 2, o resto 0

Exemplo 01 : 123 deixa por 2 o resto 1, 1 065 deixa por 2 o resto 1, pois ambos terminam em números ímpares. 348 é divisível por 2 e
deixa portanto o resto 0 pois termina num algarismo par.

Restos por 3


Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 3 imediatamente inferior.

Exemplo 02 : 125 deixa por 3 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 3 ==> 1 + 2 + 5 = 8, o múltiplo de 3 imediatamente
inferior a 8 é 6. Com isso o resto da divisão de 125 por 3 será : 8 - 6 = 2

Exemplo 03 : 574 deixa por 3 o resto 1, já que pelo critério de divisibilidade por 3 ==> 5 + 7 + 4 = 16, o múltiplo de 3 imediatamente
inferior a 16 é 15. Com isso o resto da divisão de 574 por 3 será : 16 - 15 = 1

Restos por 4


Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 4 imediatamente inferior.

Exemplo 04 : 295 deixa por 4 o resto 3, já que pelo critério de divisibilidade por 4, os dois últimos algarismos de 295 formam o número
95, o múltiplo de 4 imediatamente inferior a 95 é 92. Com isso o resto da divisão de 295 por 4 será : 95 - 92 = 3

Exemplo 05 : 374 deixa por 4 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 4, os dois últimos algarismos de 374 formam o número
74, o múltiplo de 4 imediatamente inferior a 74 é 72. Com isso o resto da divisão de 374 por 4 será : 74 - 72 = 2

Restos por 5


Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 5 imediatamente inferior.

Exemplo 06 : 398 deixa por 5 o resto 3, já que pelo critério de divisibilidade por 5, o último algarismo de 398 é 8, o múltiplo de 5
imediatamente inferior a 8 é 5.

Com isso o resto da divisão de 398 por 5 será : 8 - 5 = 3

Exemplo 07 : 874 deixa por 5 o resto 4, já que pelo critério de divisibilidade por 5, o último algarismo de 874 é 4, o múltiplo de 5
imediatamente inferior a 4 é 0.

Com isso o resto da divisão de 874 por 5 será : 4 - 0 = 4

Restos por 6


Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 6 imediatamente inferior.

Exemplo 08 : 193 deixa por 6 o resto 4, já que pelo critério de divisibilidade por 6, a soma do sextuplo do algarismo das unidades
com o quádruplo da soma dos demais algarismos nos dá o número 6 X 3 + (1 + 9) X 4 = 58, o múltiplo de 6 imediatamente inferior a 58
é 54. Com isso o resto da divisão de 193 por 6 será : 58 - 54 = 4

Exemplo 09 : 384 deixa por 6 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 6, a soma do sextuplo do algarismo das unidades
com o quádruplo da soma dos demais algarismos nos dá o número : 6 X 4 + (3 + 8) X 4 = 68, o múltiplo de 6 imediatamente inferior a 68
é 66. Com isso o resto da divisão de 384 por 6 será : 68 - 66 = 2

Restos por 8


Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 8 imediatamente inferior.

Exemplo 10 : 1 357 deixa por 8 o resto 5 já que pelo critério de divisibilidade por 8, a soma do quádruplo do algarismo das centenas
adicionado ao dobro do algarismo das dezenas e adicionado ao algarismo das unidades nos dá o número: (4 X 3) + (2 X 5) + 7 = 29,
o múltiplo de 8 imediatamente inferior a 29 é 24. Com isso o resto da divisão de 1 357 por 8 será : 29 - 24 = 5

Exemplo 11 : 2 564 deixa por 8 o resto 4 já que pelo critério de divisibilidade por 8, a soma do quádruplo do algarismo das centenas
adicionado ao dobro do algarismo das dezenas e adicionado ao algarismo das unidades nos dá o número: (4 X 5) + (2 X 6) + 4 = 36,
o múltiplo de 8 imediatamente inferior a 36 é 32. Com isso o resto da divisão de 2 564 por 8 será : 36 - 32 = 4

Restos por 9


Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 9 imediatamente inferior.

Exemplo 12 : 321 deixa por 9 o resto 6, já que pelo critério de divisibilidade por 9
3 + 2 + 1 = 6, o múltiplo de 9 imediatamente inferior a 6 é 0. Com isso o resto da divisão de 321
por 9 será : 6 - 0 = 6

Exemplo 13 : 6 584 deixa por 9 o resto 5, já que pelo critério de divisibilidade por 9
6 + 5 + 8 + 4 = 23, o múltiplo de 9 imediatamente inferior a 23 é 18. Com isso o resto da
divisão de 6 584 por 9 será : 23 - 18 = 5

Restos por 10


Nesse caso não nos será necessário aplicarmos o critério de divisibilidade já que o resto da divisão de um número por 10 será sempre
o algarismo das unidades.

Exemplo 14 : 321 deixa por 10 o resto 1, 423 deixa por 10 o resto 3, 846 deixa por 10 o resto 6.

Restos por 11


Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 11 imediatamente inferior.

Exemplo 15 : 3 429 deixa por 11 o resto 8, já que pelo critério de divisibilidade por 11, um número é divisível por 11 quando a soma dos
algarismos de ordem ímpar Si diminuída da soma dos algarismos de ordem par Sp for um número inteiro divisível por 11.

Assim teremos : Si -> ( 9 + 4 ) = 13 e Sp -> ( 2 + 3 ) = 5 e Si - Sp = 8. Como o múltiplo de 11 imediatamente inferior a 8 é 0,
concluímos que o resto da divisão de 3 429 por 11 será : 8 - 0 = 8

Exemplo 16 : 538 146 deixa por 11 o resto 4, já que Si = 6 + 1 + 3 e Sp = 4 + 8 + 5 E a diferença Si - Sp = 10 - 17 = - 7 . Quando o
resultado obtido for um número inteiro negativo devemos acrescentar tantos "onzes" quantos forem necessários até que o tornemos
um número inteiro positivo compreendido entre 0 e 10 ( os restos possíveis numa divisão por 11 ) .

Assim teremos : - 7 + 11 = 4 e dessa forma concluímos que o resto da divisão de 538 146 por 11 será igual a 4 .

Se, por exemplo, encontrássemos pelo critério por 11 o número - 25 somaríamos - 25 + 11 + 11 + 11 = 8 e esse seria o resto procurado.

Restos de Expressões

Para calcularmos o resto da divisão de uma expressão aritmética N por um número p, de critério de divisibilidade conhecido,
aplicamos esse critério para cada um dos termos dessa expressão e calculamos com esses novos valores o valor dessa expressão.
A diferença entre esse número e o múltiplo imediatamente inferior de p nos dará o resto que o resultado N dessa expressão deixaria
por p.

Exemplo 17 : Que resto o resultado da expressão N = 32 875 + 7 238 x 148 304 deixa respectivamente por 3, 4, 5 e 11 ?

Por 3 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => 3 + 2 + 8 + 7 + 5 = 25 - 24 = 1 ; 7 231 => 7 + 2 + 3 + 8 = 20 - 18 = 2 e 1 + 4 + 8 + 3 + 0 + 4 = 20 - 18 = 2.
Com isso teremos : 1 + 2 X 2 = 1 + 4 = 5 e 5 - 3 = 2 e N deixa por 3 o resto 2

Por 4 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => 75 - 72 = 3 ; 7 231 => 31 - 28 = 3 e 148 304 => 04 - 04 = 0.
Com isso teremos : 3 + 3 X 0 = 3 + 0 = 3 e 3 - 0 = 3 e N deixa por 4 o resto 3

Por 5 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => 5 - 5 = 0 ; 7 231 => 1 - 0 = 1 e 148 304 => 4 - 0 = 4
Com isso teremos : 0 + 1 X 4 = 0 + 4 = 4 e 4 - 0 = 4 e N deixa por 5 o resto 4

Por 11 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :
32 875 => (5 + 8 + 3) - (7 + 2) = 16 - 9 = 7 ;
7 231 => (1 + 2) - (3 + 7) = 3 - 10 = - 7. tornando-o positivo temos - 7 + 11 = 4
148 304 => (4 + 3 + 4) - (0 + 8 + 1) = 11 - 9 = 2 ;
Com isso teremos : 7 + 4 X 2 = 7 + 8 = 15 e 15 - 11 = 4 e N deixa por 11 o resto 4

Exemplo 18 : Que resto o resultado da expressão P = 42 7933 x 73 2084 deixa por 9 ?
Aplicando o critério de 9 para cada um dos termos teremos :
42 793 => 4 + 2 + 7 + 9 + 3 = 25 - 18 = 7
73 208 => 7 + 3 + 2 + 0 + 8 = 20 - 18 = 2
Com isso teremos : 73 24 = 143 x 16 e reaplicando o critério por 9 teremos :
143 => 1 + 4 + 3 = 8 - 0 = 8 e 16 => 16 - 9 = 7 e finalizando :
8 x 7 = 56 que deixa por 9 o resto 56 - 54 = 2, então P deixa por 9 o resto 2

Restos de Potências "Exageradas"

Para calcularmos o resto da divisão de uma potência Ns, onde s é um número "exagerado", por um número p, de critério de
divisibilidade conhecido, aplicamos esse critério para a base N dessa potência e analisamos o comportamento que as potências
desse resto possuem ao serem divididas por p.

Exemplo 19 : Que resto a potência 23 983367 deixa por 5 ?

Calculemos, inicialmente, o resto da base 23 983 por 5 => 3 - 0 = 3

E agora analisemos como as potências de 3 se comportam numa divisão por 5

31 = 3 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 3
32 = 9 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 4
33 = 27 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 2
34 = 81 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 1
35 = 243 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 3
36 = 729 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 4
37 = 2 187 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 2
38 = 6 561 Que deixa, quando dividida por 5, o resto 1


Pela tabela percebemos que as potências de 3 quando divididas por 5 geram sucessiva e repetidamente 4 restos, respectivamente,
3, 4, 2 e 1. Com isso podemos concluir que o expoente 367 conterá 367 : 4 grupos completos dessas sucessões de restos e o resto
dessa divisão nos dará o resto que procuramos.

367 : 4 quociente 91 e resto 3 Dessa forma compreendemos que até chegarmos ao expoente 367 teremos formado 91 grupos
completos e mais 3 "sobrando"

Na prática o que faremos será igualarmos o resto 3, dessa divisão por 4, ao expoente 3 de nossa tabela original, com isso finalmente
podemos concluir que :

33 = 27 Que deixa quando dividido por 5 o resto 2

23 983367 deixa por 5 o resto 2

Exemplo 20 : Que resto a potência 275 3961345 deixa por 9 ?

Calculemos, inicialmente, o resto da base 275 396 por 9
275 396 por 9 2 + 7 + 5 + 3 + 9 + 6 = 32 e o resto será : 32 - 27 = 5

E agora analisemos como as potências de 5 se comportam numa divisão por 9

51 = 5 Que deixa, quando dividida por 9, o resto 5
52 = 25 Que deixa, quando dividida por 9, o resto 7
53 = 125 Que deixa, quando dividida por 9, o resto 8
54 = 40 * Que deixa, quando dividida por 9, o resto 4
55 = 20 * Que deixa, quando dividida por 9, o resto 2
56 = 10 * Que deixa, quando dividida por 9, o resto 1**


* Quando o cálculo das potências se torna muito trabalhoso aplicamos um "macete" bastante adequado
multiplicamos o último resto encontrado pelo primeiro resto.

Assim 54 último resto 8 X primeiro resto 5 = 40 que dá o resto 40 - 36 = 4
Assim 55 último resto 4 X primeiro resto 5 = 20 que dá o resto 20 - 18 = 2
Assim 56 último resto 2 X primeiro resto 5 = 10 que dá o resto 10 - 9 = 1

** Sempre que encontramos o resto 1 compreendemos que a partir daí a tabela se repetirá .

Pela tabela percebemos que as potências de 5 quando divididas por 9 geram sucessiva e repetidamente 6 restos, respectivamente,
5, 7, 8, 4, 2 e 1. Com isso podemos concluir que o expoente 1 345 conterá 1 345 : 6 grupos completos dessas sucessões de restos e
o resto dessa divisão nos dará o resto que procuramos.

1 345 : 6 quociente 227 e resto 3 Dessa forma compreendemos que até chegarmos ao expoente 1 345 teremos formado 227 grupos
completos e mais 3 "sobrando"

Na prática o que faremos será igualarmos o resto 3 dessa divisão por 6 ao expoente 3 de nossa tabela original, com isso finalmente
podemos concluir que :

53 = 125 Que deixa quando dividido por 9 o resto 8

275 3961345 deixa por 9 o resto 8

Exercícios Propostos

I - Determine na tabela abaixo os restos que os números deixam respectivamente por :

367 549 933 1 071 5 482 12 576 21 375 48 638 105 378 337 892
01) 2 . . . . . . . . . .
02) 3 . . . . . . . . . .
03) 4 . . . . . . . . . .
04) 5 . . . . . . . . . .
05) 8 . . . . . . . . . .
06) 9 . . . . . . . . . .
07) 10 . . . . . . . . . .
08) 11 . . . . . . . . . .


II - Qual o menor número que se deve adicionar ao número dado para que resulte um número divisível por :

127 328 439 777 903 1 203 3 456 7 843 10 131 47 867
09) 2 . . . . . . . . . .
10) 3 . . . . . . . . . .
11) 4 . . . . . . . . . .
12) 5 . . . . . . . . . .
13) 9 . . . . . . . . . .
14) 10 . . . . . . . . . .
15) 11 . . . . . . . . . .


III - Qual o menor número que se deve subtrair do número dado para que resulte um número divisível por :

231 345 507 659 908 1 231 3 785 7 333 17 994 67 562
16) 2 . . . . . . . . . .
17) 3 . . . . . . . . . .
18) 4 . . . . . . . . . .
19) 5 . . . . . . . . . .
20) 8 . . . . . . . . . .
21) 9 . . . . . . . . . .
22) 10 . . . . . . . . . .
23) 11 . . . . . . . . . .


24) Determine o resto que o resultado da expressão 12 450 + 45 876 X 23 887 deixa respectivamente por 2, 3, 4, 5, 9 e 11:

25) Determine o resto que o resultado da expressão 27 4962 X 5 6263 + 123 507 deixa respectivamente por 2, 3, 4, 5, 9 e 11:

26) Determine o menor valor de A na expressão 7 321 X 158 286 + A que torna o resultado respectivamente divisível por
3, 5, 9 e 10 :

27) Determine o menor valor de A na expressão 14 8754 + 8 2863 X A que torna o resultado respectivamente divisível por
3, 5, 8 e 11 :

28) Que resto a soma S de 5 números naturais e consecutivos deixa por 8, sabendo que o menor deles deixa por 8 o resto 5

29) Que resto a soma S de 7 números naturais e consecutivos deixa por 11, sabendo que o menor deles deixa por 11 o resto 9.

30) Que resto o produto P de 5 números naturais e consecutivos deixa por 7, sabendo que o maior deles deixa por 7 o resto 6

31) Que resto o produto P de 8 números naturais e consecutivos deixa por 10, sabendo que o maior deles deixa por 11 o resto 8.

32) A potência 578127 quando dividida por 3, 5 e 11 deixa, respectivamente, os restos :

33) A potência 1 672449, quando dividida por 4, 6 e 9 deixa, respectivamente, os restos :

34) Determine o resto da expressão 73 191342 X 5 476361 + 23 507769 deixa respectivamente por 2, 3, 5 e 11:

35) Determine o menor valor de A na expressão 16 045562 + 7 106345 X A que torna o resultado respectivamente divisível por 3, 5 e 10 :

36) Se A e B deixam, quando divididos por 7, respectivamente, os restos 2 e 5. Que resto a expressão A11 X B12 deixará
quando dividida por 7 ?

37) Se A, B e C deixam, quando divididos por 9, respectivamente, os restos 3, 4 e 7. Que resto a expressão A21 X B35 X C17 deixará
quando dividida por 9 ?

38) Determine o menor valor do expoente n, na expressão : 125n + 2 439217 para que o resultado seja divisível por 11.

39) Sabendo que n é um número ímpar de dois algarismos, determine o menor valor do expoente n, na expressão :
4 675n + 6 134673 para que o resultado seja divisível por 9.

40) Determine na expressão 723 n + 2 739 2p, o menor valor de n + p, para que o resultado seja um número divisível por 5.

Questões de Concurso

41) ( EPCAR 2000 ) Seja um número m = 488a9b, onde "b" é o algarismo das unidades e "a" é o algarismo das centenas.
Sabe-se que m é divisível por 55, então o menor valor de a + b é igual a :

a) 2 b) 7 c) 10 d) 13


42) ( Colégio Naval - 1990 ) O número 583ab é divisível por 9. O valor máximo da soma dos algarismos a e b, é:

a) indeterminado b) 20 c) 18 d) 11 d) 2


43) ( Colégio Naval - 1990 ) Considere as Afirmativas :

(I) O número 1147 não é primo
(II) Todo número da forma abba, onde a e b são algarismos, é divisível por 11.
(III) Todo o número múltiplo de 5 e 15 é múltiplo de 75
(IV) O número de divisores naturais de 576 é divisor de 63

O número de afirmativas verdadeiras é :

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 d) 4

44) ( CEFET 1972 ) O menor número real que se subtrair da expressão : 121 1/2 + 512 2/3 + 10.000 3/4 para que seja divisível por 9 é :

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 d) 6

45) ( CEFET 1973 ) Quantos divisores tem o número 216 1,333... :

a) 25 b) 20 c) 15 d) 16 d) N.R.A

46) ( CEFET 1975 ) A interseção do conjuntos de divisores de um número natural com o conjunto dos múltiplos do mesmo número
é um conjunto :

a) Vazio b) Unitário c) de números primos
d) com números ilimitado de elementos d) N.R.A


47) ( UFMG-99 ) Sabe-se que o número 213 - 1 é primo. Seja n = 217 - 16. No conjunto dos números naturais, o número de
divisores de n é:

a) 5 b) 8 c) 6 d) 10


48) ( CEFET 1999 - 2ª fase ) Se N = 2 x 302 , qual o número de divisores de N que são também múltiplos de 15?

49) ( CEFET - 2000 ) O número de inteiros compreendidos entre 200 e 500 que são divisíveis por 5 e não divisíveis por 15, é:

a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 d) 80


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Múltiplos de um número natural

Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

15 x 0 = 0
15 x 1 = 15
15 x 2 = 30
15 x 3 = 45
15 x 4 = 60
15 x 5 = 75
15 x 6 = 90
E assim por diante.

Sendo assim, os múltiplos de 15 são: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90,...

Uma outra forma de saber se um número é múltiplo de outro é fazer a divisão entre eles. Se o resto for zero, então é múltiplo. Assim:

a) 4 é múltiplo de 2 porque 4 ÷ 2 = 2 e o resto = 0.
b) 72 é múltiplo de 3 porque 72 ÷ 3 = 24 e o resto = 0.
c) 200 é múltiplo de 4 porque 200 ÷ 4 = 50 e o resto = 0.
d) 125 é múltiplo de 5 porque 125 ÷ 5 = 25 e o resto = 0.

Note que múltiplo de é o mesmo que ser divisível por.

ATIVIDADES

1) Coloque C se for correto e E se estiver errado.

958 é múltiplo de 3

70 é múltiplo de 2

55 é múltiplo de 8

97 é múltiplo de 7

25 é múltiplo de 5

2) Escreva no quadro, colocando vírgula:

* Os 5 primeiros múltiplos de 10.


* Os 5 primeiros múltiplos de 18.



* Os 5 primeiros múltiplos de 45.



* Os 5 primeiros múltiplos de 50.

MMC e MDC

M.D.C e M.M.C.

1.0 - Máximo Divisor Comum - M.D.C.


Definimos Máximo Divisor Comum - M.D.C entre dois ou mais números como sendo o maior divisor comum entre eles.

Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 18 e 30. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus divisores :

D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 } e D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 }

O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 18 e 30 e dentre eles o maior, ou máximo,
será o 6 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18 e 30 ) = 6

Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 24, 60 e 84. Determinemos, inicialmente, seus divisores :

D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 },
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 } e
D(84) = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 e 84 }

O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 24, 60 e 84 e dentre eles o maior, ou
máximo, será o 12 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18, 60 e 84 ) = 12

2.0 - Métodos para o Cálculo do M.D.C.


2.1 - 1º Método: Algoritmo de Euclides, Método das Divisões Sucessivas ou " Jogo da Velha "


Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 48 e 72 .

Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.

Passo 1 - Dividimos o maior 72 pelo menor 48, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 48 e o resto da divisão 24
colocaremos abaixo do dividendo 72.

Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 24 para o espaço a direita do divisor e Dividimos este 48 por ele 24, o quociente 2 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do novo dividendo 48. Esse processo será repetido até
que chequemos ao resto zero.

Passo 3 - Quando o resto se tornar igual a zero concluímos que o último divisor será o M.D.C. procurado . Assim: M.D.C. ( 48 e 72 ) = 24



Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 324 e 252 .

Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.

Passo 1 - Dividimos o maior 324 pelo menor 252, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 252 e o resto da divisão 72
colocaremos abaixo do dividendo 324.

Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 72 para o espaço a direita do divisor e dividimos este 252 por ele 72, o quociente 3 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor 72 e o resto 36 colocaremos abaixo do novo dividendo 252.

Passo 3 - Deslocamos o resto obtido 36 para o espaço a direita do novo divisor 72 e dividimos este 72 por ele 36, o quociente 2 dessa
divisão colocaremos acima do divisor 36 e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do último dividendo 72.

Passo 4 - Como o resto se tornou igual a zero concluímos que o último divisor é o M.D.C. procurado . Assim M.D.C. ( 324 e 252 ) = 36



2.2 - 2º Método: Decomposição em Fatores Primos


Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :

O M.D.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre os fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 96 e 360.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :

96 = 25 X 3 e 360 = 23 X 32 X 5. E aplicando a regra, teremos :

fatores comuns => 2 e 3 e elevados aos menores expoentes : 23 e 31. Com isso : M.D.C. ( 96 e 360 ) = 23 X 3 = 8 X 3 = 24

Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 100, 180 e 840.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :

100 = 22 X 52 180 = 22 X 32 X 5 e 840 = 23 X 3 X 5 X 7

E aplicando a regra, teremos :

fatores comuns => 2 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22 e 51. Com isso : M.D.C. (100, 180 e 840) = 22 X 5 = 4 X 5 = 20

Exemplo 3 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre A, B e C, sendo :

A = 22 X 35 X 54
B = 26 X 33 X 53 X 113 e
C = 24 X 34 X 52 X 75

Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :

Fatores comuns => 2, 3 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22, 33 e 52.

Com isso e deixando o resultado indicado como originalmente no exemplo : M.D.C. (A, B e C) = 22 X 33 X 52

3.0 - Características Marcantes do M.D.C.


5.04a - O M.D.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual a unidade.

5.04b - O M.D.C. entre dois números consecutivos será sempre igual a unidade.

5.04c - O M.D.C. entre dois ou mais números pares será sempre igual a 2.

5.04d - Se A é múltiplo de B, o M.D.C. entre A e B será igual a B.

5.04e - Se B é divisor de A, o M.D.C. entre A e B será igual a B.

5.04f - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará multiplicado
por esse número.

5.04g - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido por
esse número.

5.04h - Quando o M.D.C. entre dois números, não necessariamente primos, é 1, eles são chamados primos entre si.

4.0 - Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.


Definimos Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C entre dois ou mais números como sendo o menor múltiplo comum não nulo entre eles.

Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 12 e 18. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus múltiplos :

M(12) = { 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, … } e M(18) = { 0, 18, 36, 54, 72, 90, … }

O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 12 e 18 e dentre eles o menor e
não nulo, ou mínimo, será o 36 ; Com isso, diremos que : M.M.C ( 12 e 18 ) = 36

Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 6, 9 e 15. Determinemos, inicialmente, seus múltiplos :

M( 6 ) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, … } ,
M( 9 ) = { 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, … } e
M( 15 ) = { 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … }

O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 6, 9 e 15 e dentre eles o
menor e não nulo, ou mínimo, será o 90 ;

Com isso diremos que : M.M.C ( 6, 9 e 15 ) = 90

5.0 - Métodos para o Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.


5.1 - 1º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição em Fatores Primos


Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :

O M.M.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre todos os fatores primos, comuns e não comuns, elevados aos maiores
expoentes

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 24 e 50.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos : 24 = 23 X 31 e 50 = 21 X 52. E aplicando a regra, teremos :

todos os fatores => 2, 3 e 5 e elevados aos maiores expoentes : 23, 31 e 52. Com isso :

M.M.C. ( 24 e 50 ) = 23 X 31X 52 = 8 X 3 X 25 = 600

Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre A, B e C, sendo :

A = 22 X 35 X 5
B = 23 X 33 X 53 X 73
C = 24 X 34 X 52 X 74

Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :

Todos os fatores => 2, 3, 5 e 7 e elevados aos maiores expoentes : 24, 35, 53 e 74. Com isso e deixando o resultado indicado como
originalmente no exemplo, teremos :

M.M.C. (A, B e C) = 24 X 35 X 53 X 74.

5.2 - 2º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição Simultânea.


Nesse método iremos decompor os números simultaneamente em fatores primos :

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 12 e 20.

Passo 1 - Coloquemos lado a lado os números e a direita deles tracemos uma linha vertical

Passo 2 - A partir daí dividiremos cada número pela sucessão dos números primos, enquanto pelo menos um deles for divisível a
operação deve ser continuada, e nesse caso repetiremos o número não divisível até que não seja mais possível também para o outro,
ou nenhum dos outros, a divisão.

Passo 3 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita nos dará o M.M.C. .



Com Isso o M.M.C. entre 12 e 20 será 22 X 3 X 5 = 60

Exemplo 2 : Calculemos, agora, o M.M.C entre 8, 14 e 20.



Com Isso o M.M.C. entre 8, 14 e 20 será 23 X 3 X 5 = 120

5.3 - 3º Método para o Cálculo do M.D.C. : Decomposição Simultânea.


Como já conhecemos como funciona o cálculo do M.M.C. pelo método da decomposição simultânea, podemos aplicá-lo também para
o cálculo do M.D.C.:

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 12 e 60 e 72.

Passo 1 - Faremos exatamente com se fossemos calcular o M.M.C. entre eles

Passo 2 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita do traço que
dividiram simultameamente todos os 3 números nos dará o M.D.C. entre eles.

12 , 60 , 72 2 <<<
6 , 30 , 36 2 <<<
3 , 15 , 18 2
3 , 15 , 9 3 <<<
1 , 5 , 3 3
1 , 5 , 1 5
1 , 1 , 1

Assinalamos com as 3 setinhas os fatores que dividiram ao mesmo tempo os 3 números. O produto desses números assinalados nos dará
o M.D.C. entre eles.

Com Isso o M.D.C entre 12 e 60 e 72 será 22 X 3 = 12

6.0 - Características Marcantes do M.M.C.


5.09a - O M.M.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual ao produto entre eles.

5.09b - O M.M.C. entre dois números consecutivos será sempre igual ao produto entre eles.

5.09c - Se A é múltiplo de B, o M.M.C. entre A e B será igual a A.

5.09d - Se B é divisor de A, o M.M.C. entre A e B será igual a A.

5.09e - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.M.C. entre eles também ficará
multiplicado por esse número.

5.09f - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido
por esse número.

7.0 - Propriedade Importante entre M.D.C. e M.M.C.


Dados dois números A e B, o produto entre seu M.D.C. e o seu M.M.C. , será igual ao produto A X B entre eles. Ou seja :

M.M.C. ( A e B ) x M.M.C.( A e B ) = A X B


Tente provar essa importante propriedade. É mais fácil que você imagina.

Importante: Essa propriedade somente é válida para o M.D.C. e o M.M.C. entre dois números

8.0 - Exercícios Propostos


I - Determine o M.D.C. entre :

01) dois números pares e consecutivos 02) dois números consecutivos
03) dois números ímpares e consecutivos 04) dois números primos
05) dois múltiplos pares e naturais de 9 06) 3 números terminados em 5
07) dois múltiplos inteiros de 7, positivos e consecutivos 08) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor


II - Determine pelo Algoritmo de Euclides ( Jogo da Velha ) o M.D.C. entre :

09) 24 e 60 10) 96 e 180 11) 132 e 198
12) 247 e 299 13) 624 e 720


14) Um aluno ao determinar o M.D.C. entre dois números pelo método das divisões sucessivas encontrou para M.D.C. 36 e
respectivamente os quocientes 1, 3 e 2. Cálculos esses dois números.

15) Um aluno ao determinar o M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides encontrou 21 para M.D.C. e respectivamente
os quocientes 4, 2 e 2. Cálculos o maior desses números.

16) O M.D.C. de dois números determinado pelo Algoritmo de Euclides é 27. Se os 4 quocientes encontrados são distintos e os
menores possíveis, determi-ne o menor desses dois números.

17) Explique por que no cálculo do M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides o último quociente encontrado é sempre
maior que a unidade.

III - Determine o M.D.C. entre :

18) 320 e 448 19) 462 e 1.386 20) 975 e 455
21) 28, 77 e 84 22) 108, 120 e 144 22) 60, 72, 96 e 156


IV - Qual é o maior número que divide exatamente :
23) 39, 65 e 143 24) 702 e 918 25) 519, 1.038 e 1.557


26) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 270 e 240 para obtermos, respectivamente, os restos 10 e 9 :

27) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 160, 220 e 472 para obtermos, respectivamente, os restos 7, 16 e 13

28) Ao dividirmos 167, 237, 379 e 593 pelo maior número possível, obtemos respectivamente os restos 23, 21,19 e 17.
Calcule esse número.

V - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

29) Soma = 384 e M.D.C. = 24 30) Soma = 740 e M.D.C. = 37 31) Soma = 840 e M.D.C. = 56


VI - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma D e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

32) Diferença = 75 e M.D.C. = 15 33) Diferença = 108 e M.D.C. = 18 34) Diferença = 378 e M.D.C. = 42


VII - Encontrar dois números conhecendo-se seu produto P e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

35) Produto = 1 536 e M.D.C. = 12 36) Produto = 1 792 e M.D.C. = 8 37) Produto = 4 320 e M.D.C. = 6


38) Encontrar três números distintos de 2 algarismos cujo M.D.C. é 13 e cuja soma é igual a 91.

VIII - Determine o M.MC. entre :

39) dois números pares e consecutivos 40) dois números consecutivos
41) dois números ímpares e consecutivos 42) dois números primos
43) dois múltiplos pares e naturais de 3 44) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor


IX - Determine o M.M.C. entre :

45) 32 e 48 46) 72 e 120 47) 26 e 65
48) 6, 7 e 210 49) 8, 12 e 14 50) 21, 28 e 36


X - Qual é o menor número simultaneamente divisível por :

51) 3, 4, 5, 6, 7 e 8 52) 2, 3 , 5, 8, 9 12 e 15 53) 11, 22, 33, 44 e 55
54) pelos 5 primeiros múltiplos positivos de 3 55) pelos números naturais menores que 11


XI - Determine o menor dos números que dividido por :

56) 12, 15 e 18 deixa o resto 8 57) 15, 24 e 30 deixa o resto 11
58) 24, 30, 36 e 60 deixa o resto 16 59) 32, 38 e 42 deixa o resto 17


XII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.M.C..

60) Soma = 30 e M.M.C. = 36 61) Soma = 140 e M.M.C. = 240 62) Soma = 168 e M.M.C. = 288


XIII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma P e seu M.M.C..

60) Produto = 360 e M.M.C. = 120 61) Produto = 2 160 e M.M.C. = 360 62) Produto = 1176 e M.M.C. = 108


63) Se o M.M.C. entre 70A e 56B é igual a 3 080. Determine os pares de valores possíveis para A e B.

XIV - Calcular o M.D.C. e o M.M.C. entre :

64) A = 23 x 34 x 5 e B = 22 x 32 x 52 65) P = 22 x 33 x 7 e Q = 2 x 34 x 5
66) M = 22 x 53 x 11 e N = 23 x 72 x 132 67) E = 23 x 3 x 5 x 72 , F = 22 x 33 x 52 x 112 e G = 2 X 32 X 73 X 112 X 17
68) A = 23 x 34 x 5 x 72 , B = 22 x 32 x 52 x 112 e C = 24 x 33 x 52 x 19 69) J = 23 x 34 x 5 x 72 , K = 22 x 32 x 52 x 112 e L = 24 x 33 x 52 x 19
70) M = 4 x 64 x 5 e P = 8 x 272 x 152


XV - Calcular o valor de n para as condições dadas :

71) A = 2n x 33 x 72 ; B= 24 x 32 x 7 x 112 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 7
72) Q = 22n x 32 x 52 ; B = 23 x 3n x 5 x 73 para M.M.C. ( A e B ) = 60
73) P = 24n x 9 ; B = 27 x 35 para M.D.C. ( A e B ) = 22 x 64
74) M = 30n X 7 ; B = 22 X 9 X 352 para M.M.C. ( A e B ) = 100 X 9 X 49


XVI - Calcular o valor de n + p para as condições dadas :

75) A = 2n X 33 X 132 ; B = 24 X 3p X 11 X 13 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 13
76) A = 2n X 32 X 11 ; B = 24 X 3p X 7 X 112 para M.M.C. ( A e B ) = 25 X 33 X 7 X 112


77) Calcular o valor da soma m + n + p tal que o M.D.C. entre A = 2m X 33 X 5p e B = 22 X 3n X 53 seja igual a 63 X 75

78) Dois números distintos A e B são os menores possíveis e podem ser representados, exclusivamente, pelos 3 menores fatores
primos. Se os expoentes do menor deles são números consecutivos. Determine o M.D.C. e o M.M.C. entre eles.

79) O produto de dois números A e B é igual a 360. Se o M.D.C. entre eles é 24, Calcule o seu M.M.C..

80) Uma doceria tem em estoque 150 balas de coco, 180 balas de chocolate e 240 balas de leite. Quantas balas de cada sabor se deve
colocar em caixas decoradas, sabendo que essas quantidades devem ser as maiores possíveis.

81) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. O mais rápido deles dá uma volta em 10 minutos, um outro leva
15 minutos e o terceiro e mais lento demora 18 minutos para dar uma volta completa. No fim de quanto tempo os 3 automóveis
voltarão a se encontrar no inicio da pista se eles partiram exatamente no mesmo instante.

82) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. Um deles dá uma volta em 18 minutos, um outro leva 20 minutos e o
terceiro demora 25 minutos para dar uma volta completa. Se eles partiram exatamente às 15 horas, Que horas serão quando os 3
automóveis voltarão a se encontrar no inicio da pista após 3 horas de corrida ?

83) Três netas visitam sua avó, respectivamente, em intervalos de 5 dias, de 7 dias e de 9 dias. Se a última vez em que as três se
encontraram na casa de sua avó foi no mês de Maio, em que mês do segundo semestre eles tornarão a se encontrar ?

84) Determine o menor número que ao ser dividido por por 11, 12 e 16 deixa, respectivamente, os restos 5, 6 e 10.

85) Determine o menor número de 4 algarismos que dividido por por 12, 15, 18 e 24 deixa, respectivamente, os restos 7, 10, 13 e 19.

9.0 - Questões de Concurso


86) ( CEFETQ - 1997 ) Determinar o maior número pelo qual se deve dividir os números 165 e 215 para que os restos sejam 9 e 11,
respectivamente.

87)( UFMG - 1996 ) O número de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2, 3, 5, 6, 9 e 11 é :

(A) 330 (B) 660 (C) 676 (D) 900 (E) 996


88) ( UNIFACS - 1997 ) O número de alunos de uma sala de aula é menor que 50. Formando-se equipes de 7 alunos, sobram 6.
Formando-se equipes de 9 alunos, sobram 6. Formando-se equipes de 9 alunos , sobram 5. Nessas condições, se forem formadas
equipes de 8 alunos, o número de alunos que sobram é :

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5


89) ( PUC/CAMPINAS - 1995 ) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na máquina B,
a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção das três máquinas, a próxima vez em que a manutenção ocorreu
no mesmo dia foi em :

(A) 5 de Dezembro (B) 6 de Dezembro (C) 8 de Dezembro (D) 14 de Dezembro (E) 26 de Dezembro


90) ( PUC/CAMPINAS - 1998 ) Uma editora tem em seu estoque 750 exemplares de um livro A, 1200 de um livro B e 2 500 de um livro C.
Deseja-se remetê-los a algumas escolas em pacotes, de modo que cada pacote os três tipos de livros em quantidades iguais e com o
maior número possível de exemplares de cada tipo. Nessas condições, remetidos todos os pacotes possíveis, o número de exemplares
que restarão no estoque é :

(A) 1.500 (B) 1.750 (C) 2.200 (D) 1.600 (E) 2.000

91) ( UNIARARAS - 1997 ) As cidade de Araras, Leme e Conchal realizam grandes festas periódicas, sendo as de Araras de 9 em
9 meses, as de Leme de 12 em 12 meses e as de Conchal de 20 em 20 meses. Se em Março de 1985 as festas coincidiram, então a
próxima coincidência foi em :

(A) Março de 1995 (B) Março de 2000 (C) Março de 1996 (D) Dezembro de 1999 (E) Nunca mais


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