M.D.C e M.M.C.
1.0 - Máximo Divisor Comum - M.D.C.
Definimos Máximo Divisor Comum - M.D.C entre dois ou mais números como sendo o maior divisor comum entre eles.
Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 18 e 30. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus divisores :
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 } e D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 }
O Conjunto
nos mostra os divisores comuns a 18 e 30 e dentre eles o maior, ou máximo,
será o 6 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18 e 30 ) = 6
Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 24, 60 e 84. Determinemos, inicialmente, seus divisores :
D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 },
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 } e
D(84) = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 e 84 }
O Conjunto
nos mostra os divisores comuns a 24, 60 e 84 e dentre eles o maior, ou
máximo, será o 12 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18, 60 e 84 ) = 12
2.0 - Métodos para o Cálculo do M.D.C.
2.1 - 1º Método: Algoritmo de Euclides, Método das Divisões Sucessivas ou " Jogo da Velha "
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 48 e 72 .
Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.
Passo 1 - Dividimos o maior 72 pelo menor 48, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 48 e o resto da divisão 24
colocaremos abaixo do dividendo 72.
Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 24 para o espaço a direita do divisor e Dividimos este 48 por ele 24, o quociente 2 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do novo dividendo 48. Esse processo será repetido até
que chequemos ao resto zero.
Passo 3 - Quando o resto se tornar igual a zero concluímos que o último divisor será o M.D.C. procurado . Assim: M.D.C. ( 48 e 72 ) = 24
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 324 e 252 .
Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.
Passo 1 - Dividimos o maior 324 pelo menor 252, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 252 e o resto da divisão 72
colocaremos abaixo do dividendo 324.
Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 72 para o espaço a direita do divisor e dividimos este 252 por ele 72, o quociente 3 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor 72 e o resto 36 colocaremos abaixo do novo dividendo 252.
Passo 3 - Deslocamos o resto obtido 36 para o espaço a direita do novo divisor 72 e dividimos este 72 por ele 36, o quociente 2 dessa
divisão colocaremos acima do divisor 36 e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do último dividendo 72.
Passo 4 - Como o resto se tornou igual a zero concluímos que o último divisor é o M.D.C. procurado . Assim M.D.C. ( 324 e 252 ) = 36
2.2 - 2º Método: Decomposição em Fatores Primos
Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :
O M.D.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre os fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 96 e 360.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :
96 = 25 X 3 e 360 = 23 X 32 X 5. E aplicando a regra, teremos :
fatores comuns => 2 e 3 e elevados aos menores expoentes : 23 e 31. Com isso : M.D.C. ( 96 e 360 ) = 23 X 3 = 8 X 3 = 24
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 100, 180 e 840.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :
100 = 22 X 52 180 = 22 X 32 X 5 e 840 = 23 X 3 X 5 X 7
E aplicando a regra, teremos :
fatores comuns => 2 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22 e 51. Com isso : M.D.C. (100, 180 e 840) = 22 X 5 = 4 X 5 = 20
Exemplo 3 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre A, B e C, sendo :
A = 22 X 35 X 54
B = 26 X 33 X 53 X 113 e
C = 24 X 34 X 52 X 75
Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :
Fatores comuns => 2, 3 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22, 33 e 52.
Com isso e deixando o resultado indicado como originalmente no exemplo : M.D.C. (A, B e C) = 22 X 33 X 52
3.0 - Características Marcantes do M.D.C.
5.04a - O M.D.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual a unidade.
5.04b - O M.D.C. entre dois números consecutivos será sempre igual a unidade.
5.04c - O M.D.C. entre dois ou mais números pares será sempre igual a 2.
5.04d - Se A é múltiplo de B, o M.D.C. entre A e B será igual a B.
5.04e - Se B é divisor de A, o M.D.C. entre A e B será igual a B.
5.04f - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará multiplicado
por esse número.
5.04g - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido por
esse número.
5.04h - Quando o M.D.C. entre dois números, não necessariamente primos, é 1, eles são chamados primos entre si.
4.0 - Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.
Definimos Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C entre dois ou mais números como sendo o menor múltiplo comum não nulo entre eles.
Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 12 e 18. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus múltiplos :
M(12) = { 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, … } e M(18) = { 0, 18, 36, 54, 72, 90, … }
O Conjunto
nos mostra os múltiplos comuns a 12 e 18 e dentre eles o menor e
não nulo, ou mínimo, será o 36 ; Com isso, diremos que : M.M.C ( 12 e 18 ) = 36
Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 6, 9 e 15. Determinemos, inicialmente, seus múltiplos :
M( 6 ) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, … } ,
M( 9 ) = { 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, … } e
M( 15 ) = { 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … }
O Conjunto
Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição Simultânea.
Nesse método iremos decompor os números simultaneamente em fatores primos :
nos mostra os múltiplos comuns a 6, 9 e 15 e dentre eles o
menor e não nulo, ou mínimo, será o 90 ;
Com isso diremos que : M.M.C ( 6, 9 e 15 ) = 90
5.0 - Métodos para o Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.
5.1 - 1º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição em Fatores Primos
Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :
O M.M.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre todos os fatores primos, comuns e não comuns, elevados aos maiores
expoentes
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 24 e 50.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos : 24 = 23 X 31 e 50 = 21 X 52. E aplicando a regra, teremos :
todos os fatores => 2, 3 e 5 e elevados aos maiores expoentes : 23, 31 e 52. Com isso :
M.M.C. ( 24 e 50 ) = 23 X 31X 52 = 8 X 3 X 25 = 600
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre A, B e C, sendo :
A = 22 X 35 X 5
B = 23 X 33 X 53 X 73
C = 24 X 34 X 52 X 74
Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :
Todos os fatores => 2, 3, 5 e 7 e elevados aos maiores expoentes : 24, 35, 53 e 74. Com isso e deixando o resultado indicado como
originalmente no exemplo, teremos :
M.M.C. (A, B e C) = 24 X 35 X 53 X 74.
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 12 e 20.
Passo 1 - Coloquemos lado a lado os números e a direita deles tracemos uma linha vertical
Passo 2 - A partir daí dividiremos cada número pela sucessão dos números primos, enquanto pelo menos um deles for divisível a
operação deve ser continuada, e nesse caso repetiremos o número não divisível até que não seja mais possível também para o outro,
ou nenhum dos outros, a divisão.
Passo 3 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita nos dará o M.M.C. .
Com Isso o M.M.C. entre 12 e 20 será 22 X 3 X 5 = 60
Exemplo 2 : Calculemos, agora, o M.M.C entre 8, 14 e 20.
Método para o Cálculo do M.D.C. : Decomposição Simultânea.
Como já conhecemos como funciona o cálculo do M.M.C. pelo método da decomposição simultânea, podemos aplicá-lo também para
o cálculo do M.D.C.:
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 12 e 60 e 72.
Passo 1 - Faremos exatamente com se fossemos calcular o M.M.C. entre eles
Passo 2 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita do traço que
dividiram simultameamente todos os 3 números nos dará o M.D.C. entre eles.
12 , 60 , 72 2 <<<
6 , 30 , 36 2 <<<
3 , 15 , 18 2
3 , 15 , 9 3 <<<
1 , 5 , 3 3
1 , 5 , 1 5
1 , 1 , 1
Assinalamos com as 3 setinhas os fatores que dividiram ao mesmo tempo os 3 números. O produto desses números assinalados nos dará
o M.D.C. entre eles.
Com Isso o M.D.C entre 12 e 60 e 72 será 22 X 3 = 12
6.0 - Características Marcantes do M.M.C.
5.09a - O M.M.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual ao produto entre eles.
5.09b - O M.M.C. entre dois números consecutivos será sempre igual ao produto entre eles.
5.09c - Se A é múltiplo de B, o M.M.C. entre A e B será igual a A.
5.09d - Se B é divisor de A, o M.M.C. entre A e B será igual a A.
5.09e - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.M.C. entre eles também ficará
multiplicado por esse número.
5.09f - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido
por esse número.
7.0 - Propriedade Importante entre M.D.C. e M.M.C.
Dados dois números A e B, o produto entre seu M.D.C. e o seu M.M.C. , será igual ao produto A X B entre eles. Ou seja :
M.M.C. ( A e B ) x M.M.C.( A e B ) = A X B
Tente provar essa importante propriedade. É mais fácil que você imagina.
Importante: Essa propriedade somente é válida para o M.D.C. e o M.M.C. entre dois números
8.0 - Exercícios Propostos
I - Determine o M.D.C. entre :
01) dois números pares e consecutivos 02) dois números consecutivos
03) dois números ímpares e consecutivos 04) dois números primos
05) dois múltiplos pares e naturais de 9 06) 3 números terminados em 5
07) dois múltiplos inteiros de 7, positivos e consecutivos 08) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor
II - Determine pelo Algoritmo de Euclides ( Jogo da Velha ) o M.D.C. entre :
09) 24 e 60 10) 96 e 180 11) 132 e 198
12) 247 e 299 13) 624 e 720
14) Um aluno ao determinar o M.D.C. entre dois números pelo método das divisões sucessivas encontrou para M.D.C. 36 e
respectivamente os quocientes 1, 3 e 2. Cálculos esses dois números.
15) Um aluno ao determinar o M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides encontrou 21 para M.D.C. e respectivamente
os quocientes 4, 2 e 2. Cálculos o maior desses números.
16) O M.D.C. de dois números determinado pelo Algoritmo de Euclides é 27. Se os 4 quocientes encontrados são distintos e os
menores possíveis, determi-ne o menor desses dois números.
17) Explique por que no cálculo do M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides o último quociente encontrado é sempre
maior que a unidade.
III - Determine o M.D.C. entre :
18) 320 e 448 19) 462 e 1.386 20) 975 e 455
21) 28, 77 e 84 22) 108, 120 e 144 22) 60, 72, 96 e 156
IV - Qual é o maior número que divide exatamente :
23) 39, 65 e 143 24) 702 e 918 25) 519, 1.038 e 1.557
26) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 270 e 240 para obtermos, respectivamente, os restos 10 e 9 :
27) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 160, 220 e 472 para obtermos, respectivamente, os restos 7, 16 e 13
28) Ao dividirmos 167, 237, 379 e 593 pelo maior número possível, obtemos respectivamente os restos 23, 21,19 e 17.
Calcule esse número.
V - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
29) Soma = 384 e M.D.C. = 24 30) Soma = 740 e M.D.C. = 37 31) Soma = 840 e M.D.C. = 56
VI - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma D e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
32) Diferença = 75 e M.D.C. = 15 33) Diferença = 108 e M.D.C. = 18 34) Diferença = 378 e M.D.C. = 42
VII - Encontrar dois números conhecendo-se seu produto P e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
35) Produto = 1 536 e M.D.C. = 12 36) Produto = 1 792 e M.D.C. = 8 37) Produto = 4 320 e M.D.C. = 6
38) Encontrar três números distintos de 2 algarismos cujo M.D.C. é 13 e cuja soma é igual a 91.
VIII - Determine o M.MC. entre :
39) dois números pares e consecutivos 40) dois números consecutivos
41) dois números ímpares e consecutivos 42) dois números primos
43) dois múltiplos pares e naturais de 3 44) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor
IX - Determine o M.M.C. entre :
45) 32 e 48 46) 72 e 120 47) 26 e 65
48) 6, 7 e 210 49) 8, 12 e 14 50) 21, 28 e 36
X - Qual é o menor número simultaneamente divisível por :
51) 3, 4, 5, 6, 7 e 8 52) 2, 3 , 5, 8, 9 12 e 15 53) 11, 22, 33, 44 e 55
54) pelos 5 primeiros múltiplos positivos de 3 55) pelos números naturais menores que 11
XI - Determine o menor dos números que dividido por :
56) 12, 15 e 18 deixa o resto 8 57) 15, 24 e 30 deixa o resto 11
58) 24, 30, 36 e 60 deixa o resto 16 59) 32, 38 e 42 deixa o resto 17
XII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.M.C..
60) Soma = 30 e M.M.C. = 36 61) Soma = 140 e M.M.C. = 240 62) Soma = 168 e M.M.C. = 288
XIII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma P e seu M.M.C..
60) Produto = 360 e M.M.C. = 120 61) Produto = 2 160 e M.M.C. = 360 62) Produto = 1176 e M.M.C. = 108
63) Se o M.M.C. entre 70A e 56B é igual a 3 080. Determine os pares de valores possíveis para A e B.
XIV - Calcular o M.D.C. e o M.M.C. entre :
64) A = 23 x 34 x 5 e B = 22 x 32 x 52 65) P = 22 x 33 x 7 e Q = 2 x 34 x 5
66) M = 22 x 53 x 11 e N = 23 x 72 x 132 67) E = 23 x 3 x 5 x 72 , F = 22 x 33 x 52 x 112 e G = 2 X 32 X 73 X 112 X 17
68) A = 23 x 34 x 5 x 72 , B = 22 x 32 x 52 x 112 e C = 24 x 33 x 52 x 19 69) J = 23 x 34 x 5 x 72 , K = 22 x 32 x 52 x 112 e L = 24 x 33 x 52 x 19
70) M = 4 x 64 x 5 e P = 8 x 272 x 152
XV - Calcular o valor de n para as condições dadas :
71) A = 2n x 33 x 72 ; B= 24 x 32 x 7 x 112 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 7
72) Q = 22n x 32 x 52 ; B = 23 x 3n x 5 x 73 para M.M.C. ( A e B ) = 60
73) P = 24n x 9 ; B = 27 x 35 para M.D.C. ( A e B ) = 22 x 64
74) M = 30n X 7 ; B = 22 X 9 X 352 para M.M.C. ( A e B ) = 100 X 9 X 49
XVI - Calcular o valor de n + p para as condições dadas :
75) A = 2n X 33 X 132 ; B = 24 X 3p X 11 X 13 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 13
76) A = 2n X 32 X 11 ; B = 24 X 3p X 7 X 112 para M.M.C. ( A e B ) = 25 X 33 X 7 X 112
77) Calcular o valor da soma m + n + p tal que o M.D.C. entre A = 2m X 33 X 5p e B = 22 X 3n X 53 seja igual a 63 X 75
78) Dois números distintos A e B são os menores possíveis e podem ser representados, exclusivamente, pelos 3 menores fatores
primos. Se os expoentes do menor deles são números consecutivos. Determine o M.D.C. e o M.M.C. entre eles.
79) O produto de dois números A e B é igual a 360. Se o M.D.C. entre eles é 24, Calcule o seu M.M.C..
80) Uma doceria tem em estoque 150 balas de coco, 180 balas de chocolate e 240 balas de leite. Quantas balas de cada sabor se deve
colocar em caixas decoradas, sabendo que essas quantidades devem ser as maiores possíveis.
81) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. O mais rápido deles dá uma volta em 10 minutos, um outro leva
15 minutos e o terceiro e mais lento demora 18 minutos para dar uma volta completa. No fim de quanto tempo os 3 automóveis
voltarão a se encontrar no inicio da pista se eles partiram exatamente no mesmo instante.
82) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. Um deles dá uma volta em 18 minutos, um outro leva 20 minutos e o
terceiro demora 25 minutos para dar uma volta completa. Se eles partiram exatamente às 15 horas, Que horas serão quando os 3
automóveis voltarão a se encontrar no inicio da pista após 3 horas de corrida ?
83) Três netas visitam sua avó, respectivamente, em intervalos de 5 dias, de 7 dias e de 9 dias. Se a última vez em que as três se
encontraram na casa de sua avó foi no mês de Maio, em que mês do segundo semestre eles tornarão a se encontrar ?
84) Determine o menor número que ao ser dividido por por 11, 12 e 16 deixa, respectivamente, os restos 5, 6 e 10.
85) Determine o menor número de 4 algarismos que dividido por por 12, 15, 18 e 24 deixa, respectivamente, os restos 7, 10, 13 e 19.
9.0 - Questões de Concurso
86) ( CEFETQ - 1997 ) Determinar o maior número pelo qual se deve dividir os números 165 e 215 para que os restos sejam 9 e 11,
respectivamente.
87)( UFMG - 1996 ) O número de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2, 3, 5, 6, 9 e 11 é :
(A) 330 (B) 660 (C) 676 (D) 900 (E) 996
88) ( UNIFACS - 1997 ) O número de alunos de uma sala de aula é menor que 50. Formando-se equipes de 7 alunos, sobram 6.
Formando-se equipes de 9 alunos, sobram 6. Formando-se equipes de 9 alunos , sobram 5. Nessas condições, se forem formadas
equipes de 8 alunos, o número de alunos que sobram é :
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
89) ( PUC/CAMPINAS - 1995 ) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na máquina B,
a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção das três máquinas, a próxima vez em que a manutenção ocorreu
no mesmo dia foi em :
(A) 5 de Dezembro (B) 6 de Dezembro (C) 8 de Dezembro (D) 14 de Dezembro (E) 26 de Dezembro
90) ( PUC/CAMPINAS - 1998 ) Uma editora tem em seu estoque 750 exemplares de um livro A, 1200 de um livro B e 2 500 de um livro C.
Deseja-se remetê-los a algumas escolas em pacotes, de modo que cada pacote os três tipos de livros em quantidades iguais e com o
maior número possível de exemplares de cada tipo. Nessas condições, remetidos todos os pacotes possíveis, o número de exemplares
que restarão no estoque é :
(A) 1.500 (B) 1.750 (C) 2.200 (D) 1.600 (E) 2.000
91) ( UNIARARAS - 1997 ) As cidade de Araras, Leme e Conchal realizam grandes festas periódicas, sendo as de Araras de 9 em
9 meses, as de Leme de 12 em 12 meses e as de Conchal de 20 em 20 meses. Se em Março de 1985 as festas coincidiram, então a
próxima coincidência foi em :
(A) Março de 1995 (B) Março de 2000 (C) Março de 1996 (D) Dezembro de 1999 (E) Nunca mais
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