Divisão de Inteiros

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Ensino no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Segundo o dicionário Aurélio, divisão significa “partir ou distinguir em diversas partes; separar as diversas partes de.”
Na divisão utilizamos praticamente o mesmo método da multiplicação. Devemos, em primeiro lugar, relembramos o jogo de sinais:
- Divisão de números com mesmo sinal = +
- Divisão de números com sinais diferentes = -
Numa divisão exata de dois números inteiros, o quociente é um número inteiro e o resto é igual a zero.



►Quociente de dois números inteiros com sinais diferentes.
(- 45) : (+ 5) = - 9
(+45) : ( -5) = -9

O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais diferentes é um número inteiro de:
Valor absoluto: igual ao quociente dos valores absolutos dos termos.
Sinal: negativo (-).

►Quociente de dois números inteiros com sinais iguais.

(- 60) : (- 10) = + 6
(+ 60) : (+ 10) = + 6

O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais iguais é um número inteiro de:
Valor absoluto: igual ao quociente dos valores absolutos dos termos.
Sinal: positivo (+).

Acontece da mesma forma que na multiplicação, dividimos os valores absolutos e o sinal é conforme a regra:
- : + = -
+ : + = +
- : - = +
Observações:
• Não existe divisão por zero. Exemplo: 15 : 0, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja 15.

• Zero dividido por qualquer número é sempre zero.

Inequação

Marcos Noé

Inequação

As inequações são desigualdades matemáticas que utilizam os seguintes sinais na sua estrutura:

≠: diferente
>: maior
<: menor
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual

Os métodos resolutivos assemelham-se aos das equações. Caso seja necessário passar um elemento de um membro para outro, o sinal deverá ser trocado. É muito importante ressaltar que as inequações respeitam restrições de acordo com o sinal utilizado, e que as soluções podem ser representadas na reta numérica. Observe a resolução de algumas inequações e a representação na reta numérica da condição de sua solução.

Exemplo 1

Todos os números maiores que –7 são soluções da inequação.

Exemplo 2

Nessa inequação a solução será todos os números menores ou iguais a 10.

Exemplo 3

Os números menores ou iguais a 1/4 são soluções da inequação dada.

Exemplo 4

A solução desta inequação engloba todos os números maiores que 7.

Joaninhas Inseto é um predador voraz

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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As joaninhas são insetos pequenos e coloridos, muito admirados por sua beleza e, em muitas culturas, símbolos de boa sorte e fartura. Esses simpáticos insetos pertencem à ordem Coleóptera, assim como os besouros, e à família Coccinellidae, para a qual já foram descritas mais de 5.000 espécies.

Os insetos da ordem Coleóptera possuem dois pares de asas. Um par é fino e membranoso e encontra-se sob o outro par de asas, chamadas de élitros, que são duras e resistentes. Os élitros da maioria das espécies de joaninhas possuem cores vibrantes, como amarelo, laranja e vermelho, com pequenos pontos pretos. Porém, algumas apresentam uma coloração escura e uniforme.

Estes insetos medem entre 0,3 mm e 10 mm de comprimento e possuem um par de antenas com função sensorial. As antenas são utilizadas na procura de alimentos, para localização espacial, procura por parceiros reprodutivos, entre outras funções. Para manter as antenas limpas, as joaninhas as esfregam com o primeiro par de patas, e, desta forma, removem resíduos que podem interferir em sua sensibilidade.

Como se protegem
As joaninhas se alimentam de pequenos insetos, ácaros, pólen e néctar. Apenas duas espécies se alimentam de tecidos vegetais. Por sua vez, as joaninhas são predadas por insetos maiores, algumas espécies de pássaros e anfíbios.

Para se proteger, elas contam com algumas estratégias. A coloração vibrante pode atuar como uma forma de aviso ao predador sobre a sua impalatabilidade, ou seja, seu gosto ruim, ou sobre a sua toxicidade, evitando que o predador a ataque. Outra forma de defesa utilizada por algumas espécies é o comportamento de deitar-se com o abdome para cima, seguido da liberação de um líquido com odor desagradável. Dessa forma, a joaninha finge-se de morta e esquiva-se da atenção de seu predador.

Controle biológico de pulgões
Os afídeos, popularmente conhecidos como pulgões, são insetos pertencentes à ordem Hemyptera e parasitam diversas espécies vegetais. Os pulgões possuem um aparelho bucal do tipo sugador, com o qual perfuram os tecidos vegetais, alcançado seus vasos condutores e sugando sua seiva. São considerados pragas agrícolas e podem causar sérios prejuízos às plantações.

As joaninhas são predadoras vorazes de pulgões, alimentando-se tanto da forma adulta quanto da larva. Uma única joaninha pode comer mais de 50 pulgões por dia. Por esse motivo, as joaninhas são freqüentemente utilizadas para realizar o controle biológico desta praga em áreas de cultivo agrícola. Com esse objetivo, centenas de joaninhas são introduzidas na plantação para que, ao se alimentarem dos pulgões, livrem as plantas desse parasita.

Essa estratégia é interessante, pois evita o uso de inseticidas químicos, que podem ser tóxicos para o ambiente e para o homem. Porém, deve ser realizada com cautela e com base no conhecimento científico, uma vez que, caso seja introduzida uma espécie exótica, ou seja, que não ocorre naturalmente no local, corre-se o risco de provocar um desequilíbrio ecológico. O resultado pode ser desastroso, ocasionando o desaparecimento das espécies de joaninha nativas e também levando à desequilíbrios na cadeia alimentar do ecossistema.

Um caso famoso ocorreu nos Estados Unidos, quando uma espécie asiática foi introduzida em plantações para controlar os pulgões e, por falta de predadores, acabou por se reproduzir descontroladamente, transformando-se numa praga doméstica que infesta casas e jardins.

Reprodução
As joaninhas, assim como os demais insetos, são organismos dióicos, ou seja, existem fêmeas e machos. Em muitas espécies, machos e fêmeas são morfologicamente diferentes, podendo apresentar tanto tamanhos quanto cores diferentes. A esta diferença é dado o nome de dimorfismo sexual. A fecundação é interna e pode ocorrer diversas vezes ao ano.

Em cada ciclo reprodutivo, a fêmea pode colocar de 10 a mais de 1.000 ovos. Antes da postura, a joaninha procura um local adequado para a eclosão dos ovos, geralmente depositando-os de forma agrupada, sobre folhas ou caules de plantas, e próximos a fontes de alimento. Da sua eclosão até atingir a forma adulta, as joaninhas sofrem a chamada metamorfose completa, ou seja, passam pelos estágios de larva e pupa. Por isso, seu desenvolvimento é classificado como holometábolo (do grego holos, total, e metáboles, transformação).

Desenvolvimento
Após um período que varia entre 4 a 10 dias, as larvas eclodem e começam a se alimentar. Muitas vezes, o primeiro alimento é a casca de seu próprio ovo. O tempo de eclosão das larvas depende da espécie, mas também está relacionado à temperatura do ambiente, sendo menor em regiões de clima tropical, ou nas estações quentes do ano. As larvas em nada lembram as joaninhas adultas. São alongadas e apresentam uma coloração escura.

Durante o seu crescimento, podem ocorrer de 4 a 7 mudas. As mudas, ou ecdises, são as trocas periódicas do exoesqueleto quitinoso que envolve o corpo dos artrópodes e que permite o seu crescimento.

Após um período que pode variar de uma semana até cerca de 20 dias, a larva se fixa a um substrato, geralmente caules ou folhas, e se transforma na pupa. A pupa é um estágio imóvel, no qual inúmeras transformações irão resultar no indivíduo adulto. Este estágio pode durar até cerca de 10 dias, dependendo da temperatura e da espécie.

Após este período, a parede da pupa se abre e, finalmente, emerge a forma adulta da joaninha. Assim que a joaninha sai da pupa, o seu exoesqueleto ainda é mole e vulnerável, por isso, ela permanece imóvel durante alguns minutos, até que ele endureça e ela possa voar. O tempo de vida de uma joaninha varia entre 3 até cerca de 9 meses.
*Alice Dantas Brites é professora de biologia.

Briófitas Conheça os vegetais mais antigos do mundo

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Briófita com o esporófito desenvolvido
Você pode achar que as briófitas são plantinhas pequenas e insignificantes. Mas aposto que não sabia que elas representam os vegetais mais antigos e que seus ancestrais provavelmente encontram-se na base da evolução de todas as plantas terrestres. Outro fato que você provavelmente não sabia é que existe uma espécie de musgo que, somando suas áreas de ocorrência ao redor do mundo, pode ser considerada como a planta mais abundante da superfície do planeta.

A maioria das briófitas ocorre em ambientes úmidos; poucas são aquáticas. Mas algumas espécies podem se desenvolver em ambientes inóspitos como desertos, o gelo dos círculos polares e rochas nuas. Estas últimas são chamadas de espécies pioneiras. Ou seja, são plantas que se desenvolvem primeiro durante a colonização de um substrato, criando condições para o desenvolvimento posterior de outros organismos.

São Mstrong>plantas avasculares, ou seja, não possuem vasos condutores de seiva (xilema e floema). São consideradas como intermediárias entre as algas verdes e as plantas vasculares. Elas compartilham algumas características com as algas, como, por exemplo, uma estrutura similar do cloroplasto. Porém, diferentemente destas, as briófitas já apresentam alguma organização tecidual.

As briófitas são as primeiras plantas adaptadas à vida terrestre. Para viver no meio terrestre são necessárias adaptações às condições desse meio. Uma delas é evitar a perda de água pela evaporação que ocorre na superfície da planta em contato com o ar. Para isso, as plantas terrestres apresentam, entre outras adaptações, um revestimento protetor sobre a epiderme, chamado cutícula. As plantas terrestres precisam também se fixar ao substrato. No caso das briófitas, quem realiza esta função são estruturas chamadas rizóides.

Como as briófitas não possuem sistema vascular, o transporte de água e nutrientes tem de ser feito célula a célula, através da difusão. Essa característica faz com que seu tamanho seja reduzido, pois esse sistema não permite transportar a seiva por longas distâncias de maneira rápida e eficiente.

A classificação das briófitas
As briófitas costumam ser divididas em três grupos: Hepaticae, Anthocerotae e Musci. A seguir, vermos um pouco sobre cada uma deles.

Hepaticae
O grupo é representado por cerca de 10.000 espécies que estão entre as briófitas mais simples e de menor porte. O nome Hepaticae vem do grego hepatos, que significa fígado. Isso porque essas briófitas possuem um formato que lembra tal órgão. Elas ocorrem em ambientes terrestres úmidos, na superfície de rochas, troncos de árvores e algumas poucas espécies crescem na água.

Anthocerotae
É o grupo que apresenta o menor número de espécies, cerca de 300. São briófitas pequenas e com o gametófito em forma de roseta. Ocorrem em ambientes terrestres úmidos, sendo que um gênero, o Anthoceros, é muito abundante no Brasil.

Musci
São as briófitas popularmente chamadas de musgos. É o maior grupo, já foram descritas mais de 14.000 espécies de musgos. Possuem uma grande variedade de formas e ocorrem em diversos ambientes, como terrestres úmidos, locais secos, nos círculos polares e existem também algumas espécies aquáticas.

Um gênero importante de musgo é o Sphangnum, popularmente chamado de musgo de turfeira, ou turfa. Se somarmos a sua ocorrência ao redor do mundo, iremos constatar que ele ocupa cerca de 1% da superfície da Terra. Isto o coloca entre as plantas mais abundantes do planeta.

As regiões onde esse musgo ocorre são de grande importância ecológica, pois trata-se de um gênero capaz de armazenar uma grande quantidade de carbono, sendo importante para o ciclo desse elemento. A massa formada pela mistura do musgo com outras pequenas plantas é chamada de turfa. Devido ao seu alto teor de carbono, a turfa é altamente combustível, sendo empregada em muitos países, tanto nas indústrias quanto para o aquecimento de casas.

Reprodução das briófitas
Algumas espécies de briófitas apresentam reprodução assexuada. Esta se dá através da formação de propágulos no interior de estruturas presentes na planta-mãe. Os propágulos se desprendem da planta-mãe e se dispersam através de gotas ou respingos de água. Ao atingir um novo substrato, o propágulo se desenvolve e origina um novo indivíduo adulto.

Mas a maioria das espécies apresenta reprodução sexuada. Na reprodução sexuada das briófitas ocorre a alternância de duas gerações: uma esporofítica (produz esporos) e outra gametofítica (produz gametas). A geração esporofítica é haplóide (n) e, dependente da geração gametofítica, fase diplóide (2n).
A seguir, veremos a reprodução dos musgos, que é o grupo mais abundante e conhecido.

O gametófito masculino apresenta, em seu ápice, uma estrutura denominada anterídio. No interior do anterídio são produzidos os gametas masculinos chamados de anterozóides. Estes possuem flagelos e são capazes de se mover na água. O gametófito feminino produz seus gametas, chamados de oosferas, no interior do arquegônio. Quando chove ou quando o musgo é atingido por borrifos de água, os anterozóides atingem a planta feminina e se movimentam até o interior do arquegônio, onde fecundam a oosfera.

Da fecundação se origina o zigoto, que irá se desenvolver sobre o gametófito feminino, originando o esporófito. Quando o esporófito atinge a maturidade, uma cápsula se forma em seu ápice - e as células no seu interior sofrem meiose, originando esporos haplóides. Os esporos são liberados no ambiente e, quando atingem um substrato adequado, germinam, originando um novo gametófito e fechando o ciclo.

Uma das grandes diferenças entre as briófitas e as plantas vasculares está no ciclo reprodutivo das duas. As briófitas são as únicas plantas que possuem a estrutura o esporófito ligado ao gametófito e menor do que este. Nas plantas vasculares ocorre o contrário: o esporófito é dominante e de vida livre.
*Alice Dantas Brites é professora de biologia.

NÚMEROS INTEIROS

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS


INTRODUÇÃO:

Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é possivel

exemplos:

a) 5 - 3 = 2 (possível: 2 é um número natural)
b) 9 - 9 = 0 ( possível: 0 é um número natural)
c) 3 - 5 = ? ( impossível nos números naturais)

Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros relativos,

-1, -2, -3,.........

lê-se: menos um ou 1 negativo
lê-se: menos dois ou dois negativo
lê-se: menos três ou três negativo

Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos numeros inteiros relativos, que será representado por Z.

Z = { .....-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,......}

Importante: os números inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal de +.

exemplo

a) +7 = 7
b) +2 = 2
c) +13 = 13
d) +45 = 45

Sendo que o zero não é positivo nem negativo

EXERCICIOS

1) Observe os números e diga:

-15, +6, -1, 0, +54, +12, -93, -8, +23, -72, +72

a) Quais os números inteiros negativos?
R: -15,-1,-93,-8,-72

b) Quais são os números inteiros positivos?
R: +6,+54,+12,+23,+72

2) Qual o número inteiro que não é nem positivo nem negativo?
R: É o zero

3) Escreva a leitura dos seguintes números inteiros:

a) -8 =(R: oito negativo)
b)+6 = (R: seis positivo)
c) -10 = (R: dez negativo)
d) +12 = (R: doze positivo)
e) +75 = (R: setenta e cinco positivo)
f) -100 = (R: cem negativo)

4) Quais das seguintes sentenças são verdadeiras?

a) +4 = 4 = ( V)
b) -6 = 6 = ( F)
c) -8 = 8 = ( F)
d) 54 = +54 = ( V)
e) 93 = -93 = ( F )


5) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números positivos e as temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a seguinte situação com números inteiros relativos:

a) 5° acima de zero = (R: +5)
b) 3° abaixo de zero = (R: -3)
c) 9°C abaixo de zero= (R: -9)
d) 15° acima de zero = ( +15)



REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA

Vamos traçar uma reta e marcar o ponto 0. À direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida, assinalemos os pontos que correspondem aos números positivos e à esquerda de 0, com a mesma unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos números negativos.



_I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6

exercícios

1) Escreva os números inteiros:

a) compreendidos entre 1 e 7 (R: 2,3,4,5,6)
b) compreendidos entre -3 e 3 (R: -2,-1,0,1,2)
c) compreendidos entre -4 e 2 ( R: -3, -2, -1, 0, 1)
d) compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3 )
e) compreendidos entre -5 e -1 ( R: -4, -3, -2)
f) compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1)

2) Responda:

a) Qual é o sucessor de +8? (R: +9)
b) Qual é o sucessor de -6? (R: -5)
c) Qual é o sucessor de 0 ? (R: +1)
d) Qual é o antecessor de +8? (R: +7)
e) Qual é o antecessor de -6? ( R: -7)
f) Qual é o antecessor de 0 ? ( R: -1)

3) Escreva em Z o antecessor e o sucessor dos números:

a) +4 (R: +3 e +5)
b) -4 (R: -5 e - 3)
c) 54 (R: 53 e 55 )
d) -68 (R: -69 e -67)
e) -799 ( R: -800 e -798)
f) +1000 (R: +999 e + 1001)



NÚMEROS OPOSTOS E SIMÉTRICOS

Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma distancia do zero.


-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6


Observe que cada número inteiro, positivo ou negativo, tem um correspondente com sinais deferentes

exemplo

a) O oposto de +1 é -1.
b) O oposto de -3 é +3.
c) O oposto de +9 é -9.
d) O oposto de -5 é +5.

Obsevação: O oposto de zero é o próprio zero.

EXERCÍCIOS

1) Determine:

a) O oposto de +5 = (R:-5)
b) O oposto de -9 = (R: +9)
c) O oposto de +6 = (R: -6)
d) O oposto de -6 = (R: +6)
e) O oposto de +18 = (R: -18)
f) O oposto de -15 = (R: +15)
g) O oposto de +234= (R: -234)
h) O oposto de -1000 = (R: +1000)



COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS ,

Observe a representação gráfica dos números inteiros na reta.

-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6


Dados dois números quaisquer, o que está à direita é o mair deles, e o que está à esquerda, o menor deles.

exemplos

a) -1 maior; -4, poque -1 está à direita de -4.
b) +2 maior; -4, poque +2 está a direita de -4
c) -4 menor -2 , poque -4 está à esquerda de -2.
d) -2 menor +1, poque -2 está à esquerda de +1.

exercicios

1) Qual é o número maior ?

a) +1 ou -10 (R:+1)
b) +30 ou 0 (R: +30)
c) -20 ou 0 ( R: 0)
d) +10 ou -10 (R: +10)
e) -20 ou -10 (R: -10)
f) +20 ou -30 (R: +20)
g) -50 ou +50 (R:+50)
h) -30 ou -15 (R:-15)

2) compare os seguites pares de números, dizendo se o primeiro é maior, menor ou igual

a) +2 e + 3 (menor)
b) +5 e -5 (maior)
c) -3 e +4 (nenor)
d) +1 e -1 (maior)
e) -3 e -6 ( maior)
f) -3 e -2 (menor)
g) -8 e -2 (menor)
h) 0 e -5 (maior)
i) -2 e 0 (nenor)
j) -2 e -4 (maior)
l) -4 e -3 (menor)
m) 5 e -5 (maior)
n) 40 e +40 ( igual)
o) -30 e -10 (menor)
p) -85 e 85 (menor)
q) 100 e -200 (maior)
r) -450 e 300 (menor)
s) -500 e 400 (menor)

3) coloque os números em ordem crescente.

a) -9,-3,-7,+1,0 (R: -9,-7,-3,0,1)
b) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2)
c) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20)
d) 25,-3,-18,+15,+8,-9 (R: -18,-9,-3,+8,+15,+25)
e) +60,-21,-34,-105,-90 ( R: -105,-90,-34,-21, +60)
f) -400,+620,-840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)

4) Coloque os números em ordem decrescente

a) +3,-1,-6,+5,0 (R: +5,+3,0,-1,-6)
b) -4,0,+4,+6,-2 ( R: +6,+4,0,-2,-4)
c) -5,1,-3,4,8 ( R: 8,4,1,-3,-5)
d) +10,+6,-3,-4,-9,+1 (R: +10,+6,+1,-3,-4,-9)
e) -18,+83,0,-172, -64 (R: +83,0,-18,-64,-172)
f) -286,-740, +827,0,+904 (R: +904,+827,0,-286,-740)





ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS


ADIÇÃO



1) Adição de números positivos


A soma de dois números positivos é um número positivo.

EXEMPLO

a) (+2) + (+5) = +7
b) (+1) + (+4) = +5
c) (+6) + (+3) = +9

Simplificando a maneira de escrever

a) +2 +5 = +7
b) +1 + 4 = +5
c) +6 + 3 = +9

Observe que escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parêteses das parcelas.



2) Adição de números negativos


A soma de dois numeros negativos é um número negativo

Exemplo

a) (-2) + (-3) = -5
b) (-1) + (-1) = -2
c) (-7) + (-2) = -9

Simplificando a maneira de escrever

a) -2 - 3 = -5
b) -1 -1 = -2
c) -7 - 2 = -9

Observe que podemos simplificar a maneira de escrever deixando de colocar o sinal de + na operação e eliminando os parênteses das parcelas.

EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) +5 + 3 = (R:+8)
b) +1 + 4 = (R: +5)
c) -4 - 2 = (R: -6)
d) -3 - 1 = (R: -4)
e) +6 + 9 = (R: +15)
f) +10 + 7 = (R: +17)
g) -8 -12 = (R: -20)
h) -4 -15 = (R: -19)
i) -10 - 15 = (R: -25)
j) +5 +18 = (R: +23)
l) -31 - 18 = (R: -49)
m) +20 +40 = (R: + 60)
n) -60 - 30 = (R: -90)
o) +75 +15 = (R: +90)
p) -50 -50 = (R: -100)

2) Calcule:

a) (+3) + (+2) = (R: +5)
b) (+5) + (+1) = (R: +6)
c) (+7) + ( +5) = (R: +12)
d) (+2) + (+8) = (R: +10)
e) (+9) + (+4) = (R: +13)
f) (+6) + (+5) = (R: +11)
g) (-3) + (-2) = (R: -5)
h) (-5) + (-1) = (R: -6)
i) (-7) + (-5) = (R: -12)
j) (-4) + (-7) = (R: -11)
l) (-8) + ( -6) = (R: -14)
m) (-5) + ( -6) = (R: -11)

3) Calcule:

a) ( -22) + ( -19) = (R: -41)
b) (+32) + ( +14) = (R: +46)
c) (-25) + (-25) = (R: -50)
d) (-94) + (-18) = (R: -112)
e) (+105) + (+105) = (R: +210)
f) (-280) + (-509) = (R: -789)
g) (-321) + (-30) = (R: -350)
h) (+200) + (+137) = (R: +337)

3) Adição de números com sinais diferentes

A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos, dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto.

exemplos

a) (+6) + ( -1) = +5
b) (+2) + (-5) = -3
c) (-10) + ( +3) = -7

simplificando a maneira de escrever

a) +6 - 1 = +5
b) +2 - 5 = -3
c) -10 + 3 = -7

Note que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor absoluto

Observação:

Quando as parcelas são números opostos, a soma é igual a zero.

Exemplo

a) (+3) + (-3) = 0
b) (-8) + (+8) = 0
c) (+1) + (-1) = 0

simplificando a maneira de escrever

a) +3 - 3 = 0
b) -8 + 8 = 0
c) +1 - 1 = 0

4) Um dos numeros dados é zero

Quando um dos números é zero , a soma é igual ao outro número.

exemplo

a) (+5) +0 = +5
b) 0 + (-3) = -3
c) (-7) + 0 = -7

Simplificando a maneira de escrever

a) +5 + 0 = +5
b) 0 - 3 = -3
c) -7 + 0 = -7

exercícios

1) Calcule:

a) +1 - 6 = -5
b) -9 + 4 = -5
c) -3 + 6 = +3
d) -8 + 3 = -5
e) -9 + 11 = +2
f) +15 - 6 = +9
g) -2 + 14 = +12
h) +13 -1 = +12
i) +23 -17 = +6
j) -14 + 21 = +7
l) +28 -11 = +17
m) -31 + 30 = -1

2) Calcule:

a) (+9) + (-5) = +4
b) (+3) + (-4) = -1
c) (-8) + (+6) = -2
d) (+5) + (-9) = -4
e) (-6) + (+2) = -4
f) (+9) + (-1) = +8
g) (+8) + (-3) = +5
h) (+12) + (-3) = +9
i) (-7) + (+15) = +8
j) (-18) + (+8) = -10
i) (+7) + (-7) = 0
l) (-6) + 0 = -6
m) +3 + (-5) = -2
n) (+2) + (-2) = 0
o) (-4) +10 = +6
p) -7 + (+9) = +2
q) +4 + (-12) = -8
r) +6 + (-4) = +2


PROPRIEDADE DA ADIÇÃO

1) Fechamento : a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro

exemplo (-4) + (+7) =( +3)

2) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma.

exemplo: (+5) + (-3) = (-3) + (+5)

3) Elemento neutro: o número zero é o elemento neutro da adição.

exemplo: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8

4) Associativa: na adição de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.

exemplo: [(+8) + (-3) ] + (+4) = (+8) + [(-3) + (+4)]

5) Elemento oposto: qualquer número inteiro admite um simétrico ou oposto.

exemplo: (+7) + (-7) = 0


ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS


Para obter a soma de três ou mais números adicionamos os dois primeiros e, em seguida, adicionamos esse resultado com o terceiro, e assim por diante.

exemplos

1) -12 + 8 - 9 + 2 - 6 =
= -4 - 9 + 2 - 6 =
= -13 + 2 - 6 =
= -11 - 6 =
= -17

2) +15 -5 -3 +1 - 2 =
= +10 -3 + 1 - 2 =
= +7 +1 -2 =
= +8 -2 =
= +6

Na adição de números inteiros podemos cancelar números opostos, poque a soma deles é zero.


INDICAÇÃO SIMPLIFICADA


a) podemos dispensar o sinal de + da primeira parcela quando esta for positiva.


exemplos


a) (+7) + (-5) = 7 - 5 = +2

b) (+6) + (-9) = 6 - 9 = -3




b) Podemos dispensar o sinal + da soma quando esta for positiva


exemplos


a) (-5) + (+7) = -5 + 7 = 2

b) (+9) + (-4) = 9 - 4 = 5




EXERCÍCIOS


1) Calcule


a) 4 + 10 + 8 = (R: 22)
b) 5 - 9 + 1 = (R: -3)
c) -8 - 2 + 3 = (R: -7)
d) -15 + 8 - 7 = (R: -14)
e) 24 + 6 - 12 = (R:+18)
f) -14 - 3 - 6 - 1 = (R: -24)
g) -4 + 5 + 6 + 3 - 9 = (R: + 1)
h) -1 + 2 - 4 - 6 - 3 - 8 = (R: -20)
i) 6 - 8 - 3 - 7 - 5 - 1 + 0 - 2 = (R: -20)
j) 2 - 10 - 6 + 14 - 1 + 20 = (R: +19)
L) -13 - 1 - 2 - 8 + 4 - 6 - 10 = (R: -36)


2) Efetue, cancelando os números opostos:


a) 6 + 4 - 6 + 9 - 9 = (R: +4)
b) -7 + 5 - 8 + 7 - 5 = (R: -8)
c) -3 + 5 + 3 - 2 + 2 + 1 = (R: +6)
d) -6 + 10 + 1 - 4 + 6= (R: +7)
e) 10 - 6 + 3 - 3 - 10 - 1 = (R: -7)
f) 15 - 8 + 4 - 4 + 8 - 15 = (R: 0)


3) Coloque em forma simplificada ( sem parênteses)


a) (+1) + (+4) +(+2) = (R: 1 +4 + 2)
b) (+1) + (+8) + (-2) = (R: 1 + 8 - 2)
c) (+5) +(-8) + (-1) = (R: +5 - 8 - 1)
d) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -6 - 2 + 1)


4) Calcule:


a) (-2) + (-3) + (+2) = (R: -3)
b) (+3) + (-3) + (-5) = (R: -5)
c) (+1) + (+8) +(-2) = (R: +7 )
d) (+5) + (-8) + (-1) = (R: -4)
e) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -7)
f) (-8) + ( +6) + (-2) = (R: -4)
g) (-7) + 6 + (-7) = (R: -8)
h) 6 + (-6) + (-7) = (R: -7)
i) -6 + (+9) + (-4) = (R: -1)
j) (-4) +2 +4 + (+1) = (R: +3)


5) Determine as seguintes somas


a) (-8) + (+10) + (+7) + (-2) = (R: +7)
b) (+20) + (-19) + (-13) + (-8) = (R: -20)
c) (-5) + (+8) + (+2) + (+9) = (R: +14)
d) (-1) + (+6) + (-3) + (-4) + (-5) = (R: -7)
e) (+10) + (-20) + (-15) + (+12) + (+30) + (-40) = (R: -23)


6) Dados os números x= 6, y = 5 e z= -6, calcule


a) x + y = (R: +11)
b) y + z = (R: -4)
c) x + z = (R: -3)



SUBTRAÇÃO



A operação de subtração é uma operação inversa à da adição


Exemplos


a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = = +4
b) (-6) - (+9) = (-6) + (-9) = -15
c) (+5) - (-2) = ( +5) + (+2) = +7


Conclusão: Para subtraimos dois números relativos, basta que adicionemos ao primeiro o oposto do segundo.


Observação: A subtração no conjunto Z tem apenas a propriedade do fechamento ( a subtração é sempre possivel)



ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES PRECEDIDOS DE SINAL NEGATIVO


Para facilitar o cálculo, eliminamos os parênteses usando o segnificado do oposto

veja:

a) -(+8) = -8 (significa o oposto de +8 é -8 )

b) -(-3) = +3 (significa o oposto de -3 é +3)

analogicamente:

a) -(+8) - (-3) = -8 +3 = -5

b) -(+2) - (+4) = -2 - 4 = -6

c) (+10) - (-3) - +3) = 10 + 3 - 3 = 10

conclusão: podemos eliminar parênteses precedidos de sinal negativo trocando-se o sínal do número que está dentro dos parênteses.

EXERCÍCIOS

1) Elimine os parênteses

a) -(+5) = -5
b) -(-2) = +2
c) - (+4) = -4
d) -(-7) = +7
e) -(+12) = -12
f) -(-15) = +15
g) -(-42) = +42
h) -(+56) = -56

2) Calcule:

a) (+7) - (+3) = (R: +4)
b) (+5) - (-2) = (R: +7)
c) (-3) - ( +8) = (R: -11)
d) (-1) -(-4) = (R: +3)
e) (+3) - (+8) = (R: -5)
f) (+9) - (+9) = (R: 0 )
g) (-8) - ( +5) = (R: -13)
h) (+5) - (-6) = (R: +11)
i) (-2) - (-4) = (R: +2)
j) (-7) - (-8) = (R: +1)
l) (+4) -(+4) = (R: 0)
m) (-3) - ( +2) = (R: -5)
n) -7 + 6 = (R: -1)
o) -8 -7 = (R: -15)
p) 10 -2 = (R: 8)
q) 7 -13 = (R: -6)
r) -1 -0 = (R: -1)
s) 16 - 20 = (R: -4)
t) -18 -9 = (R: -27)
u) 5 - 45 = (R:-40)
v) -15 -7 = (R: -22)
x) -8 +12 = (R: 4)
z) -32 -18 = (R:-50)

3) Calcule:

a) 7 - (-2) = (R: 9)
b) 7 - (+2) = (R: 5)
c) 2 - (-9) = (R: 11)
d) -5 - (-1) = (R: -4)
e) -5 -(+1) = (R: -6)
f) -4 - (+3) = (R: -7)
g) 8 - (-5) = (R: 13)
h) 7 - (+4) = (R: 3)
i) 26 - 45 = (R: -19)
j) -72 -72 = (R: -144)
l) -84 + 84 = (R: 0)
m) -10 -100 = (R: -110)
n) -2 -4 -1 = (R: -7)
o) -8 +6 -1 = (R: -3)
p) 12-7 + 3 = (R: 8)
q) 4 + 13 - 21 = (R: -4)
r) -8 +8 + 1 = (R: 1)
s) -7 + 6 + 9 = (R: 8)
t) -5 -3 -4 - 1 = (R: -13)
u) +10 - 43 -17 = (R: -50)
v) -6 -6 + 73 = (R: 61)
x) -30 +30 - 40 = (R: -40)
z) -60 - 18 +50 = (R: -28)



4) Calcule:

a) (-4) -(-2)+(-6) = (R: -8)
b) (-7)-(-5)+(-8) = (R: -10)
c) (+7)-(-6)-(-8) = (R: 21)
d) (-8) + (-6) -(+3) = (R: -17)
e) (-4) + (-3) - (+6) = (R: -13)
f) 20 - (-6) - (-8) = (R: 34)
g) 5 - 6 - (+7) + 1 = (R: -7)
h) -10 - (-3) - (-4) = (R: -3)
i) (+5) + (-8) = (R: -3)
j) (-2) - (-3) = (R: +1)
l) (-3) -(-9) = (R: +6)
m) (-7) - (-8) =(R: +1)
n) (-8) + (-6) - (-7) = (R: -7)
o) (-4) + (-6) + (-3) = (R: -13)
p) 15 -(-3) - (-1) = (R: +19)
q) 32 - (+1) -(-5) = (R: +36)


5) Calcule:

a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (R: -9)
b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9)
c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0)
d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12)
e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13)
f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 )
g) -2 + (-1) -6 = (R: -9)
h) -(+7) -4 -12 = (R: -23)
i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 )
j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50)
l) -50 - (+7) -43 = (R: -100)
m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4)
n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) = (R: 11)
o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 = (R: 10)
p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40)
q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11)
r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 = (R: 20)


ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES

1) parenteses precedidos pelo sinal +

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede, devemos conservar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

a) + (-4 + 5) = -4 + 5

b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7

2) Parênteses precedidos pelo sinal -

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de - que os precede, devemos trocar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

a) -(4 - 5 + 3) = -4 + 5 -3

b) -(-6 + 8 - 1) = +6 -8 +1

EXERCICIOS

1) Elimine os parênteses:

a) +(-3 +8) = (R: -3 + 8)
b) -(-3 + 8) = (R: +3 - 8)
c) +(5 - 6) = (R: 5 -6 )
d) -(-3-1) = (R: +3 +1)
e) -(-6 + 4 - 1) = (R: +6 - 4 + 1)
f) +(-3 -2 -1) = (R: -3 -2 -1 )
g) -(4 -6 +8) = (R: -4 +6 +8)
h) + (2 + 5 - 1) = (R: +2 +5 -1)

2) Elimine os parênteses e calcule:

a) + 5 + ( 7 - 3) = (R: 9)
b) 8 - (-2-1) = (R: 11)
c) -6 - (-3 +2) = (R: -5)
d) 18 - ( -5 -2 -3 ) = (R: 28)
e) 30 - (6 - 1 +7) = (R: 18)
f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4) = (R: 3)
g) 4 + (3 - 5) + ( -2 -6) = (R: -8)
h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10) = (R: 13)
i) 20 - (-6 +8) - (-1 + 3) = (R: 16)
j) 35 -(4-1) - (-2 + 7) = (R: 27)

3) Calcule:

a) 10 - ( 15 + 25) = (R: -30)
b) 1 - (25 -18) = (R: -6)
c) 40 -18 - ( 10 +12) = (R: 0)
d) (2 - 7) - (8 -13) = (R: 0 )
e) 7 - ( 3 + 2 + 1) - 6 = (R: -5)
f) -15 - ( 3 + 25) + 4 = (R: -39)
g) -32 -1 - ( -12 + 14) = (R: -35)
h) 7 + (-5-6) - (-9 + 3) = (R: 2)
i) -(+4-6) + (2 - 3) = (R: 1)
j) -6 - (2 -7 + 1 - 5) + 1 = (R: 4)

EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

Lembre-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem:

1°) PARÊNTESES ( ) ;

2°) COLCHETES [ ] ;

3°) CHAVES { } .

Exemplos:

1°) exemplo

8 + ( +7 -1 ) - ( -3 + 1 - 5 ) =
8 + 7 - 1 + 3 - 1 + 5 =
23 - 2 = 21

2°) exemplo

10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6 ) ] =
10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] =
10 - 3 + 1 + 2 - 6 =
13 - 9 =
= 4

3°) exemplo

-17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]} =
-17 + { +5 - [ +2 + 6 - 9]} =
-17 + { +5 - 2 - 6 + 9 } =
-17 +5 - 2 - 6 + 9 =
-25 + 14 =
= - 11

EXERCICIOS

a) Calcule o valor das seguintes expressões :

1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (R: 17)
2) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) = (R: 20 )
3) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) = (R: 15)
4) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) = (R: 17)
5) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 )
6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] = (R: -5)
7) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4)
8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21)
9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26)
10) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } = (R: -2)
11) 3 - { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18)
12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] } = (R: -20)
13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] } = (R: -29)
14) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 )
15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33)
16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1)
17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7 - 3) - 2] + 6 } = (R: 3 )
18) -{ -2 - [ -3 - (-5) + 1 ]} - 18 = (R: -13)
19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12 - 6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15)
20) {[( -50 -10) + 11 + 19 ] + 20 } + 10 = (R: 0 )


MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

MULTIPLICAÇÃO


1) multiplicação de dois números de sinais iguais

observe o exemplo

a) (+5) . (+2) = +10
b) (+3) . (+7) = +21
c) (-5) . (-2) = +10
d) (-3) . (-7) = +21


conclusão: Se os fatores tiverem sinais iguais o produto é positivo

2) Multiplicação de dois produtos de sinais diferentes

observe os exemplos

a) (+3) . (-2) = -6
b) (-5) . (+4) = -20
c) (+6) . (-5) = -30
d) (-1) . (+7) = -7

Conclusão : Se dois produtos tiverem sinais diferentes o poduto é negativo


Regra pratica dos sinais na multiplicação

SINAIS IGUAIS: o resultado é positivo +


a) (+) . (+) = (+)

b) (-) . (-) = (+)

SINAIS DIFERENTES: o resultado é negativo -

a) (+) . (-) = (-)

b) (-) . (+) = (-)



EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações

a) (+8) . (+5) = (R: 40)
b) (-8) . ( -5) = (R: 40)
c) (+8) .(-5) = (R: -40)
d) (-8) . (+5) = (R: -40)
e) (-3) . (+9) = (R: -27)
f) (+3) . (-9) = (R: -27)
g) (-3) . (-9) = (R: 27)
h) (+3) . (+9) = (R: 27)
i) (+7) . (-10) = (R: -70)
j) (+7) . (+10) = (R: 70)
l) (-7) . (+10) = (R: -70)
m) (-7) . (-10) = (R: 70)
n) (+4) . (+3) = (R: 12)
o) (-5) . (+7) = (R: -35)
p) (+9) . (-2) = (R: -18)
q) (-8) . (-7) = (R: 56)
r) (-4) . (+6) = (R: -24)
s) (-2) .(-4) = (R: 8 )
t) (+9) . (+5) = (R: 45)
u) (+4) . (-2) = (R: -8)
v) (+8) . (+8) = (R: 64)
x) (-4) . (+7) = (R: -28)
z) (-6) . (-6) = (R: 36)

2) Calcule o produto

a) (+2) . (-7) = (R: -14)
b) 13 . 20 = (R: 260)
c) 13 . (-2) = (R: -26)
d) 6 . (-1) = (R: -6)
e) 8 . (+1) = (R: 8)
f) 7 . (-6) = (R: -42)
g) 5 . (-10) = (R: -50)
h) (-8) . 2 = (R: -16)
i) (-1) . 4 = (R: -4)
j) (-16) . 0 = (R: 0)


MULTIPLICAÇAO COM MAIS DE DOIS NÚMEROS

Multiplicamos o primeiro número pelo segundo, o produto obtido pelo terceiro e assim sucessivamente, até o ultimo fator

exemplos

a) (+3) . (-2) . (+5) = (-6) . (+5) = -30

b) (-3) . (-4) . (-5) . (-6) = (+12) . (-5) . (-6) = (-60) . (-6) = +360


EXERCÍCIOS

1) Determine o produto:

a) (-2) . (+3) . ( +4) = (R: -24)
b) (+5) . (-1) . (+2) = (R: -10)
c) (-6) . (+5) .(-2) = (R: +60)
d) (+8) . (-2) .(-3) = (R: +48)
e) (+1) . (+1) . (+1) .(-1)= (R: -1)
f) (+3) .(-2) . (-1) . (-5) = (R: -30)
g) (-2) . (-4) . (+6) . (+5) = (R: 240)
h) (+25) . (-20) = (R: -500)
i) -36) .(-36 = (R: 1296)
j) (-12) . (+18) = (R: -216)
l) (+24) . (-11) = (R: -264)
m) (+12) . (-30) . (-1) = (R: 360)
2) Calcule os produtos

a) (-3) . (+2) . (-4) . (+1) . (-5) = (R: -120)
b) (-1) . (-2) . (-3) . (-4) .(-5) = (R: -120)
c) (-2) . (-2) . (-2) . (-2) .(-2) . (-2) = (R: 64)
d) (+1) . (+3) . (-6) . (-2) . (-1) .(+2)= (R: -72)
e) (+3) . (-2) . (+4) . (-1) . (-5) . (-6) = (R: 720)
f) 5 . (-3) . (-4) = (R: +60)
g) 1 . (-7) . 2 = (R: -14)
h) 8 . ( -2) . 2 = (R: -32)
i) (-2) . (-4) .5 = (R: 40)
j) 3 . 4 . (-7) = (R: -84)
l) 6 .(-2) . (-4) = (R: +48)
m) 8 . (-6) . (-2) = (R: 96)
n) 3 . (+2) . (-1) = (R: -6)
o) 5 . (-4) . (-4) = (R: 80)
p) (-2) . 5 (-3) = (R: 30)
q) (-2) . (-3) . (-1) = (R:-6)
r) (-4) . (-1) . (-1) = (R: -4)


3) Calcule o valor das expressões:

a) 2 . 3 - 10 = (R: -4)
b) 18 - 7 . 9 = (R: -45)
c) 3. 4 - 20 = (R: -8)
d) -15 + 2 . 3 = (R: -9)
e) 15 + (-8) . (+4) = (R: -17)
f) 10 + (+2) . (-5) = (R: 0 )
g) 31 - (-9) . (-2) = (R: 13)
h) (-4) . (-7) -12 = (R: 16)
i) (-7) . (+5) + 50 = (R: 15)
j) -18 + (-6) . (+7) = (R:-60)
l) 15 + (-7) . (-4) = (R: 43)
m) (+3) . (-5) + 35 = (R: 20)

4) Calcule o valor das expressões

a) 2 (+5) + 13 = (R: 23)
b) 3 . (-3) + 8 = (R: -1)
c) -17 + 5 . (-2) = (R: -27)
d) (-9) . 4 + 14 = (R: -22)
e) (-7) . (-5) - (-2) = (R: 37)
f) (+4) . (-7) + (-5) . (-3) = (R: -13)
g) (-3) . (-6) + (-2) . (-8) = (R: 34)
h) (+3) . (-5) - (+4) . (-6) = (R: 9)

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

1) Fechamento: o produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

exemplo: (+2) . (-5) = (-10)

2) Comultativa: a ordem dos fatores não altera o produto.

exemplo: (-3) . (+5) = (+5) . (-3)

3) Elemento Neutro: o número +1 é o elemento neutro da multiplicação.

Exemplos: (-6) . (+1) = (+1) . (-6) = -6

4) Associativa: na multiplicação de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.

exemplo: (-2) . [(+3) . (-4) ] = [ (-2) . (+3) ] . (-4)

5) Distributiva

exemplo: (-2) . [(-5) +(+4)] = (-2) . (-5) + (-2) . (+4)




DIVISÃO


Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação

Observe:

a) (+12) : (+4) = (+3) , porque (+3) . (+4) = +12
b) (-12) : (-4) = (+3) , porque (+3) . (-4) = -12
c) (+12) : (-4) = (-3) , porque (-3) . (-4) = +12
d) (-12) : (+4) = (-3), porque (-3) . (+4) = -12



REGRA PRÁTICA DOS SINAIS NA DIVISÃO

As regras de sinais na divisão é igual a da multiplicação:

SINAIS IGUAIS: o resultado é +

(+) : (+) = (+)

(-) : (-) = (-)

SINAIS DIFERENTES : o resultado é -

(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)


EXERCÍCIOS

1) Calcule o quocientes:

a) (+15) : (+3) = (R: 5 )
b) (+15) : (-3) = (R: -5)
c) (-15) : (-3) = (R: 5)
d) (-5) : (+1) = (R: -5)
e) (-8) : (-2) = (R: 4)
f) (-6) : (+2) = (R: -3)
g) (+7) : (-1) = (R: -7)
h) (-8) : (-8) = (R: 1)
f) (+7) : (-7) = (R: -1)

2) Calcule os quocientes

a) (+40) : (-5) = (R: -8)
b) (+40) : (+2) = (R: 20)
c) (-42) : (+7) = (R: -6)
d) (-32) : (-8)= (R: 4)
e) (-75) : (-15) = (R: 5)
f) (-15) : (-15) = (R: 1)
g) (-80) : (-10) = (R: 8)
h) (-48 ) : (+12) = (R: -4)
l) (-32) : (-16) = (R: 2)
j) (+60) : (-12) = (R: -5)
l) (-64) : (+16) = (R: -4)
m) (-28) : (-14) = (R: 2)
n) (0) : (+5) = (R: 0)
o) 49 : (-7) = (R: -7)
p) 48 : (-6) = (R: -8)
q) (+265) : (-5) = (R: -53)
r) (+824) : (+4) = (R: 206)
s) (-180) : (-12) = (R: 15)
t) (-480) : (-10) = (R: 48)
u) 720 : (-8) = (R: -90)
v) (-330) : 15 = (R: -22)



3) Calcule o valor das expressões

a) 20 : 2 -7 = (R: 3 )
b) -8 + 12 : 3 = (R: -4)
c) 6 : (-2) +1 = (R: -2)
d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5)
e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12)
f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35)
g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8)
h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10)
i) -14 + 42 : 3 = (R: 0)
j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11)
l) (-12) 3 + 6 = (R: 2)
m) (-54) : (-9) + 2 = (R: 8)
n) 20 + (-10) . (-5) = (R: 70)
o) (-1) . (-8) + 20 = (R: 28 )
p) 4 + 6 . (-2) = (R: -8)
q) 3 . (-7) + 40 = (R: 19)
r) (+3) . (-2) -25 = (R: -31)
s) (-4) . (-5) + 8 . (+2) = (R: 36)
t) 5: (-5) + 9 . 2 = (R: 17)
u) 36 : (-6) + 5 . 4 = (R: 14)
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RAIZ QUADRADA

Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado.
Exemplos:
a) √49 = 7 porque 7² = 49
b) √100 = 10 porque 10² = 100

NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS

Vamos calcular os quadrados dos primeiros números naturais:
0² = 0
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49

Os números : 0,1,4,9,16,25,36,49,..........chamam-se quadrado perfeito. Somente esses números possuem raiz quadrada exata em IN.



RAIZ QUADRADA APROXIMADA

Vamos calcular a raiz quadrada do número 23.

Esse número compreendido entre os quadrados perfeitos 16 e 25

Veja: 16 é menor 23 é menor 25.

Extraindo a raiz quadrada desses números, temos: √16, √23, √25.
4 é menor que √23 é menor que 5.

Dizemos então que: 4 é raiz quadrada aproximada, por falta, de 23.
E 5 é a raiz quadrada aproximada por excesso de 23

1) Determine cada raiz, justificando o resultado: Exercício resolvido : √25 = 5 porque 5² = 25

a) √4 = (R: 2)b) √64 = ( R: 8)
c) √81 = (R: 9)d) √49 = (R: 7)e) √0 = ( R: 0)f) √1 = (R: 1)g) √100 = (R: 10)h) √121 = (R: 11)i) √169 = ( R: 13)j) √400 = (R: 20)k) √900 = (R: 30)l) √225 = (R:15)
2) Calcule

a) √1 + √0 = (R: 1)
b) √64 - √49 = ( R: 1)
c) 15 + √81 = (R: 24)d) 2 + √4/9 = (R: 8/3)
e) -3 + √16 = ( R: 1)
f) -5 - √36 = (R: -11)
g) 3√16 – 9 = (R: 3)

3) Calcule

a) √81 = (R: 9)
b) √36 = (R: 6)
c) √144 = (R: 12)
d) √196 = (R: 14)
e) √1600 = (R: 40)
f) √100 = (R:10)
g) -√100 = (R: -10)
h) √121 = (R: 11)
i) -√121 = (R: -11)
j) √400 = (R: 20)
k) -√400 = (R: -20)
l) √4/9 = (R: 2/3)
m) √1/16 = ( R: 1/4)
n) √64/81 = (R: 8/9)
o) √49/25 = (R: 7/5)


4) Calcule

a) 10.√4 = (R: 20)
b) 3 + √25 = (R: 8)
c) 1 - √4/9 = ( R: 2/3)
d) √81-√9 = ( R: 6)
e) √100 - √25 = (R: 5)
f) √25/36 - √1/9 = (R:3/6)
g) 4 . √4/100 = (R:8/10 ou 4/5)

5) Se √x = 30, então o valor de x é:

a) 60
b) 90
c) 600
d) 900 (X)
6) O valor de expressões √0 + √1 - √1/4 é:

a) 1/4
b) 3/2
c) 1/2 (X)d) 3/4

7) O valor da expressão 7² - √64 + 3² é:
a) 42
b) 51
c) 50 (x)d) 38

Insetos (Insecta)

Os insetos compreendem o mais numeroso grupo de animais. Existem mais de 750.000 mil espécies descritas. Encontra-se nesta classe uma grande irradiação adaptativa, o que proporcionou a estes animais o sucesso de sobrevivência.

Possuem uma importância econômica e ecológica muito grande, muitas flores dependem dos insetos polinizadores para sua reprodução, muitos insetos são vetores de doenças e pragas na agricultura, etc.

Estrutura corporal

O corpo dos insetos é dividido em cabeça, tórax e abdome. Possuem 3 pares de pernas, um ou dois pares de asas, um par de antenas e um par de olhos compostos. São hipognatos (peças bucais dirigidas para baixo), algumas espécies predadoras possuem as peças dirigidas para frente, e os hemípteros e homópteros (sugadores) possuem as peças voltadas para trás.
O tórax é dividido em protórax, mesotórax e metatórax. Cada segmento possui um par de pernas.

Vôo

Muitos insetos possuem asas e esta é uma característica marcante e muito importante na adaptação destes animais. Algumas espécies possuem asas em apenas curtos períodos do clico de vida. As asas são dobras do tegumento e compostas de duas camadas de cutícula. As nervuras formam um suporte esquelético para a asa. Cada inseto possui uma asa adaptada ao tipo de vôo. As asas têm caráter sistemático nos insetos.
Elas movimentam-se para cima e para baixo, para frente e para trás, para que possam voar. Estes movimentos acontecem graças ã contração de uma série de músculos, existindo um impulso nervoso para cada contração muscular.
A velocidade do batimento da asa também varia conforme a espécie, a modalidade de vôo e do fluxo de ar.

Digestão

A dietas são muito variadas e os insetos possuem um aparelho bucal para cada tipo: sugador, picador, mastigador e lambedor.
A maioria dos insetos possui glândulas salivares labiais. Em algumas mariposas, abelhas e vespas estas glândulas secretam o material de seda para a confecção da pupa.
A maioria possui cecos gástricos, que abrigam um regenerador da fauna bacteriana no intestino.

Circulação

O coração está localizado no seio pericárdico e é de forma tubular. O sangue dos insetos é de cor verde ou incolor. A circulação é do tipo aberta.

Respiração

É realizada por traquéias, onde existem numerosas invaginações no corpo, que se ramificam muito até entrar em contato com as células. Os orifícios que comunicam as traquéias com o exterior são chamados espiráculos. Desta forma o sangue não tem função respiratória. As trocas gasosas são feitas por difusão através do gradiente de concentração.
Alguns insetos muito pequenos não possuem traquéias e suas trocas gasosas são feitas por toda a superfície do corpo.

Excreção

A excreção é feita pelos túbulos de Malpighi e a principal excreta nitrogenada é o ácido úrico, que é excretado junto com as fezes. Nem todas as excretas saem pelos túbulos de Malpighi. Alguns sais são depositados na cutícula e são descartados na muda. A excreção do ácido úrico representa uma grande economia de água, devido ao metabolismo de proteínas.

Reprodução

Os insetos são dióicos, com fecundação interna, ovíparos e possuem os seguintes tipos de desenvolvimento:

Direto: Não apresenta metamorfose, chamado de desenvolvimento ametábolo. Do ovo eclode um jovem parecido com o adulto.

Indireto: Apresentam metamorfose. De acordo com ela podem se dividir em:
- Hemimetábolos: Apresentam metamorfose incompleta. Do ovo eclode uma ninfa, semelhante ao adulto, mas sem asas. Exemplo: Libélulas

- Holometábolos: Apresentam metamorfose completa. Do ovo eclode uma larva, que se alimenta ativamente e depois forma uma pupa, que pode construir um casulo. Na pupa ocorre a metamorfose e dela sai um indivíduo adulto. Alguns representam forma larval aquática. Exemplos: mosca, borboleta, etc.

Parasitismo, comunicação e insetos sociais

O parasitismo é uma adaptação para satisfazer as necessidades alimentares de cada animal. Existem espécies parasitas de humanos, como o piolho, e vetores de doenças (veja: Dengue), como os pernilongos.
Os insetos comunicam entre si através de sinais químicos, táteis e visuais. Os ferormônios são muito conhecidos por essa comunicação química. As formigas deixam sinais químicos no solo como marcadores do caminho, por exemplo. A luz emitida pelos vagalumes tem função de atração sexual e a produção de som pelas cigarras, gafanhotos e grilos também.
Existem insetos ditos sociais, onde os indivíduos são interdependentes, embora morfologicamente diferentes. Estas organizações desenvolveram-se entre os cupins, formigas, abelhas e vespas. Existe uma hierarquia e nenhum indivíduo pode viver fora da colônia.

http://www.webbee.org.br/didatico/index.html
http://www.faunabrasil.com.br/sistema/
http://infociencia.blogs.sapo.pt/tag/formiga
http://www.geocities.com/apotecionegro/artro.html

Poríferos e celenterados

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

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www.accbarrosogestar.wordpress.com        

OS SERES VIVOSINVERTEBRADOS
Poríferos e Celenterados

Os poríferos são chamados também de esponjas e os celenterados, de cnidários:

Os poríferos, ou esponjas, surgiram há cerca de 1 bilhão de anos e, provavelmente, se originaram de seres unicelulares e heterotróficos que se agruparam em colônias. Possuem tecidos, mas não apresentam órgãos nem sistemas; são animais exclusivamente aquáticos.

Os celenterados surgiram provavelmente entre 1 bilhão e 800 milhões de anos atrás, depois dos poríferos, portanto. Ao contrário dos poríferos, os celenterados apresentam cavidade digestiva. São também animais exclusivamente aquáticos.

O corpo de uma esponja tem grande número de células que apresentam uma certa divisão de funções. Algumas dessas células são organizadas de tal maneira, que formam pequenos orifícios, denominados poros, em todo o corpo do animal. É por isso que esses seres recebem o nome de poríferos.

O corpo do porífero geralmente tem a forma de uma bolsa. A cavidade interna chama-se átrio. Na parte superior do átrio existe uma abertura, o ósculo, que serve para eliminar a água com as substâncias desnecessárias à nutrição do animal e com os detritos resultantes da atividade celular.

Esses animais não possuem órgãos especializados para digestão, excreção ou reprodução. Todas essas funções são realizadas por diferentes células.

O esqueleto das esponjas é formado por diversos tipos de substâncias. Entre elas, destacam-se as espículas de calcário ou de sílica, com formas variadas, e uma rede de proteína chamada espongina.

Em certas esponjas, o esqueleto não possui espículas, mas tem a rede de espongina bastante desenvolvida. As esponjas desse tipo foram muito utilizadas para banho e limpeza. Como a indústria passou a produzir esponjas sintéticas, o uso das esponjas naturais para essa finalidade foi substituído consideravelmente.

A maioria dos poríferos vive no mar. Podem ser encontrados desde a linha da maré até seis mil metros de profundidade. Alguns são de água doce. Vivem presos nas rochas, nas conchas, ou associados à areia do fundo do mar ou de um lago, etc.

As esponjas são animais filtradores: a água penetra em seu corpo através dos poros e cai no átrio; então certas células retiram gás oxigênio e capturam partículas alimentares presentes na água, ao mesmo tempo que elimina resíduos não aproveitáveis e gás carbônico. Essa água sai do corpo da esponja através do ósculo.

Em sua alimentação, as esponjas retiram da água detritos diversos e microorganismos, como protozoários e certas algas. O alimento assim obtido é digerido no interior de certas células - por isso se diz que os poríferos tem digestão sempre intracelular. As esponjas podem filtrar em uma hora um volume de água centenas de vezes maior que o volume de seu corpo.

A reprodução dos poríferos pode ser assexuada ou sexuada.

A assexuada ocorre, por exemplo, por brotamento. Neste caso, formam-se brotos, que podem se separar do corpo do animal e dar origem a novas esponjas.

A sexuada é menos freqüente que a reprodução assexuada, mas ocorre em alguns tipos de esponjas.

Quando os espermatozóides (gametas masculinos) estão maduros, eles saem pelo ósculo, junto com a corrente de água, e penetram em outra esponja, onde um deles fecunda um óvulo (gameta feminino). Após a fecundação, que é interna, forma-se um ovo ou zigoto, que se transforma em uma larva. Esta larva sai do corpo da esponja, nada e se fixa, por exemplo, em uma rocha, onde se desenvolve até se transformar em uma esponja adulta.

Os celenterados são também chamados cnidários. A água-viva, a caravela, a hidra e os corais são alguns exemplos de celenterados. Eles são aquáticos e vivem principalmente no mar.

A água-viva e a caravela têm vida livre e são levados pelas ondas. Os corais, a hidra e a actínia (anêmona-do-mar) vivem presos a um suporte, por exemplo, no fundo do mar ou sobre rochas.

Todos os celenterados têm o corpo formado por duas camadas de células, interligadas por uma substancia chamada mesogléia, que dá ao animal uma aparência gelatinosa.

Os celenterados podem apresentar-se sob duas formas: os pólipos ou medusas.

Pólipos: Os pólipos têm forma cilíndrica e vivem geralmente fixos, por exemplo, em uma rocha. Na sua extremidade livre, apresenta tentáculos em volta da boca.

Medusas: As medusas são geralmente semi-esféricas, como um guarda-chuva. Seus tentáculos contornam a margem do corpo, no centro do qual fica a boca. São carregadas pelas correntes, pois sua capacidade natatória é limitada.

Os celenterados possuem em seus tentáculos células urticantes ou cnidócitos. Essa células, também chamadas cnidoblastos, servem para a captura de alimentos e para a defesa do animal.

Os cnidócitos, pequenas células na forma de um saco, possuem uma cápsula (nematocisto), dentro da qual se encontra um filamento enrolado, que serve para injetar uma substância urticante. Cada cnidócito possui um cílio (cnidocílio) que, ao ser tocado, dispara um filamento. A ação conjunta de muitos cnidócitos podem ferir um predador ou paralisar rapidamente uma pequena presa. Uma vez descarregado, o cnidócito é substituído.

Quando uma presa é capturada por um celenterado, ela penetra pela boca do animal e chega até uma cavidade digestiva - aliás, o nome desse grupo vem de celo = "cavidade" e entero = "intestino". Nessa cavidade, o alimento é parcialmente digerido e depois absorvido por certas células, no interior das quais a digestão se completa. Por isso se diz que a digestão nos celenterados é extracelular (na cavidade digestiva) e também intracelular (no interior da células). Não possuindo ânus, esses animais eliminam pela boca os resíduos não aproveitáveis.

Os celenterados dividem-se em três grandes grupos:

• hidrozoários, representados pela hidra e pela caravela;
• cifozoários, representados pelas águas-vivas;
• antozoários, representados pelas actínias (ou anêmonas-do-mar) e pelos corais.

A hidra é um celenterado que tem o corpo cilíndrico e em forma de pólipo. Vive em água doce, preferencialmente em águas frias e limpas, presa por uma extremidade a um rocha ou à vegetação aquática. Tem cor verde, parda ou cinza. Algumas hidras podem se locomover dando "cambalhotas".

A hidra pode apresentar reprodução assexuada ou sexuada.

Assexuada por brotamento - No meio do corpo da hidra pode nascer um broto. Este broto cresce e separa-se da hidra-mãe. Em seguida, fixa-se em algum lugar e continua a desenvolver-se independentemente.

A hidra masculina possui testículo, onde se formam os espermatozóides. A hidra feminina possui ovário, onde se desenvolvem os óvulos. A hidra masculina elimina espermatozóides na água; estes deslocam-se até uma hidra feminina, onde o óvulo é fecundado. Forma-se, então, um zigoto ou célula-ovo, que se desenvolve no corpo da hidra feminina, transformando-se em embrião. Depois o embrião separa-se do corpo da hidra-mãe, dando origem a uma pequena hidra, que cresce até formar uma hidra masculina ou feminina adulta.

A caravela não é um animal isolado. É uma colônia de vários pólipos transparentes que, como um todo, ficam flutuando sobre a água do mar. Na colônia, grupos diferentes de pólipos desempenham funções diferentes. Uns são responsáveis pela digestão dos alimentos, outros pela reprodução, outros pela proteção de toda a colônia, e assim por diante.

Physalia physalis é uma espécie de caravela que vive em alto-mar e tem tentáculos compridos de até vinte metros ou mais. As caravelas são muito perigosas devido às substâncias urticantes que fabricam e que podem causar queimaduras às pessoas.

As águas-vivas tem a forma de medusa, lembrando um guarda-chuva aberto, com a bica situada na parte inferior, onde também ficam os tentáculos. Seu tamanho varia muito de uma espécie para outra. Algumas podem ter mais de dois metros de diâmetro. Alimentam-se principalmente de invertebrados e pequenos peixes. Às vezes são lançadas aos milhares na praia pelas ondas.

Na reprodução da água-viva observam-se uma fase sexuada e outra assexuada. A etapa sexuada acontece na forma de medusa, que é a fase mais desenvolvida do ciclo; a assexuada ocorre na forma de pólipo, que é reduzida.

Etapa sexuada - Depois que o espermatozóide fecunda o óvulo, forma-se a célula-ovo ou zigoto. Dele, desenvolve-se uma larva que dará origem a um pequeno pólipo.

Etapa assexuada - O pólipo cresce e reproduz-se assexuadamente dando origem a novas medusas, que vão se tornando adultas e se transformando em novas águas-vivas.

As actínias só existem na forma de pólipos. Parecem uma flor e, por isso, são chamadas também de anêmonas-do-mar. Possuem cores e tamanhos variados, medindo desde alguns milímetros até um metro de diâmetro. Esses animais são encontrados fixos a um suporte: uma rocha, um pedaço de madeira ou carapaças de outros animais. Alimentam-se de moluscos, crustáceos e outros invertebrados e até de pequenos peixes.

Os corais são colônias formadas por pequenos pólipos, que se reproduzem assexuadamente por brotamento. Estes pólipos unidos fabricam uma substância calcária, compondo imensas colônias. Nas colônias, os indivíduos executam determinadas funções. Alguns são responsáveis pela captura de alimentos, outros fazem a proteção da colônia e outros ainda se encarregam da reprodução.

Os corais apresentam as mais variadas cores, como vermelho, branco, rosa, laranja ou amarelo. Por isso são utilizados na decoração de aquários e até na fabricação de jóias. Vivem em águas quentes, geralmente até à profundidade de 36 metros, entretanto já foram encontrados alguns corais vivendo a 7.500 metros de profundidade.

Quando morrem, seus esqueletos permanecem intactos e servem de suporte para outros pólipos da colônia, formando, assim, os recifes de corais. Em muitos casos, esses recifes oferecem perigo às embarcações, constituindo verdadeiras armadilhas submarinas. A Grande Barreira de Recifes, na costa nordeste da Austrália, resulta principalmente da acumulação de esqueletos calcários de corais e é um sério obstáculo à navegação.

- C U R I O S I D A D E S -

Medusas - Existem medusas de doze milímetros até dois metros de diâmetro, como as do gênero Cyanea, que vivem no oceano Ártico e possuem tentáculos de até trinta metros de comprimento.

No oceano Índico e Pacífico vivem medusas chamadas vespas-do-mar, que possuem veneno capaz de matar um homem. Nas águas brasileiras, as espécies mais comuns pertencem ao gênero Rhizostoma e não são tão perigosas para o ser humano.

No verão, são comuns os acidentes provocados por águas-vivas em pessoas que freqüentam as praias. A gravidade vai depender da extensão do corpo que for atingida.

A presença de cnidócitos garante uma eficiente defesa do animal, que tem poucos predadores. Mas a tartaruga, seu principal predador, possui na boca e no esôfago um revestimento protéico de queratina, que a protege contra o líquido urticante. A queratina também está presente na formação da carapaça das tartarugas.

As medusas são bastante gulosas. A Aurelia, pro exemplo, muito comum em todo o mundo, mede cerca de 25 centímetros de diâmetro e é capaz de matar diz filhotes de salmão por hora.

Elas se locomovem através de um sistema de propulsão a jato. Quando contraem os músculos da borda do corpo, expulsam um forte jato de água que as impulsiona para a frente.

Em 1991, 2.500 medusas passaram nove dias em órbita a bordo do ônibus espacial norte-americano Columbia. Foram escolhidas para estudo do efeito da falta de gravidade sobre seus processos de reprodução, crescimento e locomoção.

Aqui na Terra, as medusas são utilizadas em pesquisas de farmacologia marinha. Elas produzem uma fotoproteína que, ao entrar em contato com o cálcio, fica luminosa. Assim, procura-se descobrir o papel do cálcio em contrações musculares.

As sócias dos corais - Os pólipos que formam os corais contam com a ajuda de pequenas algas unicelulares que vivem no interior de seus tecidos. Essas algas auxiliam na produção de carbonato de cálcio, que forma os esqueletos produzidos pelos pólipos.

Os esqueletos que vão sendo construídos tem as mais variadas formas, que se adaptam bem ao ambiente em que se encontram. Os corais em forma de cérebro são encontrados mais facilmente no fundo do mar; os corais poritos e acróporos vivem nas regiões superficiais, pois suportam por mais tempo o impacto das ondas sem se quebrarem.

O perigo ronda os corais - Na década de 1960, por motivos desconhecidos, apareceu nos recifes do oceano Pacífico um número alarmante de estrelas-do-mar chamadas coroa-de-espinhos (gênero Acanthaster). No ano de 1965, elas destruíram cerca de 360 km² de recifes na Austrália.

A coroa-de-espinhos tem dezesseis braços e é uma devoradora de pólipos de coral. Para se alimentar, ela everte seu estômago e espalha sobre eles seu líquido digestivo.

Muitos biólogos acreditam que o aumento do número dessas estrelas seja devido ao desequilíbrio ecológico causado pelo homem.

A guarda-costas do ermitão - O caranguejo-ermitão, ou paguro, esconde seu abdome mole dentro de conchas vazias de moluscos.

Este caranguejo costuma capturar algumas anêmonas alojando-as sobre a concha. A anêmona, assim instalada, não precisa locomover-se e ainda tem um suprimento constante dos restos alimentares do ermitão. Em compensação, a anêmona, com o líquido urticante de seus tentáculos, serve como verdadeira guarda-costas para o caranguejo, afastando predadores desse animal, como alguns polvos.

Assim, o caranguejo e a anêmona estabelecem uma relação de mutualismo, em que ambos são beneficiados.