Polinômios

I - Polinômios

1 - Definição:

Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi , onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária tal que i2 = -1) .

Entende-se por polinômio em C à função:
P(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an , onde os números complexos ao , a1 , ... , an são os coeficientes , n é um número natural denominado grau do polinômio e x é a variável do polinômio.

Exemplo :
P(x) = x5 + 3x2 - 7x + 6 (ao = 1 , a1 = 0 , a2 = 0 , a3 = 3 , a4 = -7 e a5 = 6 ).
O grau de P(x) é igual a 5 .

Nota: Os polinômios recebem nomes particulares a saber:
Binômio : possuem dois termos. Exemplo : r(x) = 3x + 1 (grau 1).
Trinômio: possuem 3 termos: Exemplo : q(x) = 4x2 + x - 1 ( grau 2).
A partir de 4 termos, recorre-se à designação genérica : polinômios.

1.1 - Valor numérico do polinômio

Sendo m um número complexo ( lembre-se que todo número real é também um número complexo) , denominamos valor numérico de um polinômio P(x) para x = m , ao valor P(m) ou seja o valor que obtemos substituindo x por m .

Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x3 - 5x + 2 para x = -1?
Teremos, substituindo a variável x por x = -1 Þ p(-1) = (-1)3 - 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6 \ p(-1) = 6.

1.2 - Raiz (ou zero) de um polinômio

O número complexo m é raiz ou zero do polinômio P(x) quando P(m) = 0 .

Exemplo: i é raiz do polinômio P(x) = x2 + 1 , pois P(i) = 0 .
Lembre-se que i2 = -1, ou seja , o quadrado da unidade imaginária é igual a -1.
O número natural 2 é raiz do polinômio P(x) = x3 - 2x2 - x + 2 , pois P(2) = 0 (verifique!) .

1.3 - Soma dos coeficientes de um polinômio

Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x) , basta calcular o valor numérico do polinômio para x = 1 ou seja, calcular P(1).

Exemplos:
a) P(x) = 2x4 + 3x2 - 7x + 10 ® S = P(1) = 2 + 3 - 7 + 10 = 8.
b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x156 + x?
Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1156 = 1).

IMPORTANTE: Às vezes, um polinômio pode vir expresso como uma potência do tipo (x + a)n , denominado binômio de Newton (Isaac Newton - físico, astrônomo e matemático inglês, 1642 - 1727) . Ainda assim, a propriedade anterior é válida.
Por exemplo, qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = ( 2x - 3)102 ?
Ora, substituindo x por 1, vem: S = (2.1 - 3)102 = (2-3)102 = (-1)102 = 1 (lembre-se que toda potência de expoente par é positiva).

Outro exemplo:
Qual a soma dos coeficientes do polinômio T(x) = (5x + 1)4 ?
Ora, temos para x = 1 : S = T(1) = (5.1 + 1)4 = 64 = 6.6.6.6 = 1296

2 - Identidade de polinômios

2.1 - Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x . Indicamos P º 0 (polinômio nulo) .
Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero) .

2.2 - Polinômios idênticos - São polinômios iguais .
Se P e Q são polinômios idênticos , escrevemos P º Q . É óbvio que se dois polinômios são idênticos , então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais .
A expressão P º Q é denominada identidade .

Exercício resolvido:

Sendo P(x) = Q(x) + x2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x) , calcule o valor de P(1) - Q(2) .

Solução:
Ora, se 2 é raiz de P(x), então sabemos que P(2) = 0 e se 1 é raiz de Q(x) então Q(1) = 0. Temos então substituindo x por 1 na expressão dada : P(1) = Q(1) + 12 + 1 + 1 \
P(1) = 0 + 1 + 1+ 1 = 3. Então P(1) = 3. Analogamente , poderemos escrever :
P(2) = Q(2) + 22 + 2 + 1 \ 0 = Q(2) + 7 , logo Q(2) = -7. Logo P(1) - Q(2) = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10.
Resp: 10

3 - Divisão de polinômios

Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo , significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições:

1) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) . (Analogia ® 46:6 = 7 e resto 4 \ 46 = 6.7 + 4) .
2) gr R(x) < gr D(x), onde gr indica o grau do polinômio.

Notas:
1) se R(x) = 0 , então dizemos que P(x) é divisível por D(x) .
2) se gr P > gr D então gr (P : D) = gr P - gr D .
3) não se esqueça que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor .
4) se gr P(x) < gr D(x) então Q(x) = 0 e R(x) = P(x) .

3.1 - Resto da divisão pelo binômio x - a.

Teorema do resto : o resto da divisão de P(x) por x - a é igual a P(a) .
Demonstração : Podemos escrever P(x) = (x - a) . Q(x) + R(x) ;
Logo, fazendo x = a vem imediatamente que P(a) = (a - a) . Q(a) + R(a) , de onde se conclui que
P(a) = R onde R é o resto da divisão .

Conseqüência : Se P(a) = 0 , então R = 0 ( R = resto ) e portanto , P(x) é divisível por x - a .
Essa afirmação é conhecida como teorema de D’Alembert (Jean Le Rond D’Alembert (1717 - 1783) , célebre matemático francês, que teve o seu no nome tirado da Igreja de St. Jean Baptiste le Ronde, perto da Notre Dame de Paris , em cujos degraus foi encontrado abandonado quando criança! ).

II - Equações Algébricas

Sendo P(x) um polinômio em C , chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0 . Portanto , as raízes da equação algébrica , são as mesmas do polinômio P(x) . O grau do polinômio , será também o grau da equação .
Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau .

Propriedades importantes :

P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .
Exemplo: a equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.

P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação , o que se consegue dividindo P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini.
Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.

P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será
raiz .
Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os
números 5, 3 + 2i e 4 - 3i.
Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.

P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .
Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de
multiplicidade 10 .
Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).
Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero .

P6 - Toda equação de termo independente nulo , admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável .
Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas .
A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!

P7 - Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 , então ela pode ser escrita na forma fatorada :
ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever:
(x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 . (verifique!).

Relações de Girard - Albert Girard (1590-1633).

São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica .
Para uma equação do 2º grau , da forma ax2 + bx + c = 0 , já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2 :
x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a .

Para uma equação do 3º grau , da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 , sendo x1 , x2 e x3 as raízes , temos as seguintes relações de Girard :
x1 + x2 + x3 = - b/a
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
x1.x2.x3 = - d/a

Para uma equação do 4º grau , da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , sendo as raízes iguais a
x1 , x2 , x3 e x4 , temos as seguintes relações de Girard :

x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
x1.x2x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - d/a
x1.x2.x3.x4 = e/a

NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( - ) , tornando fácil a memorização das fórmulas

Agora que você estudou a teoria, tente resolver as questões a seguir:

1 - UEFS-91/1 - Sejam três polinômios em x:
P = -2x3 - 2x2 + 2x -1 ; Q = ( 2x2 + 3) ( x - 1 ) e R = -4x + 3 .
Dividindo-se P - Q por R, encontram-se quociente e resto respectivamente iguais a:
Resp: x2 + (3/4)x + 13/16 e -7/16

2 - UEFS-92/1- Sejam P = 5x - 2 , Q = ( 4 + 25x2 )2 e R = 5x + 2; então (PR)2 - Q é:
Resp: - 400x2

3 - UEFS-92/1 - Se o resto da divisão de P(x) = x3 + ax + b por Q(x) = x2 + x + 2 é 4, então a + b vale:
Resp: 3

4 - UEFS-93/1 - O conjunto verdade da equação 18x3 + 9x2 - 2x -1 = 0 está contido em:
a) [-2,-1)
*b) [-1,1)
c) [1,2)
d) [2,3)
e) [3,4)

5 - UEFS-94/1 - A soma das raízes da equação 2x4 - 3x3 + 3x - 2 = 0 é:
Resp: 3/2

Sistema

(CONCURSO TFC/2001-ESAF) Achar uma fração equivalente a 7/8 cuja soma dos termos é 120:

Solução pela matemática tradicional:

Solução através das dicas:
120 (corresponde a soma dos termos)

fonte:matematicapratica.com

Polígonos

fonte:http://www.matematiques.com.br

SISTEMA MUSCULAR

SISTEMA MUSCULAR

O tecido muscular é de origem mesodérmica, sendo caracterizado pela propriedade de contração e distensão de suas células, o que determina a movimentação dos membros e das vísceras. Há basicamente três tipos de tecido muscular: liso, estriado esquelético e estriado cardíaco.



Músculo liso: o músculo involuntário localiza-se na pele, órgãos internos, aparelho reprodutor, grandes vasos sangüíneos e aparelho excretor. O estímulo para a contração dos músculos lisos é mediado pelo sistema nervoso vegetativo.



Músculo estriado esquelético: é inervado pelo sistema nervoso central e, como este se encontra em parte sob controle consciente, chama-se músculo voluntário. As contrações do músculo esquelético permitem os movimentos dos diversos ossos e cartilagens do esqueleto.



Músculo cardíaco: este tipo de tecido muscular forma a maior parte do coração dos vertebrados. O músculo cardíaco carece de controle voluntário. É inervado pelo sistema nervoso vegetativo



Miócitos longos, multinucleados (núcleos periféricos).

Miofilamentos organizam-se em estrias longitudinais e transversais.

Contração rápida e voluntária


Estriado cardíaco

Miócitos estriados com um ou dois núcleos centrais.

Células alongadas, irregularmente ramificadas, que se unem por estruturas especiais: discos intercalares.

Contração involuntária, vigorosa e rítmica.


Liso

Miócitos alongados, mononucleados e sem estrias transversais.

Contração involuntária e lenta.

Musculatura Esquelética

O sistema muscular esquelético constitui a maior parte da musculatura do corpo, formando o que se chama popularmente de carne. Essa musculatura recobre totalmente o esqueleto e está presa aos ossos, sendo responsável pela movimentação corporal.

Os músculos esqueléticos estão revestidos por uma lâmina delgada de tecido conjuntivo, o perimísio, que manda septos para o interior do músculo, septos dos quais se derivam divisões sempre mais delgadas. O músculo fica assim dividido em feixes (primários, secundários, terciários). O revestimento dos feixes menores (primários), chamado endomísio, manda para o interior do músculo membranas delgadíssimas que envolvem cada uma das fibras musculares. A fibra muscular é uma célula cilíndrica ou prismática, longa, de 3 a 12 centímetros; o seu diâmetro é infinitamente menor, variando de 20 a 100 mícrons (milésimos de milímetro), tendo um aspecto de filamento fusiforme. No seu interior notam-se muitos núcleos, de modo que se tem a idéia de ser a fibra constituída por várias células que perderam os seus limites, fundindo-se umas com as outras. Dessa forma, podemos dizer que um músculo esquelético é um pacote formado por longas fibras, que percorrem o músculo de ponta a ponta.

No citoplasma da fibra muscular esquelética há muitas miofibrilas contráteis, constituídas por filamentos compostos por dois tipos principais de proteínas – a actina e a miosina. Filamentos de actina e miosina dispostos regularmente originam um padrão bem definido de estrias (faixas) transversais alternadas, claras e escuras. Essa estrutura existe somente nas fibras que constituem os músculos esqueléticos, os quais são por isso chamados músculos estriados.

Em torno do conjunto de miofibrilas de uma fibra muscular esquelética situa-se o retículo sarcoplasmático (retículo endoplasmático liso), especializado no armazenamento de íons cálcio.


As miofibrilas são constituídas por unidades que se repetem ao longo de seu comprimento, denominadas sarcômeros. A distribuição dos filamentos de actina e miosina varia ao longo do sarcômero. As faixas mais extremas e mais claras do sarcômero, chamadas banda I, contêm apenas filamentos de actina. Dentro da banda I existe uma linha que se cora mais intensamente, denominada linha Z, que corresponde a várias uniões entre dois filamentos de actina. A faixa central, mais escura, é chamada banda A, cujas extremidades são formadas por filamentos de actina e miosina sobrepostos. Dentro da banda A existe uma região mediana mais clara – a banda H – que contém apenas miosina. Um sarcômero compreende o segmento entre duas linhas Z consecutivas e é a unidade contrátil da fibra muscular, pois é a menor porção da fibra muscular com capacidade de contração e distensão.
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Tecido Conjuntivo

Esse tecido forma o arcabouço que sustenta as partes moles do corpo, apoiando e ligando os outros tipos de tecido. Caracterizam-se pela grande quantidade de material intracelular e pelo distanciamento das suas células e fibras.

Outros tecidos de sustentação possuem a função importante na difusão e fluxo de metabolismo.

Por fim., os tecidos de sustentação participam ativamente nas funções de defesa do organismo. Todos esses tecidos de sustentação têm a mesma origem embrionária: origem mesodérmica. Os tecidos de sustentação dividem-se em vários grupos dentre eles os principais são: Tecido conjuntivo, adiposo, cartilaginoso e ósseo.

Têm como principal função o preenchimento de espaços e ligação de outros tecidos e órgãos. material intracelular é abundante e as células se mantêm bem afastadas umas da outras .material intracelular compreende uma matriz onde se encontram fibras colágenas, reticulares e elásticas. A matriz é uma massa amorfa, de aspecto gelatinoso e transparente. É constituída principalmente por água e glicoproteínas. São encontradas abaixo do epitélio e tem a função de sustentar e nutrir tecidos não vascularizados. Pode ser denso ou frouxo.

As fibras colágenas são grossas, flexíveis e resistentes; são formadas por uma proteína denominada colágeno. As fibras elásticas, são mais finas que as colágenas, têm grande elasticidade e são formadas por uma proteína denominada elastina.

As células conjuntivas são de diversos tipos. As principais são:

Fibroblastos: com função de produzir material intracelular;

Macrófagos: com função de defesa do organismo;

Plasmócitos: com função de fabricação de anticorpos;

Adipócitos: com função a reserva de gordura;

Mastócitos: com função elaborar a histamina, substância que envolve reações alérgicas, inflamatórias e a heparina.

À variedades de tecidos conjuntivos assim com o frouxo que tem seus componentes igualmente distribuídos: células, fibras e material intracelular. Ele preenche os espaços entre feixes musculares e serve de apoio aos tecidos epiteliais, encontrando-se na pele, nas mucosas e nas glândulas. É praticamente todos os órgãos do corpo, ele por exemplo forma a derme, a camada mais interna da pele, e o tecido subcutâneo, ainda mais interno que a derme.

Tecido conjuntivo denso

É rico em fibras colágenas que orientadas na mesma direção fazem com que esse tecido seja pouco flexível, muito resistente ao estiramento, foram tendões e aponevroses que unem os músculos aos ossos.

Tecido conjuntivo adiposo

É constituído principalmente por células adiposas. São acúmulos de tecido adiposo localizado sob a pele ou nas membranas que revestem os órgãos internos por exemplo no tecido subcutâneo do abdome e das nádegas, ele funciona como reservatório de gordura, amortecedor de choques e contribuiu para o equilíbrio térmico dos organismos. As células (adipócitos) são encontradas no tecido conjuntivo frouxo e ao longo dos vasos.

Tecido hemapoiético ou sangüíneo

Tem este nome hemapoiético (hematos, sangue; poiese, formação), sua função é produção de células do sangue. Localizado principalmente na medula dos ossos, recebendo nome de tecido mielóide (mielos, medula). Nesse tecido encontram-se células sangüíneas sendo produzidas, em diversos estágios de maturação. Há duas variedades desse tecido: o linfóide, encontrado no baço, timo e gânglios linfáticos, e o mielóide, que forma a medula óssea. tecido linfóide produz alguns tipos de leucócito, produz hemácias (ou glóbulos brancos) e o tecido mielóide, além de vários tipos de leucócito, produz hemácias (ou glóbulos vermelhos) e plaquetas. sangue é um tipo especial de tecido que se movimenta por todo o corpo, servindo como meio de transporte de materiais entre as células. É formado por uma parte líquida, o plasma, e por diversos tipos de célula. O plasma contém inúmeras substâncias dissolvidas: aproximadamente 90% de água e 10% sais (Na, Cl, Ca, etc.), glicose, aminoácidos, colesterol, uréia, hormônios, anticorpos etc.

As hemácias apresentam, dissolvido no seu citoplasma, importante para o transporte do oxigênio. As hemácias dos mamíferos têm a forma disco bicôncavo e não apresentam núcleo nem organelas, e os demais vertebrados têm hemácias esféricas ou elipsóides, nucleadas e com organelas, e sua forma facilita a penetração e saída de oxigênio, o que é importante para a função dessas células, que é transportar oxigênio.

Os leucócitos são células incolores nucleadas e com os demais organóides celulares, tendo quase o dobro do tamanho das hemácias. Encarregados da despesa do organismo, eles produzem anticorpos e fagocitam microorganismos invasores e partículas estranhas. Apresentam a capacidade de passar pelas paredes dos vasos sangüíneos para o tecido conjuntivo, sem rompê-los, fenômeno este denominado diapedese. Distribuem-se em dois grupos: granulócitos e agranulócitos, conforme tenham ou não, granulações específicas no citoplasma.

Os leucócitos granulócitos são:

· Neutrófilos: coram-se por corantes neutros. O núcleo é polimórfico e apresentam-se dividido em segmentos unidos entre si por delicados filamentos. São os leucócitos mais abundantes do sangue circulante (65%); realizam diapedese, indo fazer a defesa através da fagocitose.

· Eosinófilos: apresentam geralmente dois segmentos ligados ou não por um filamento delicado e material nuclear. Também realizam diapedese e fagocitose.

· Basófilos: apresentam núcleos parcialmente dividido em dois segmentos; encerram metade da histamia existe no sangue circulante e possuem também heparina. Estão relacionados com reações alérgicas.

Os leucócitos agranulados são:

· Linfócitos: apresentam núcleo arredondado e citoplasma escasso. Os linfócitos B passam para o Tecido conjuntivo e se transformam em plasmócitos que produzem anticorpos. Os linfócitos T produzidos no timo, também estão relacionados com a defesa imunitário.

· Monócitos: são as maiores células do sangue circulante normal; o citoplasma é abundante, o núcleo é arredondado, oval ou uniforme. Em células mais velhas o núcleo pode apresentar a forma de ferradura. Os monócitos têm capacidade de emitir e retrair pseudópodos; são portanto, móveis e tendem a abandonar a corrente sangüínea e ingressar nos tecidos onde fagocitam e são denominados macrófagos. Representam 6% dos leucócitos.

As plaquetas (ou trombócitos), são pequenos corpúsculos que resultam da fragmentação de células especiais produzidas pela medula óssea. Elas detêm as hemorragias, pois desencadeiam o processo de coagulação do sangue que é o fenômeno da maior importância para os animais vertebrado: quando há um ferimento, externo ou interno, forma-se um coágulo, que age como um tampão para deter a hemorragia. Apesar de aparentemente simples, sabe-se atualmente que a coagulação é controlada por inúmeros fatores, incluindo-se aí fatores genéticos.

Tecido cartilaginoso tem consistência bem mais rígida que os tecidos conjuntivos. Ele forma as cartilagens dos esqueléticos dos vertebrados, como, por exemplo, as orelhas a extremidade do nariz, a laringe, a traquéia, os brônquios e as extremidades ósseas.

As células são os condócitos, que ficam mergulhados numa matriz densa e não se comunicam. A matriz pode apresentar fibras colágenas e elásticas, em diferentes proporções, que lhe conferem maior rigidez ou maior elasticidade. A cartilagem pode ser hialina quando tem somente fibras colágenas; elásticas, quando também fibras elásticas; fibrosa, quando tem ambos os tipos de fibra, com predomínio das colágenas.

Tecido ósseo

O tecido óseeo é o tecido de sustentação que apresenta maior rigidez, ele forma os ossos dos esqueletos dos vertebrados. É constituído pelas células ósseas, os osteócitos e por uma matriz compacta e resistente. Os osteócitos são dispostos ao redor de canais formam os sistemas de Havers, dispõe-se em círculos concêntricos ao redor de um canal, por onde passam vasos sangüíneos e nervos. As células se acham alojados em cavidades na matriz e se comunicam umas com as outras por meio de prolongamentos finos.

A matriz é constituída por grande quantidade de fibras colágenas, dispostas em feixes, entre os quais se depositam cristais, principalmente de fosfato de cálcio. A grande resistência do tecido ósseo resulta dessa associação de fibras colágenas com o fosfato de cálcio.
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Valor numerico

Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos semelhantes.
Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas partes literais são idênticas. Veja:

► 5x2 e 42x são dois termos, as suas partes literais são x2 e x, as letras são iguais, mas o expoente não, então esses termos não são semelhantes.

► 7ab2 e 20ab2 são dois termos, suas partes literais são ab2 e ab2, observamos que elas são idênticas, então podemos dizer que são semelhantes.


►Adição e subtração de monômios

Só podemos efetuar a adição e subtração de monômios entre termos semelhantes. E quando os termos envolvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos apenas a operação indicada.
Veja:

Dado os termos 5xy2, 20xy2, como os dois termos são semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração deles.

• 5xy2 + 20xy2 devemos somar apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
25 xy2

• 5xy2 - 20xy2 devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
- 15 xy2

Veja alguns exemplos:

• x2 - 2x2 + x2 como os coeficientes são frações devemos tirar o mmc de 6 e 9.
6 9

3x2 - 4 x2 + 18 x2
18

17x2
18

• 4x2 + 12y3 – 7y3 – 5x2 devemos primeiro unir os termos semelhantes.


12y3 – 7y3 + 4x2 – 5x2 agora efetuamos a soma e a subtração.

5y3 – x2 como os dois termos restantes não são semelhantes, devemos deixar apenas indicado à operação dos monômios.

• Reduza os termos semelhantes na expressão 4x2 – 5x -3x + 2x2. Depois calcule o seu valor numérico da expressão.

4x2 – 5x - 3x + 2x2 reduzindo os termos semelhantes.
4x2 + 2x2 – 5x - 3x
6x2 - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor numérico dessa expressão.

Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos ter o valor de sua incógnita, que no caso do exercício é a letra x.

Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o -2 termos:

6x2 - 8x
6 . (-2)2 – 8 . (-2) =

6 . 4 + 16 =

24 + 16

40

Celenterados e Platelmintos

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

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Água-viva, um celenterado.
Tipo de invertebrados de organização bastante simples, que compreende mais de 10000 espécies isoladas ou colônias, em grande parte marinhas. Os Celenterados tem o corpo gelatinoso e saciforme , com apenas uma cavidade gastrovasculas, o celenterado, que comunica com o exterior por uma única, abertura.

A parece do corpo é formada de duas camadas de células (uma externa, com função protetora, e outra interna, com função digestiva) entre as quais se interpõe uma substancia gelatinosa, a mesogléia. Os Celenterados não possuem órgão respiratórios, circulatórios e excretarias. São também chamados Cindirás porque tem células tipicamente urticantes ou cnidoblastos, verdadeira arma ofensiva e defensiva.

A medusa tem a forma de sombrinha; na parte inferior, concava, ressalta um prolongamento, ou manúbrio, em cuja extremidade se abre a boca. Os Celenterados apresentam metagenese tipica, com alternancia de formas sexuadas (pólipo). A larva, que tem sempre capacidade de nadar, fixa-se depois e forma um oozoito; este, por brotamento, forma outros individuos que devem ficar em colonias fixas ou nadantes.

Os Celenterados subdividem-se em tres classes 1.) Hidrozoários, fixos ou nadantes, com pólipos ou medusas, isolados ou coloniais; exemplo, hidra Sifonóforos, pequenos pólipos isolados e grandes medusas, como os córneo, como corais, madréporas e actinias, Corais e madréporas formam atóis e barreiras tropicais, com a Grande Barreira australiana.

Platelmintos

Tipo de metazoários que compreende os chamados vermes chatos, devido à forma dos seus corpos cuja cavidade interior é repleta de tecido parenquimatoso. Possuem simetria bilateral, comprimento variável de poucos mm a 10 cm e ocorrem livres na terra, água, mar, ou como parasitas.

As formas livres têm olhos, órgãos de defesa e musculatura para contrair e movimentar o corpo. As parasitas (Trematódeos e Cestóideos) são adaptadas para viver no corpo do hospedeiro e nutrir-se por intermédio dele. Os p., em geral, têm intestino reduzido, sem saída – os dejetos são excretados pela boca – ou não o possuem, como a tênia, que absorve nos intestinos dos hospedeiros a substâncias já digeridas.

Os platelmintos são destruídos de sistemas circulatório e respiratório; são hermafroditas e se desenvolvem através de complexos estágios larvais, que requerem a passagem através de hospedeiros intermediários. Vários platelmintos parasitas intestinais possuem corpo em forma de fita segmentada, originadas numa cabeça, que possui ganchos e ventosas a fim de aderir ao intestino do hospedeiro.

A característica dos platelmintos é a capacidade de regenerar-se, quando partidos, formando de cada fragmento um indivíduo completo. Daí o emprego destes vermes para experiências, como as da transmissão química da memória.
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FISIOLOGIA DA RESPIRAÇÃO

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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FISIOLOGIA DA RESPIRAÇÃO

Ventilação pulmonar

A inspiração, que promove a entrada de ar nos pulmões, dá-se pela contração da musculatura do diafragma e dos músculos intercostais. O diafragma abaixa e as costelas elevam-se, promovendo o aumento da caixa torácica, com conseqüente redução da pressão interna (em relação à externa), forçando o ar a entrar nos pulmões.



A expiração, que promove a saída de ar dos pulmões, dá-se pelo relaxamento da musculatura do diafragma e dos músculos intercostais. O diafragma eleva-se e as costelas abaixam, o que diminui o volume da caixa torácica, com conseqüente aumento da pressão interna, forçando o ar a sair dos pulmões.



Transporte de gases respiratórios

O transporte de gás oxigênio está a cargo da hemoglobina, proteína presente nas hemácias. Cada molécula de hemoglobina combina-se com 4 moléculas de gás oxigênio, formando a oxi-hemoglobina.

Nos alvéolos pulmonares o gás oxigênio do ar difunde-se para os capilares sangüíneos e penetra nas hemácias, onde se combina com a hemoglobina, enquanto o gás carbônico (CO2) é liberado para o ar (processo chamado hematose).



Nos tecidos ocorre um processo inverso: o gás oxigênio dissocia-se da hemoglobina e difunde-se pelo líquido tissular, atingindo as células. A maior parte do gás carbônico (cerca de 70%) liberado pelas células no líquido tissular penetra nas hemácias e reage com a água, formando o ácido carbônico, que logo se dissocia e dá origem a íons H+ e bicarbonato (HCO3-), difundindo-se para o plasma sangüíneo, onde ajudam a manter o grau de acidez do sangue. Cerca de 23% do gás carbônico liberado pelos tecidos associam-se à própria hemoglobina, formando a carboemoglobina. O restante dissolve-se no plasma.

OBS: O monóxido de carbono, liberado pela “queima” incompleta de combustíveis fósseis e pela fumaça dos cigarros entre outros, combina-se com a hemoglobina de uma maneira mais estável do que o oxigênio, formando o carboxiemoglobina. Dessa forma, a hemoglobina fica impossibilitada de transportar o oxigênio, podendo levar à morte por asfixia. Veja as tabelas abaixo, retiradas da prova do ENEM de 98:

Um dos índices de qualidade do ar diz respeito à concentração de monóxido de carbono (CO), pois esse gás pode causar vários danos à saúde. A tabela abaixo mostra a relação entre a qualidade do ar e a concentração de CO.

Qualidade do ar


Concentração de CO – ppm* (média de 8h)

Inadequada


15 a 30

Péssima


30 a 40

Crítica


Acima de 40

* ppm (parte por milhão) = 1 micrograma de CO por grama de ar 10 –6 g



Para analisar os efeitos do CO sobre os seres humanos, dispõe-se dos seguintes dados:

Concentração de CO (ppm)


Sintomas em seres humanos

10


Nenhum

15


Diminuição da capacidade visual

60


Dores de cabeça

100


Tonturas, fraqueza muscular

270


Inconsciência

800


Morte

Controle da respiração

Em relativo repouso, a freqüência respiratória é da ordem de 10 a 15 movimentos por minuto.

A respiração é controlada automaticamente por um centro nervoso localizado no bulbo. Desse centro partem os nervos responsáveis pela contração dos músculos respiratórios (diafragma e músculos intercostais). Os sinais nervosos são transmitidos desse centro através da coluna espinhal para os músculos da respiração. O mais importante músculo da respiração, o diafragma, recebe os sinais respiratórios através de um nervo especial, o nervo frênico, que deixa a medula espinhal na metade superior do pescoço e dirige-se para baixo, através do tórax até o diafragma. Os sinais para os músculos expiratórios, especialmente os músculos abdominais, são transmitidos para a porção baixa da medula espinhal, para os nervos espinhais que inervam os músculos. Impulsos iniciados pela estimulação psíquica ou sensorial do córtex cerebral podem afetar a respiração. Em condições normais, o centro respiratório (CR) produz, a cada 5 segundos, um impulso nervoso que estimula a contração da musculatura torácica e do diafragma, fazendo-nos inspirar. O CR é capaz de aumentar e de diminuir tanto a freqüência como a amplitude dos movimentos respiratórios, pois possui quimiorreceptores que são bastante sensíveis ao pH do plasma. Essa capacidade permite que os tecidos recebam a quantidade de oxigênio que necessitam, além de remover adequadamente o gás carbônico. Quando o sangue torna-se mais ácido devido ao aumento do gás carbônico, o centro respiratório induz a aceleração dos movimentos respiratórios. Dessa forma, tanto a freqüência quanto a amplitude da respiração tornam-se aumentadas devido à excitação do CR.

Em situação contrária, com a depressão do CR, ocorre diminuição da freqüência e amplitude respiratórias.

A respiração é ainda o principal mecanismo de controle do pH do sangue.

O aumento da concentração de CO2 desloca a reação para a direita, enquanto sua redução desloca para a esquerda.

Dessa forma, o aumento da concentração de CO2 no sangue provoca aumento de íons H+ e o plasma tende ao pH ácido. Se a concentração de CO2 diminui, o pH do plasma sangüíneo tende a se tornar mais básico (ou alcalino).

Se o pH está abaixo do normal (acidose), o centro respiratório é excitado, aumentando a freqüência e a amplitude dos movimentos respiratórios. O aumento da ventilação pulmonar determina eliminação de maior quantidade de CO2, o que eleva o pH do plasma ao seu valor normal.

Caso o pH do plasma esteja acima do normal (alcalose), o centro respiratório é deprimido, diminuindo a freqüência e a amplitude dos movimentos respiratórios. Com a diminuição na ventilação pulmonar, há retenção de CO2 e maior produção de íons H+, o que determina queda no pH plasmático até seus valores normais.

A ansiedade e os estados ansiosos promovem liberação de adrenalina que, freqüentemente levam também à hiperventilação, algumas vezes de tal intensidade que o indivíduo torna seus líquidos orgânicos alcalóticos (básicos), eliminando grande quantidade de dióxido de carbono, precipitando, assim, contrações dos músculos de todo o corpo.

Se a concentração de gás carbônico cair a valores muito baixos, outras conseqüências extremamente danosas podem ocorrer, como o desenvolvimento de um quadro de alcalose que pode levar a uma irritabilidade do sistema nervoso, resultando, algumas vezes, em tetania (contrações musculares involuntárias por todo o corpo) ou mesmo convulsões epilépticas.

Existem algumas ocasiões em que a concentração de oxigênio nos alvéolos cai a valores muito baixos. Isso ocorre especialmente quando se sobe a lugares muito altos, onde a concentração de oxigênio na atmosfera é muito baixa ou quando uma pessoa contrai pneumonia ou alguma outra doença que reduza o oxigênio nos alvéolos. Sob tais condições, quimiorreceptores localizados nas artérias carótida (do pescoço) e aorta são estimulados e enviam sinais pelos nervos vago e glossofaríngeo, estimulando os centros respiratórios no sentido de aumentar a ventilação pulmonar.

A capacidade e os volumes respiratórios

O sistema respiratório humano comporta um volume total de aproximadamente 5 litros de ar – a capacidade pulmonar total. Desse volume, apenas meio litro é renovado em cada respiração tranqüila, de repouso. Esse volume renovado é o volume corrente

Se no final de uma inspiração forçada, executarmos uma expiração forçada, conseguiremos retirar dos pulmões uma quantidade de aproximadamente 4 litros de ar, o que corresponde à capacidade vital, e é dentro de seus limites que a respiração pode acontecer.

Mesmo no final de uma expiração forçada, resta nas vias aéreas cerca de 1 litro de ar, o volume residual.
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Soma dos ângulos internos de um triângulo

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Soma dos ângulos internos de um triângulo
Por que a soma vale sempre 180o?

Quem estuda um pouco de Geometria Plana sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180o. Mas, por que isso é sempre verdade? Veremos a seguir.

Considere o triângulo a seguir e seus ângulos internos:


Vamos desenhar mais dois triângulos, idênticos ao anterior:


Girando os triângulos e unindo um vértice de cada um, de modo que os ângulos α, β e θ tornem-se, dois a dois, adjacentes, temos um ângulo raso:

Assim, a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180o.

Exercícios resolvidos
1) As medidas dos ângulos de um triângulo são, respectivamente, x, 3x e 5x. Calcule o valor de x.


2) Calcule o valor de x nas figuras:
a)

x + 70o + 60o = 180o
x = 180o - 130o
x = 50o

b)

Mendelismo - Exercícios resolvidos

Mendelismo - Exercícios resolvidos

01. O que são genes?

RESOLUÇÃO: Genes são segmentos da molécula de DNA, localizados nos cromossomos, estruturas intranucleares.



02. Explique a relação existente entre genótipo e fenótipo.

RESOLUÇÃO: Genótipo é a constituição genética do indivíduo.

Fenótipo é qualquer aspecto de um organismo resultante da interação do genótipo com o meio ambiente.



03. O termo genótipo refere-se ao:



a) conjunto de todos os caracteres de um organismo;

b) conjunto de caracteres externos de um organismo;

c) conjunto de caracteres internos de um organismo;

d) conjunto de cromossomos de um organismo;

e) conjunto de genes de um organismo.

RESPOSTA: E



04. O fenótipo de um indivíduo é:



a) herdado dos pais;

b) independente do genótipo;

c) independente do ambiente;

d) o resultado da interação do genótipo com o ambiente;

e) o conjunto de cromossomos.



RESPOSTA: D



05. No milho, um gene produz grãos vermelhos se a espiga for exposta à luz, mas, se as espigas ficarem cobertas, os grãos permanecem brancos. O fenômeno descrito ilustra:



a) a atuação do meio das mutações;

b) o processo da seleção natural;

c) a influência do ambiente na alteração do genótipo;

d) a interação do genótipo com o meio ambiente;

e) a transmissão dos caracteres adquiridos.



RESPOSTA: D



06. Nas ervilhas, a cor vermelha da flor é condicionada por um gene dominante B e a cor branca, pelo seu alelo recessivo b. Que tipos de gametas produzem as plantas BB, bb e Bb?



RESOLUÇÃO: Genótipos - Gametas

BB ; B

bb ; b

Bb ; B eb



07. Nas cobaias, o gene B para pelagem preta é dominante sobre b, que condiciona pelagem branca. Duas cobaias pretas heterozigotas são cruzadas. Calcule:



a) a proporção genotípica;

b) a proporção fenotípica.



RESOLUÇÃO: a) 1/4 BB; 1/2 Bb; 1/4 bb

b) 3/4 pretas; 1/4 brancas



08. Que porcentagem dos espermatozóides de um macho Aa conterá o gene recessivo?



a) 25%

b) 30%

c) 50%

d) 75%

e) 100%



RESPOSTA: C



09. A pelagem das cobaias pode ser arrepiada ou lisa, dependendo da presença do gene dominante L e do gene recessivo l. O resultado do cruzamento entre um macho liso com uma fêmea arrepiada heterozigota é:



a) 50% lisos e 50% arrepiados heterozigotos;

b) 50% arrepiados e 50% lisos heterozigotos;

c) 100% arrepiados;

d) 100% lisos;

e) 25% arrepiados, 25% lisos e 50% arrepiados heterozigotos.



RESPOSTA: A



10. Em uma raça bovina, animais mochos (M) são dominantes a animais com cornos (m). Um touro mocho foi cruzado com duas vacas. Com a vaca I, que tem cornos, produziu um bezerro mocho. Com a vaca II, que é mocha, produziu um bezerro com cornos. Assinale a alternativa que apresenta corretamente os genótipos dos animais citados:



TOURO VACA I VACA II

a) Mm mm Mm

b) Mm Mm Mm

c) MM mm Mm

d) MM Mm MM

e) Mm mm MM



RESPOSTA: A
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Produtos notaveis

Produtos Notáveis

Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.

(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²

(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes.
Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.

Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.

1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

( a + b ).( a – b ) = a² - b²

2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

( a + b )² = a² + 2ab +b²

3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

( a – b )² = a² - 2ab + b²

Existem muitas outras outras fórmulas:

( a + b ) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³

(a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³

Produtos notaveis

A álgebra consiste em um dos estudos mais antigos e abrangentes da Matemática, a busca pela solução de situações problemas envolvendo valores desconhecidos data dos séculos anteriores ao nascimento de Cristo. Diofante é considerado o pai da álgebra, pois foi ele quem introduziu símbolos na matemática que tinham por objetivo substituir os termos desconhecidos. Atualmente os símbolos foram substituídos por letras, sendo x, y e z as mais usuais.

As expressões algébricas surgem do desenvolvimento da álgebra, constituindo cálculos algébricos que obedecem alguns padrões de resolução. Algumas multiplicações entre expressões necessitam de técnicas de multiplicação, uma muito usada na resolução é a propriedade distributiva. Dentre as multiplicações entre expressões algébricas podemos destacar os Produtos Notáveis. Produto é a solução de uma multiplicação e como são especiais recebe o nome de notáveis.

Os Produtos Notáveis podem ser desenvolvidos de duas formas distintas, utilizando a propriedade distributiva ou a regra prática. A propriedade distributiva consiste no desenvolvimento mais detalhado, optando pelo emprego excessivo de cálculos.
A utilização da regra prática consiste no uso de uma definição geral para cada caso, simplificando os cálculos, mas exigindo uma fixação por conta de leis de desenvolvimento. Há de se destacar que os dois métodos são objetivos e exatos.

Os casos mais comuns de Produtos Notáveis são:

Quadrado da Soma de Dois Termos: (a + b)²
Quadrado da Diferença de Dois termos: (a – b)²
Produto da Soma pela Diferença: (a + b) * (a – b)
Cubo da Soma: (a + b)³
Cubo da Diferença: (a – b)³


O cubo da diferença se assemelha ao desenvolvimento do cubo da soma, devemos ter cuidado na questão dos sinais do polinômio formado pelo desenvolvimento da expressão. A seguir demonstraremos algumas situações aplicando a forma de resolução através da regra prática.


Cubo da Diferença (a – b)³

(2x – 4)³

1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 4 = 48x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (4)² = 96x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (4)³ = 64
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ – 48x² + 96x – 64

Exemplos

(4x – 2)³

1º passo: (4x)³ = 64x³
2º passo: 3 * (4x)² * 2 = 96x²
3º passo: 3 * 4x * (2)² = 48x
4º passo: (2)³ = 8
5º passo: 64x³ – 96x² + 48x – 8

(3x – 2z)³

1º passo: (3x)³ = 27x³
2º passo: 3 * (3x)² * 2z = 54x²z
3º passo: 3 * 3x * (2z)² = 36xz²
4º passo: (2z)³ = 8z³
5º passo: 27x³ – 54x²z + 36xz² – 8z³

(7x – 5z)³

1º passo: (7x)³ = 343x³
2º passo: 3 * (7x)² * 5z = 735x²z
3º passo: 3 * 7x * (5z)² = 525xz²
4º passo: (5z)³ = 125z³
5º passo: 343x³ – 735x²z + 525xz² – 125z³
As expressões algébricas possuem um processo prático na resolução e dispensam o uso da propriedade distributiva no desenvolvimento. Nesses casos a distribuição gera cálculos excessivos e a probabilidade de erros se torna aparente. A utilização da regra prática exige certa memorização da regra que deverá ser adquirida através da resolução sistemática de exercícios, mas os riscos de erros no desenvolvimento diminuem consideravelmente.

Cubo da Soma (a + b)³

(2x + 3)³

1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 3 = 36x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (3)² = 54x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (3)³ = 27
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ + 36x² + 54x + 27

Exemplos

(4x + 3)³

1º passo: (4x)³ = 64x³
2º passo: 3 * (4x)² * 3 = 144x²
3º passo: 3 * 4x * (3)² = 108x
4º passo: (3)³ = 27
5º passo: 64x³ + 144x² + 108x + 27

(2x + 3z)³

1º passo: (2x)³ = 8x³
2º passo: 3 * (2x)² * 3z = 36x²z
3º passo: 3 * 2x * (2z)² = 24xz²
4º passo: (3z)³ = 27z³
5º passo: 8x³ + 36x²z + 24xz² + 27z³

(5x + 7z)³

1º passo: (5x)³ = 125x³
2º passo: 3 * (5x)² * 7z = 525x²z
3º passo: 3 * 5x * (7z)² = 735xz²
4º passo: (7z)³ = 343z³
5º passo: 125x³ + 525x²z + 735xz² + 343z³
O quadrado da soma e o quadrado da diferença são expressões algébricas que se enquadram nas condições de produtos notáveis, pois podem ser resolvidas através de generalizações lógicas.

Quadrado da soma (a + b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado mais o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”

(x + 5)² = (x)² + 2*x*5 + (5)² = x² + 10x + 25

(2x + 4)² = (2x)² + 2*2x*4 + (4)² = 4x² + 16x + 16

(5x + 9)² = (5x)² + 2*5x*9 + (9)² = 25x² + 90x + 81

(6x + 2/3)² = (5x)² + 2*6x*2/3 + (2/3)² = 25x² + 8x + 4/9

(10x² + 12) = (10x²)² + 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 + 240x + 144

(x³ + 2x)² = (x³)² + 2*x³*2x + (2x)² = x6 + 4x4 + 4x²

(13x + 20)² = (13x)² + 2*13x*20 + (20)² = 169x² + 520x + 400


Quadrado da diferença (a – b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”


(x – 6)² = (x)² – 2*x*6 + (6)² = x² – 12x +36

(5x – 8)² = (5x)² – 2*5x*8 + (8)² = 25x² – 80x + 64

(9x – 7)² = (9x)² – 2*9x*7 + (7)² = 81x² – 126x + 49

(6x² – 4/6)² = (6x²)² – 2*6x²*4/6 + (4/6)² = 36x4 – 8x² + 16/36 = 36x4 – 8x² + 4/9

(10x² – 12) = (10x²)² – 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 – 240x + 144

(x4 – 2x²)² = (x4)² – 2*x4*2x² + (2x²)² = x8 – 4x6 + 4x4

(11x – 6z)² = (11x)² – 2*11x*6z + (6z)² = 121x² – 132xz + 36z²

Diferença entre dois quadrados de números consecutivos

Uma situação interessante surge ao tentarmos resolver a subtração de potências de números consecutivos, observe a resolução pelo modo convencional:

101² – 100² = 10201 – 10000 = 201

Agora veja a resolução de um modo muito curioso.

Para resolver tal situação, basta fazer a simples operação:
101 + 100 = 201

Tal situação acontece pelo seguinte fato:
Considere dois números consecutivos x e y, tal que x < y, então y – x = 1. Dessa forma y² – x² = (y – x)(y + x) = 1 * (y + x) = y + x , portanto:

y² – x² = y + x


Exemplos

a) 30² – 29² = 900 – 841 = 59 ou 30 + 29 = 59

b) 1000² – 999² = 1 000 000 – 998 001 = 1999 ou 1000 + 999 = 1999

c) 521² – 520² = 271 441 – 270 400 = 1041 ou 521 + 520 = 1041

d) 5201² – 5200² = 27 050 401 – 27 040 000 = 10 401 ou 5201 + 5200 = 10 401


Soma entre dois quadrados de números consecutivos

Para a soma entre dois quadrados de números consecutivos também temos uma regra bem interessante, observe:

101² + 100² = 10 201 + 10 000 = 20 201

Podemos optar pela seguinte situação:

101 * 100 = 10 100
10 100 * 2 = 20 200
20 200 + 1 = 20 201

Dessa forma temos que:
y² + x² = y * x * 2 + 1

Exemplos

a) 15² + 14² = 225 + 196 = 421 ou 15*14*2 + 1 = 421

b) 200² + 199² = 40 000 + 39 601 = 79 601 ou 200*199*2 + 1 = 79601

c) 1500² + 1499² = 2 250 000 + 2 247 001 = 4 497 001 ou 1500*1499*2 + 1 = 4 497 001

d) 70² + 69² = 4900 + 4761 = 9661 ou 70*69*2 + 1 = 9661

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Produtos notaveis

Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral para sua resolução.
Os produtos abaixo são exemplos, em forma geral, de produtos notáveis:

(a + b) . (a + b) = (a + b)2 Quadrado da soma

(a – b) . (a – b) = (a – b)2 Quadrado da diferença

(a + b) . (a – b) Produto da soma pela diferença

(x + p) . (x + q) Produto do tipo

(a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3 Cubo da soma

(a – b) . (a – b) . (a – b) = (a – b)3 Cubo da diferença

(a + b)2 é o mesmo que (a + b) . (a + b)

Então, utilizando a propriedade distributiva vamos calcular:

(a + b) . (a + b) ------ utilizando a propriedade distributiva.


a 2 + ab + ab + b 2 ------ operar os termos semelhantes.

a 2 + 2ab + b 2

Concluímos que:

(a + b) . (a + b) = (a + b)2
Concluimos que (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2


(a + b)2 = quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.
Resolvendo algebricamente:

(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).

Utilizando a propriedade distributiva temos:

(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.



a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes

a2 – 2ab + b2

Concluímos que:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2



(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:

(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).

Utilizando a propriedade distributiva temos:

(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.



a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes

a2 – 2ab + b2

Concluímos que:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2



(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:

(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).

Utilizando a propriedade distributiva temos:

(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.



a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes

a2 – 2ab + b2

Concluímos que:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2



(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Resolvendo algebricamente:

(a – b)2 é o mesmo que (a – b) . (a – b).

Utilizando a propriedade distributiva temos:

(a – b) . (a – b) -------- propriedade distributiva.



a 2 – ab – ab + b2 -------- operar os termos semelhantes

a2 – 2ab + b2

Concluímos que:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2



(a - b)2 = quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.



a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.

a2 – b2

Concluímos que:

(a + b) . (a – b) = a 2 – b2

(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.


►Produto da forma (x + p) . (x + q)

Resolvendo algebricamente, temos:

(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva


x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:

x2 + x (q + p) + pq

Concluímos que:

(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq


Exemplo 1:

(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = 3 e q = 5

x2 + x(5 + 3) + 3 . 5

x2 + 8x + 15

Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.

Exemplo 2:

(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 3 e q = - 4

x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)

x2 – 7x + 12

Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12

Exemplo 3:

(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 5 q = 4

x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4

x2 – x - 20

Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20

Exemplo 4:

A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.



Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).

A = (x + 7) . (x – 1)

A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)

A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:

3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2

Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.

A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2

►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.



a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.

a2 – b2

Concluímos que:

(a + b) . (a – b) = a 2 – b2

(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.


►Produto da forma (x + p) . (x + q)

Resolvendo algebricamente, temos:

(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva


x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:

x2 + x (q + p) + pq

Concluímos que:

(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq


Exemplo 1:

(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = 3 e q = 5

x2 + x(5 + 3) + 3 . 5

x2 + 8x + 15

Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.

Exemplo 2:

(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 3 e q = - 4

x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)

x2 – 7x + 12

Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12

Exemplo 3:

(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 5 q = 4

x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4

x2 – x - 20

Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20

Exemplo 4:

A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.



Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).

A = (x + 7) . (x – 1)

A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)

A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:

3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2

Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.

A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2

►Produto da soma pela diferença
(a + b) . (a – b)

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b) . (a – b) -------- aplicando a propriedade distributiva.



a2 + ab – ab + b2 --------- cancelando os termos opostos –ab e +ab.

a2 – b2

Concluímos que:

(a + b) . (a – b) = a 2 – b2

(a + b) . (a – b) = quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.


►Produto da forma (x + p) . (x + q)

Resolvendo algebricamente, temos:

(x + p) . (x + q) ------- fazendo a propriedade distributiva


x2 + xq + xp + pq -------- colocando o x em evidência dos termos xq e xp, temos:

x2 + x (q + p) + pq

Concluímos que:

(x + p) . (x + q) = x2 + x (p + q) + pq


Exemplo 1:

(x + 3) . (x + 5) ----- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = 3 e q = 5

x2 + x(5 + 3) + 3 . 5

x2 + 8x + 15

Concluímos que (x + 3) . (x + 5) = x2 + 8x + 15.

Exemplo 2:

(x – 3) . (x – 4) ------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 3 e q = - 4

x2 + (-3 – 4)x + (-3) . (- 4)

x2 – 7x + 12

Concluímos que (x – 3) . (x – 4) = x2 – 7x + 12

Exemplo 3:

(x – 5) . (x + 4) ---------- é um produto notável do tipo: (x + p) . (x + q), então:

Para p = - 5 q = 4

x2 + (-5 + 4)x + (-5) . 4

x2 – x - 20

Concluímos que (x - 5) . (x + 4) = x2 - x - 20

Exemplo 4:

A área desse retângulo pode ser calculada, se for aplicado o produto notável
(x + p) . (x + q). Calcule essa área em cm para o dado 3x -1 =5.



Resolução:
A área do retângulo é base vezes altura. No retângulo acima a
base = x + 7 e a
altura = x – 1, então podemos utilizar o produto notável (x + p) . (x + q).

A = (x + 7) . (x – 1)

A = x2 + (7 – 1)x + 7 . (-1)

A = x2 + 6x – 7, como 3x – 1 = 5, então podemos dizer que:

3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2

Como x = 2, para acharmos o valor da área, basta substituir o valor de x = 2 em
A = x2 + 6x – 7.

A = x2 + 6x – 7
A = 2 . 2 + 6 . 2 – 7
A = 4 + 12 – 7
A = 16 – 7
A = 9 cm2

►Cubo da soma (a + b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b)3, podemos escrever assim:

(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:

(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.



a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Concluímos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplo:

(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:

x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125

x3 + 15x2 + 375x + 125

Concluímos que:

(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125



►Cubo da diferença (a – b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a – b)3 , podemos escrever assim:

(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:

(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.



a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.

a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Concluímos que:

(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Exemplo:

(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:

x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33

x3 – 9x2 + 27x – 27

Concluímos que:

(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27

►Cubo da soma (a + b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b)3, podemos escrever assim:

(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:

(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.



a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Concluímos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplo:

(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:

x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125

x3 + 15x2 + 375x + 125

Concluímos que:

(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125



►Cubo da diferença (a – b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a – b)3 , podemos escrever assim:

(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:

(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.



a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.

a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Concluímos que:

(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Exemplo:

(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:

x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33

x3 – 9x2 + 27x – 27

Concluímos que:

(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27

►Cubo da soma (a + b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b)3, podemos escrever assim:

(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:

(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.



a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Concluímos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplo:

(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:

x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125

x3 + 15x2 + 375x + 125

Concluímos que:

(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125



►Cubo da diferença (a – b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a – b)3 , podemos escrever assim:

(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:

(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.



a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.

a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Concluímos que:

(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Exemplo:

(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:

x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33

x3 – 9x2 + 27x – 27

Concluímos que:

(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27

►Cubo da soma (a + b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b)3, podemos escrever assim:

(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:

(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.



a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Concluímos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplo:

(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:

x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125

x3 + 15x2 + 375x + 125

Concluímos que:

(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125



►Cubo da diferença (a – b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a – b)3 , podemos escrever assim:

(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:

(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.



a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.

a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Concluímos que:

(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Exemplo:

(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:

x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33

x3 – 9x2 + 27x – 27

Concluímos que:

(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27

►Cubo da soma (a + b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a + b)3, podemos escrever assim:

(a + b) . (a + b) . (a + b)
↓
(a + b)2 . (a + b) -------- utilizando o quadrado da soma em
(a + b)2, temos:

(a2 + 2ab + b2) . (a + b) ------ aplicando a propriedade distributiva.



a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 ------- operando os termos semelhantes.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Concluímos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Exemplo:

(x + 5)3 , sendo a = x e b = 5, temos:

x 3 + 3 . x2 . 5 + 3 . x . 53 + 125

x3 + 15x2 + 375x + 125

Concluímos que:

(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 375x + 125



►Cubo da diferença (a – b)3

Resolvendo algebricamente, temos:

(a – b)3 , podemos escrever assim:

(a – b) . (a – b) . (a – b)
↓
(a – b)2 . (a – b) ------- aplicando o quadrado da diferença em
(a – b)2, temos:

(a 2 – 2ab + b2) . (a – b) ------ utilizando a propriedade distributiva.



a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3--------- operando os termos semelhantes.

a 3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Concluímos que:

(a – b)3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 - b3

Exemplo:

(x – 3)3, sendo a = x e b = 3, temos:

x3 – 3. x2 . 3 + 3 . x . 32 - 33

x3 – 9x2 + 27x – 27

Concluímos que:

(x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27
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Produtos notaveis

É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

Produtos notáveis


Exemplos

(a+b)2 = a2+2ab+b2


(x+3)2 = x2+6x+9

(a-b)2 = a2-2ab+b2


(x-3)2 = x2-6x+9

(a+b)(a-b) = a2-b2


(x+3)(x-3) = x2-9

(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab


(x+2)(x+3) = x2+5x+6

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3


(x+2)3 = x3+6x2+12x+8

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3


(x-2)3 = x3-6x2+12x-8

(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3


(x+2)(x2-2x+4) = x3+8

(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3


(x-2)(x2+2x+4) = x3-8



ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) Desenvolva:

a) (3x+y)2

(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2

b) ((1/2)+x2)2

((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4

c) ((2x/3)+4y3)2

((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6

d) (2x+3y)3

(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3

e) (x4+(1/x2))3

(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6)

f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)

(2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2



2) Efetue as multiplicações:

a) (x-2)(x-3)

(x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6

b) (x+5)(x-4)

(x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20



3) Simplifique as expressões:

a) (x+y)2–x2-y2

(x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy

b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)

(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) =

x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29

c) (2x-y)2-4x(x-y)

(2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2

Produtos notaveis

O quadrado da soma e o quadrado da diferença são expressões algébricas que se enquadram nas condições de produtos notáveis, pois podem ser resolvidas através de generalizações lógicas.

Quadrado da soma (a + b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado mais o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”

(x + 5)² = (x)² + 2*x*5 + (5)² = x² + 10x + 25

(2x + 4)² = (2x)² + 2*2x*4 + (4)² = 4x² + 16x + 16

(5x + 9)² = (5x)² + 2*5x*9 + (9)² = 25x² + 90x + 81

(6x + 2/3)² = (5x)² + 2*6x*2/3 + (2/3)² = 25x² + 8x + 4/9

(10x² + 12) = (10x²)² + 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 + 240x + 144

(x³ + 2x)² = (x³)² + 2*x³*2x + (2x)² = x6 + 4x4 + 4x²

(13x + 20)² = (13x)² + 2*13x*20 + (20)² = 169x² + 520x + 400


Quadrado da diferença (a – b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”


(x – 6)² = (x)² – 2*x*6 + (6)² = x² – 12x +36

(5x – 8)² = (5x)² – 2*5x*8 + (8)² = 25x² – 80x + 64

(9x – 7)² = (9x)² – 2*9x*7 + (7)² = 81x² – 126x + 49

(6x² – 4/6)² = (6x²)² – 2*6x²*4/6 + (4/6)² = 36x4 – 8x² + 16/36 = 36x4 – 8x² + 4/9

(10x² – 12) = (10x²)² – 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 – 240x + 144

(x4 – 2x²)² = (x4)² – 2*x4*2x² + (2x²)² = x8 – 4x6 + 4x4

(11x – 6z)² = (11x)² – 2*11x*6z + (6z)² = 121x² – 132xz + 36z²


Mundo Educação

Produtos notaveis

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com        

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

         

Produtos notáveis são multiplicações envolvendo expressões algébricas que seguem um processo de resolução padronizado. Os produtos notáveis são distribuídos em:

Quadrado da soma entre dois termos → (a + b)²
Quadrado da diferença entre dois termos → (a – b)²
Produto da soma pela diferença → (a + b) * (a – b)
Cubo da soma entre dois termos → (a + b)³
Cubo da diferença entre dois termos → (a – b)³

Resolveremos as multiplicações utilizando a propriedade distributiva e o processo prático.

Quadrado da soma entre dois termos

Propriedade distributiva → (a + b)² = (a + b) * (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Regra prática → (a + b)² = (a)² + 2 * a * b + (b)² = a² + 2ab + b²

Exemplo 1

(2x + 3)² = (2x + 3) * (2x + 3) = 4x² + 6x + 6x + 9 = 4x² + 12x + 9

(2x + 3)² = (2x)² + 2 * 2x * 3 + (3)² = 4x² + 12x + 9

Exemplo 2

(3x + 2y)² = (3x + 2y) * (3x + 2y) = 9x² + 6xy + 6xy + 4y² = 9x² + 12xy + 4y²

(3x + 2y)² = (3x)² + 2 * 3x * 2y + (2y)² = 9x² + 12xy + 4y²

Quadrado da diferença entre dois termos

Propriedade distributiva → (a – b)² = (a – b) * (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b²

Regra prática → (a – b)² = (a)² – 2 * a * b + (b)² = a² – 2ab + b²

Exemplo 3

(2x – 3)² = (2x – 3) * (2x – 3) = 4x² – 6x – 6x + 9 = 4x² – 12x + 9

(2x – 3)² = (2x)² – 2 * 2x * 3 + (3)² = 4x² – 12x + 9

Exemplo 4

(6x – 5y)² = (6x – 5y) * (6x – 5y) = 36x² – 30xy – 30xy + 25y² = 36x² – 60xy + 25y²

(6x – 5y)² = (6x)² – 2 * 6x * 5y + (5y)² = 36x² – 60xy + 25y²

Produto da Soma pela Diferença

Propriedade distributiva → (a + b) * (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²

Regra prática → (a + b) * (a – b) = (a)² – (b)² = a² – b²

Exemplo 5

(5x – 6) * (5x + 6) = 25x² + 30x – 30x – 36 = 25x² – 36

(5x – 6) * (5x + 6) = (5x)² – (6)² = 25x² – 36

Exemplo 6

(3x – 4y) * (3x + 4y) = 9x² + 12xy – 12xy – 16y² = 9x² – 16y²

(3x – 4y) * (3x + 4y) = (3x)² – (4y)² = 9x² ¬– 16y²

Cubo da Soma entre dois termos

Propriedade distributiva → (a + b)³ = (a + b) * (a + b)² = (a + b) * (a² + 2ab + b²) =
a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Regra prática → (a + b)³ = (a)³ + 3 * (a)² * b + 3 * a * (b)² + (b)³ = a³ + 3a²b +3ab² + b³

Exemplo 7

(3x + 4)³ → (3x + 4) * (3x + 4)² = (3x + 4) * (9x² + 24x + 16) =
27x³ + 72x² + 48x + 36x² + 96x + 64 = 27x³ + 108x² + 144x + 64

(3x + 4)³ = (3x)³ + 3 * (3x)² * 4 + 3 * 3x * (4)² = 27x³ + 108x² + 144x + 64

Cubo da diferença entre dois termos

Propriedade distributiva → (a – b)³ = (a – b) * (a – b)² = (a – b) * (a² – 2ab + b²) =
a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³ = a³ –3a²b + 3ab² – b³

Regra prática → (a – b)³ = (a)³ – 3 * (a)² * b + 3 * a * (b)² – (b)³ = a³ – 3a²b +3ab² – b³

Exemplo 8

(3x – 4)³ → (3x – 4) * (3x – 4)² = (3x – 4) * (9x² – 24x + 16) =
27x³ – 72x² + 48x – 36x² + 96x – 64 = 27x³ – 108x² + 144x – 64

(3x – 4)³ = (3x)³ – 3 * (3x)² * 4 + 3 * 3x * (4)² – (4)³ = 27x³ – 108x² + 144x – 64
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Produtos notaveis

Produtos notáveis são multiplicações entre binômios muito frequentes na Matemática, envolvendo cálculos algébricos. Os produtos entre binômios mais conhecidos são:

Quadrado da soma entre dois termos(a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da diferença entre dois termos.
(a – b)² = a² – 2ab + b²

Cubo da soma entre dois termos.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Cubo da diferença entre dois termos.
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Produto da soma pela diferença.
(a + b) * (a – b) = a² – b²

Os casos especiais são os seguintes:

Quadrado da soma entre três termos
(a + b + c)² = (a + b + c) * (a + b + c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² =a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Nesse caso temos a possibilidade de aplicar a seguinte regra prática:

O somatório entre,

O quadrado do 1º termo.
O quadrado do 2º termo.
O quadrado do 3º termo.
O dobro do 1º termo pelo 2º termo.
O dobro do 1º termo pelo 3º termo
O dobro do 2º termo pelo 3º termo.

As seguintes multiplicações também são consideradas casos especiais, pois a resolução pode ser realizada aplicando uma regra prática.

(a + b) * (a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³

(a – b) * (a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³

A criação de novas regras práticas relacionadas ao desenvolvimento de determinados produtos notáveis é um ramo aberto na Matemática. Dessa forma, ao manipular os termos algébricos podemos criar novas regras práticas na resolução de situações algébricas.

Marcos Noé

Produtos notaveis

O quadrado da soma e o quadrado da diferença são expressões algébricas que se enquadram nas condições de produtos notáveis, pois podem ser resolvidas através de generalizações lógicas.

Quadrado da soma (a + b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado mais o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”

(x + 5)² = (x)² + 2*x*5 + (5)² = x² + 10x + 25

(2x + 4)² = (2x)² + 2*2x*4 + (4)² = 4x² + 16x + 16

(5x + 9)² = (5x)² + 2*5x*9 + (9)² = 25x² + 90x + 81

(6x + 2/3)² = (5x)² + 2*6x*2/3 + (2/3)² = 25x² + 8x + 4/9

(10x² + 12) = (10x²)² + 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 + 240x + 144

(x³ + 2x)² = (x³)² + 2*x³*2x + (2x)² = x6 + 4x4 + 4x²

(13x + 20)² = (13x)² + 2*13x*20 + (20)² = 169x² + 520x + 400


Quadrado da diferença (a – b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”


(x – 6)² = (x)² – 2*x*6 + (6)² = x² – 12x +36

(5x – 8)² = (5x)² – 2*5x*8 + (8)² = 25x² – 80x + 64

(9x – 7)² = (9x)² – 2*9x*7 + (7)² = 81x² – 126x + 49

(6x² – 4/6)² = (6x²)² – 2*6x²*4/6 + (4/6)² = 36x4 – 8x² + 16/36 = 36x4 – 8x² + 4/9

(10x² – 12) = (10x²)² – 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 – 240x + 144

(x4 – 2x²)² = (x4)² – 2*x4*2x² + (2x²)² = x8 – 4x6 + 4x4

(11x – 6z)² = (11x)² – 2*11x*6z + (6z)² = 121x² – 132xz + 36z²


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