Como P(x) é divisível por (x – 1) e o quociente nesta divisão é divisível por (x – 2), concluímos que P(x) é divisível por (x – 1) · (x – 2).
2a) No caso particular, se b = a, as divisões sucessivas permitem verificar se P(x) é divisível por (x – a)2, (x – a)3, etc.
Exemplo
Calcular a e b para que
P(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível por (x – 1)2.
Resolução
Dividimos P(x) por (x – 1), e o quociente encontrado também dividimos por (x – 1). Os restos nas duas divisões devem ser nulos.
Devemos ter:
Resolvendo o sistema, encontramos:
a = –6 e b = 4
Exercícios Resolvidos
01. (FGV-SP) Para que o polinômio
P(x) =x3 – 8x + mx – n seja divisível por (x + 1)(x – 2), o produto m · n deve ser igual a:b
a) – 8
b) 10
c) – 10
d) 8
e) – 6
Resolução
Condição: P(–1) = 0 e P(2) = 0
Resposta: B
|  | | |
02. Determine a e b de modo que o polinômio
P(x) = x3 + ax + b seja divisível por (x – 1)2.
Resolução
  a = -3 e b = 2
03. (UFSC-SC) Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x – 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1) · (x – 2) é da forma
ax + b, com a, b  R. Obter o valor numérico da expressão a + b.
Resolução
P(x) ÷ (x + 1)
 r = P (–1) P (–1) = 3
P(x) ÷ (x – 2)
r = P (2) P (2) = 6
R(x) = ax + b
P(x) = (x + 1) (x – 2) Q (x) + ax + b
P (–1) = 3
– a + b = 3
P (2) = 6
2 a + b = 6 a = 1 e b = 4
a + b = 5
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sexta-feira, 21 de fevereiro de 2020
Polinômios
Polinômios
• Briot-Ruffini para o binômio ax + b (a
 0, b 0 e a 1)
P(x) = (ax + b) · Q (x) + r
P(x) = a
 · Q(x) + r
P(x) =
· aQ(x) + r
Fazendo Q1(x) = a · Q(x), temos:
P(x) =
· Q1(x) + r
Assim, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para
, obtemos Q1(x) e r, em que r também é o resto na divisão por (ax + b) e  · Q1(x) é o quociente na divisão por (ax + b)
Exemplo
Dividir P(x) = 2x3 – 4x2 + 6x – 2 por (2x – 1).
Resolução
Assim:
 
Exercícios Resolvidos
01. Efetuar, utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, a divisão do polinômio P(x) = 2x4 + 4x3– 7x2+12 por D(x) = (x – 1).
| | | |
Resolução
Assim, temos:
Quociente: Q(x) = 2x3 + 6x2 – x – 1
Resto: R(x) = 11
02. Obter o quociente e o resto da divisão de
P(x) = 2x5 – x3 – 4x + 6 por (x + 2).
Resolução
Assim, temos:
Quociente: Q(x) = 2x4 – 4x3 + 7x2 – 14x + 24
Resto: R(x) = – 42
03. Qual o resto da divisão de P(x) = x40 – x – 1 por
(x–1)?
Resolução
R = P(1) = 140 – 1 – 1 = –1
04. (PUC-MG 2001) O polinômio
P(x) = x4 – kx3 + 5x2 + 5x + 2k é divisível por x – 1. Então, o valor de k é:
a) –11
b) –1/3
c) 1/5
d) 9
Resolução
P(x) = x4 – kx3 + 5x2 + 5x + 2k
P(x) divisível por (x – 1): P(1) = 0
14 – k · 13 + 5 · 12 + 5 · 1 + 2k = 0
1– k + 5 + 5 + 2k = 0
 k = –11
Resposta: A
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Ácidos nucléicos
Ácidos nucléicos
Os ácidos nucléicos são moléculas gigantes (macromoléculas), formadas por unidades monoméricas menores conhecidas como nucleotídeos. Cada nucleotídeo, por sua vez, é formado por três partes:
* um açúcar do grupo das pentoses (monossacarídeos com cinco átomos de carbono);
* um radical “fosfato”, derivado da molécula do ácido ortofosfórico (H3PO4).
* uma base orgânica nitrogenada.
Sabia-se de sua presença nas células, mas a descoberta de sua função como substâncias controladoras da atividade celular foi um dos passos mais importantes da história da Biologia. A partir do século XIX, com os trabalhos do médico suíço Miescher, iniciaram-se as suspeitas de que os ácidos nucléicos eram os responsáveis diretos por tudo o que acontecia em uma célula. Em 1953, o bioquímico norte-americano James D. Watson e o biologista molecular Francis Crick propuseram um modelo que procurava esclarecer a estrutura e os princípios de funcionamento dessas substâncias.
O volume de conhecimento acumulados a partir de então caracteriza o mais extraordinário conhecimento biológico que culminou, nos dias de hoje, com a criação da Engenharia Genética, área da Biologia que lida diretamente com os ácidos nucléicos e o seu papel biológico.
De seus três componentes (açúcar, radical fosfato e base orgânica nitrogenada) apenas o radical fosfato não varia no nucleotídeo. Os açucares e as bases nitrogenadas são variáveis.
Quanto aos açucares, dois tipos de pentoses podem fazer parte de um nucleotídeo: ribose e desoxirribose (assim chamada por ter um átomo de oxigênio a menos em relação à ribose.
Já as bases nitrogenadas pertencem a dois grupos:
* as púricas: adenina (A) e guanina (G);
* as pirimídicas: timina (T), citosina (C) e uracila (U).
DNA e RNA: Qual é a diferença?
É da associação dos diferentes nucleotídeos que se formam as macromoléculas dos dois tipos de ácidos nucléicos: o ácido ribonucléico (RNA) e o ácido desoxirribonucléico (DNA). Eles foram assim chamados em função dos açúcar presente em suas moléculas: O RNA contém o açúcar ribose e o DNA contém o açúcar desoxirribose.
Outra diferença importante entre as moléculas de DNA e a de RNA diz respeito às bases nitrogenadas: no DNA, as bases são citosina, guanina, adenina e timina; no RNA, no lugar da timina, encontra-se a uracila. A importância e o funcionamento dos ácidos nucléicos.
www.sobiologia.com.br
Os ácidos nucléicos são moléculas gigantes (macromoléculas), formadas por unidades monoméricas menores conhecidas como nucleotídeos. Cada nucleotídeo, por sua vez, é formado por três partes:
* um açúcar do grupo das pentoses (monossacarídeos com cinco átomos de carbono);
* um radical “fosfato”, derivado da molécula do ácido ortofosfórico (H3PO4).
* uma base orgânica nitrogenada.
Sabia-se de sua presença nas células, mas a descoberta de sua função como substâncias controladoras da atividade celular foi um dos passos mais importantes da história da Biologia. A partir do século XIX, com os trabalhos do médico suíço Miescher, iniciaram-se as suspeitas de que os ácidos nucléicos eram os responsáveis diretos por tudo o que acontecia em uma célula. Em 1953, o bioquímico norte-americano James D. Watson e o biologista molecular Francis Crick propuseram um modelo que procurava esclarecer a estrutura e os princípios de funcionamento dessas substâncias.
O volume de conhecimento acumulados a partir de então caracteriza o mais extraordinário conhecimento biológico que culminou, nos dias de hoje, com a criação da Engenharia Genética, área da Biologia que lida diretamente com os ácidos nucléicos e o seu papel biológico.
De seus três componentes (açúcar, radical fosfato e base orgânica nitrogenada) apenas o radical fosfato não varia no nucleotídeo. Os açucares e as bases nitrogenadas são variáveis.
Quanto aos açucares, dois tipos de pentoses podem fazer parte de um nucleotídeo: ribose e desoxirribose (assim chamada por ter um átomo de oxigênio a menos em relação à ribose.
Já as bases nitrogenadas pertencem a dois grupos:
* as púricas: adenina (A) e guanina (G);
* as pirimídicas: timina (T), citosina (C) e uracila (U).
DNA e RNA: Qual é a diferença?
É da associação dos diferentes nucleotídeos que se formam as macromoléculas dos dois tipos de ácidos nucléicos: o ácido ribonucléico (RNA) e o ácido desoxirribonucléico (DNA). Eles foram assim chamados em função dos açúcar presente em suas moléculas: O RNA contém o açúcar ribose e o DNA contém o açúcar desoxirribose.
Outra diferença importante entre as moléculas de DNA e a de RNA diz respeito às bases nitrogenadas: no DNA, as bases são citosina, guanina, adenina e timina; no RNA, no lugar da timina, encontra-se a uracila. A importância e o funcionamento dos ácidos nucléicos.
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