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sexta-feira, 28 de fevereiro de 2020

Quadrado da diferença

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com

Algumas multiplicações envolvendo expressões algébricas revelam certos padrões matemáticos em suas resoluções. Essas expressões são conhecidas como produtos notáveis, que se dividem em quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. Desses, destacaremos a nossa atenção para o quadrado da diferença e seu desenvolvimento.

As expressões que possuem a forma (a – b)2 podem ser resolvidas de duas formas distintas: aplicando a propriedade distributiva da multiplicação ou a regra prática.

Utilizando a propriedade distributiva na expressão (a – b)2.
Pela definição de potenciação sabemos que (a – b)2 pode ser escrito na forma
(a – b)* (a – b).

(a – b)* (a – b) = a*a – a*b – b*a + b*b = a² – 2ab + b²
(x – 4)² = (x – 4) * (x – 4) = x*x – 4*x – 4*x + 4*4 = x² – 8x + 16
(2y – 5)² = (2y – 5) * (2y – 5) = 2y*2y – 2y*5 – 5*2y + 5*5 = 4y² – 20y + 25
(5a – 2b)² = (5a – 2b) * (5a – 2b) = 5a*5a – 5a*2b – 2b*5a + 2b*2b = 25a² – 20ab + 4b²

Utilizando a regra prática na expressão (a – b)2.
“O quadrado do primeiro termo menos, duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.”

(y – 6)² = (y)² – 2*y*6 + (6)² = y² – 12y + 36

(4b – 9)² = (4b)² – 2*4b*9 + (9)² = 16b² – 72b + 81

(7y – 6x)² = (7y)² – 2*7y*6x + (6x)² = 49y² – 84xy + 36x²

(10x – 2z)² = (10x)² – 2*10x*2z + (2z)² = 100x² – 40xz + 4z²
Marcos Noé

Histologia animal


Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Tecidos animais.

Tecidos são agrupamentos de células e determinadas estruturas que, atuando de forma integrada, desempenham funções específicas. Assim, estão presentes somente em organismos multicelulares, tais como animais e plantas; o que não quer dizer que todos estes representantes os possuem. Este é o caso das algas e fungos multicelulares e esponjas.

Na Biologia, a ciência que estuda os tecidos é denominada Histologia (do grego: hydton = tecido + logos = estudos), sendo o principal enfoque desta os tecidos de animais vertebrados.

Proteção, absorção e secreção de substâncias, percepção de sensações, sustentação, locomoção, movimentação de órgãos internos, transmissão de informações, preenchimento, armazenamento, regeneração, defesa, transporte de sustâncias são algumas funções que os tecidos exercem.

Estes podem ser de quatro tipos:

- Tecidos epiteliais; que podem ser classificados em tecidos epiteliais de revestimento ou glandulares.
- Tecidos conjuntivos; divididos em tecido conjuntivo frouxo, denso, adiposo, reticular, cartilaginoso e ósseo.
- Tecidos musculares; do tipo estriado esquelético, estriado cardíaco ou liso.
- Tecido nervoso, cujos principais componentes são os neurônios e células da glia.

Tais tecidos associam-se e formam órgãos corporais. Assim, um único órgão geralmente possui mais de um tecido, estes especializados em aspectos distintos. A traqueia, por exemplo, é constituída de tecido muscular liso, reforçada com anéis cartilaginosos e revestida internamente por epitélio do tipo cilíndrico ciliado.
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Sistema endócrino Regulação e controle das funções do corpo


Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Tireoide, glândula do sistema endócrino humano
O sistema endócrino, em conjunto com o sistema nervoso, regula e controla todas as funções de nosso organismo. Só para citar alguns poucos exemplos, o sistema endócrino atua no crescimento de tecidos, no equilíbrio hídrico do corpo, na reprodução e no metabolismo de carboidratos. Ele é formado por uma série de glândulas, chamadas de glândulas endócrinas.

As glândulas endócrinas secretam os hormônios, substâncias que são lançadas na corrente sanguínea, atingindo as células dos diversos tecidos do corpo humano. Os hormônios podem estimular ou inibir as funções metabólicas. Cada hormônio atua apenas sobre algumas células específicas, são as chamadas células-alvo. Alguns hormônios também atuam em conjunto ou em oposição a outros.

As principais glândulas endócrinas humanas são: a pineal, a hipófise, a tireoide, as paratireoides, as suprarrenais, o pâncreas, os ovários (nas mulheres) e os testículos (nos homens). Agora veremos um pouco sobre as funções e os hormônios secretados por cada uma delas.

Pineal
A pineal é uma pequena glândula situada no centro do cérebro. Sua principal função é o controle dos ciclos diários de sono e vigília. Durante a noite, a escuridão estimula a secreção de um hormônio da pineal, a melatonina, que induz ao sono. Já a claridade inibe a produção de melatonina.

Hipófise
A hipófise, ou pituitária, é uma pequena glândula, situada sob o encéfalo e ligada ao hipotálamo. Além de controlar diretamente diversas funções metabólicas, a hipófise também estimula ou inibe a ação de outras glândulas. Ela é dividida em duas regiões, uma posterior, chamada de neuro-hipófise, e outra anterior, a adeno-hipófise.

A neuro-hipófise secreta principalmente dois hormônios: a ocitocina e o hormônio antidiurético (ADH). A ocitocina atua sobre o útero, promovendo as contrações do parto, e sobre as glândulas mamárias, estimulando a secreção do leite. O ADH controla o equilíbrio hídrico do organismo. Ele atua sobre os rins aumentando a reabsorção de líquidos.

A adeno-hipófise secreta diversos hormônios. Alguns deles são: a somatotrofina (GH), o hormônio folículo estimulante (FSH), o hormônio luteinizante (LH), a prolactina e o hormônio tireotrófico (TSH).

A somatotrofina estimula a multiplicação celular e o desenvolvimento de tecidos. Consequentemente, o GH estimula o crescimento do corpo, sendo, por isso, conhecido também como "hormônio do crescimento".

Nas mulheres, o FSH atua sobre os ovários, promovendo o amadurecimento dos folículos e estimulando a liberação de estrogênio. Nos homens, o FSH atua sobre os testículos, estimulando a produção de testosterona.

O LH estimula a ovulação nas mulheres e a produção de testosterona nos homens. A prolactina atua sobre as glândulas mamárias, estimulando a produção de leite após o parto. O TSH atua sobre a tireoide, outra glândula do sistema endócrino, regulando a sua atividade.

Tireoide
A tireoide é uma glândula situada na região frontal do pescoço. Os principais hormônios secretados pela tireoide são: a tiroxina (T4), a triidoxina (T3) e a calcitonina. O T4 e o T3 regulam o metabolismo celular. Já a calcitonina regula a concentração de cálcio, elemento importante para a contração muscular.

Tanto a falta quanto o excesso de hormônios tireoidianos provocam doenças. O primeiro caso é conhecido como hipotiroidismo. Nesta disfunção, a baixa concentração de hormônios tireoidianos provoca uma redução do metabolismo, levando a consequências como ganho de peso, cansaço e disfunções intestinais.

Já no hipertiroidismo, o excesso de hormônios tireoidianos provoca um aumento do metabolismo, levando a sintomas como perda de peso, aumento de apetite, agitação e taquicardia.

Paratireóides
Ligadas à parte posterior da tireóide, existem quatro pequenas glândulas endócrinas, chamadas paratireoides. As paratireoides secretam o paratormônio (PTH), que atua na regulação da concentração de cálcio no organismo.

Suprarrenais
As glândulas suprarrenais, ou adrenais, estão localizadas sobre os rins. Internamente, são divididas em duas regiões, uma externa, o córtex adrenal, e outra interna, a medula adrenal.

Dois dos principais hormônios secretados pelo córtex adrenal são o cortisol e a aldesterona. Ambos são derivados do colesterol e, por isso, são chamados de esteroides. A principal função do cortisol é regular a permeabilidades dos capilares sanguíneos. Já a aldesterona atua sobre os rins, aumentado a absorção de sais durante o processo de filtração do sangue.

Os principais hormônios secretados pela medula adrenal são a adrenalina e a noradrenalina. A adrenalina prepara o organismo para situações de perigo ou estresse. Entre outros efeitos, ela aumenta os batimentos cardíacos e a pressão arterial, preparando o indivíduo para uma reação rápida. A noradrenalina controla a pressão sanguínea do corpo.

Pâncreas
O pâncreas é uma glândula mista localizada na região abdominal. Ele é chamado de glândula mista pelo fato de possuir tanto funções endócrinas quanto exócrinas. A função endócrina é realizada por diversos conjuntos de células chamadas de ilhotas de Langerhans.

Dois dos principais hormônios produzidos pelas ilhotas de Langerhans são a insulina e o glucagon, ambos relacionados ao controle da concentração de glicose no sangue. A insulina estimula a absorção da glicose presente no sangue e o seu armazenamento no fígado, na forma de glicogênio. Já o glucagon estimula o aumento da concentração de glicose no sangue e a quebra do glicogênio.

A deficiência de insulina provoca uma doença conhecida como diabete melito. A baixa concentração de insulina dificulta a absorção de glicose, afetando o metabolismo celular e, consequentemente, provocando um aumento dessa substância no sangue

Ovários
Os ovários secretam os hormônios sexuais femininos, o estrógeno e a progesterona. O estrógeno, entre outras funções, está relacionado ao ciclo menstrual e ao desenvolvimento de características sexuais secundárias femininas, como os seios e o acúmulo de gordura em certas regiões do corpo. A progesterona promove alterações necessárias para a manutenção de uma possível gravidez. No útero, por exemplo, o hormônio promove a formação do endométrio, tecido sobre o qual o embrião se fixa.

Testículos
Os testículos secretam o hormônio sexual masculino, a testosterona. Este hormônio, entre outras funções, promove o desenvolvimento de características sexuais secundárias masculinas, tais como voz grossa e barba.
Alice Dantas Brites é professora de biologia.

Sistema Reprodutor

O sistema reprodutor é um termo aplicado a um grupo de órgãos necessários ou acessórios aos processos de reprodução. As unidades básicas da reprodução sexual são as células germinais masculinas e femininas.

Ciclo de resposta sexual, dividido em quatro fases:

1º) Excitação

Inicio da resposta sexual, o pênis e o clitóris sofrem ereção. Na mulher, os lábios vulvares intumescem, os mamilos se eriçam, a vagina se alonga e passa a produzir uma secreção lubrificante.

2º) Fase de Estabilização

A circulação sanguínea nos órgãos genitais e a tensão muscular aumentam. A porção interna da vagina expande-se e o útero eleva-se, se preparando para receber o esperma. Os movimentos respiratórios aumentam e o batimento cardíaco acelera. A cópula ou coito, que é a introdução do pênis na vagina, leva ao orgasmo.

3º) Fase de Orgasmo

É o clímax da excitação sexual e se caracteriza pelas contrações rítmicas e involuntárias dos órgãos do sistema reprodutor de ambos os sexos. No homem, durante o orgasmo, as contrações das glândulas acessórias e os dutos espermáticos trazem o esperma até a uretra, ocorrendo a ejaculação em seguida. No orgasmo feminino, o útero e a porção mais externa da vagina também se contraem.

4º) Fase de Dissolução

A musculatura se relaxa, os órgãos começam a voltar ao normal. A maioria dos homens apresenta após o orgasmo, um período refratório onde não ocorre resposta ao estímulo sexual. A duração desse período varia em diferentes indivíduos e situações. Já a maioria das mulheres, pode repetir o ciclo sexual imediatamente se for estimulada.

Fecundação

Os espermatozóides depositados no fundo da vagina no ato sexual, nadam para o interior do útero, de onde atingem os ovidutos. Durante a viagem à trompa, muitos espermatozóides morrem, devido as condições desfavoráveis de acidez ou são devorados por macrófagos, células responsáveis pela limpeza do sistema reprodutor feminino. Mesmo assim, milhares de espermatozóides atingem o óvulo. O primeiro espermatozóide a tocar na membrana do óvulo, penetra, fenômeno denominado fecundação ou fertilização. O óvulo estimulado pela entrada do gameta masculino, completa a meiose e elimina o segundo corpúsculo polar. Finalmente o pronúcleo masculino se funde ao núcleo do óvulo, originando o núcleo do zigoto.

Embrião

O desenvolvimento embrionário tem início ainda na trompa, logo após a fertilização. Cerca de 24h após a penetração do espermatozóide, o zigoto se divide, formando as duas primeiras células embrionárias, que se dividem novamente, produzindo quatro células, que se dividem produzindo oito e assim sucessivamente. As divisões celulares continuam ocorrendo à medida que o embrião se desloca pela trompa em direção ao útero, depois de 3 dias após a fecundação.

Após permanecer livre na cavidade uterina por cerca de 3 a 4 dias, nutrindo-se de substâncias produzidas por glândulas do endométrio, o embrião então, implanta-se na mucosa uterina, processo chamado de nidação.
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Anelídeos


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Representantes dos anelídeos portadores de cerdas.
Filo do Reino Animal constituído por animais invertebrados triblásticos, celomados, de corpo cilíndrico, possuindo simetria bilateral e metamerização interna e externa do corpo, formado por vários anéis. Seus representantes, com ampla distribuição, habitam ambientes aquáticos ou terrestres.

As principais características anatômicas internas desses organismos são:

- Sistema Digestório: constituído por boca, faringe, papo, moela, intestino e ânus;
- Sistema Circulatório: fechado e com vasos contráteis (corações), que atuam impulsionando o sangue;
- Sistema Excretor: formado por metanefrídeos;
- Sistema Respiratório: realizado por difusão entre as camadas da epiderme (cutânea), ou branquiais, através de codificações do aparelho locomotor de algumas espécies;
- Sistema Nervoso: ganglionar, composto de diversos gânglios ligados entre si por cordões nervosos ventrais.
- Sistema Reprodutor: nos organismos dióicos, ocorre por processos sexuados; e nos monóicos, por fecundação cruzada.

A classificação do Filo Annelida (seres segmentados)

Classe Oligochaeta (oligo = pouco; chaeta = cerdas) → são anelídeos com poucas cerdas no corpo, possuindo uma região epidérmica espaçada, o clitelo, sendo responsável pela síntese de um casulo que abrigará os ovos fecundados durante a reprodução.
Exemplo: as minhocas.

Classe Polychaeta (poly = várias; chaeta = cerdas) → são anelídeos portadores de inúmeras cerdas inseridas em projeções laterais ao corpo, formando estruturas denominadas parapódios que auxiliam na locomoção. Esses animais são desprovidos de clitelo. A maioria das espécies deste grupo se reproduz sexuadamente, possuindo fertilização externa que resulta na formação de larvas livre nadantes.
Exemplo: Nereis (organismo marinho).

Classe Hirudínea → anelídeos sem cerdas e com ventosas bucais e na região posterior do corpo. São hermafroditas, com fecundação cruzada e desenvolvimento direto.
Exemplo: sanguessuga.
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Sistema Nervoso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Sistema Nervoso

Na nossa relação com o mundo, o tempo inteiro somos estimulados e respondemos aos elementos do ambiente. A cada estímulo externo (como o cheiro de um alimento ou o som de uma buzina) e mesmo interno (como dor ou sensação de fome), o organismo reage, ou seja, de certo modo “responde a essas perguntas:

De onde vem o estímulo?

Como meu corpo reage a esse estímulo?

Isto me fará bem ou mal?

Já tive essa sensação antes?

Esse processo ocorre no sistema nervoso central de maneira tão instantânea que a nossa consciência não tem como identificar todas as suas etapas, nem os milhares de estímulos que o corpo recebe a todo instante.

Para compreender melhor como percebemos os estímulos externos e como respondemos a eles, é fundamental reconhecer o sistema que forma a rede de comunicação do corpo.



Por que precisamos de um sistema nervoso?

Seu cérebro é o órgão mais importante de seu corpo. Ele controla tudo o que você faz, seus movimentos, seus pensamentos e sua memória. Muitas vezes ele não age diretamente, mas pode controlar pequenas quantidades de substâncias químicas do sangue, que, por sua vez, têm um forte efeito sobre outra parte do corpo.



Embora pareça muito simples, o cérebro é imensamente complicado. E uma massa de tecido esbranquiçado, bastante mole ao tato, que ocupa cerca de metade do volume da cabeça. Fica posicionado no alto da cabeça, acima dos olhos e dos ouvidos, estendendo para trás e para a parte inferior da cabeça.

Quase tão importante quanto o cérebro é o restante do sistema nervoso. A medula espinhal estende-se do cérebro para baixo, ao longo da coluna, O cérebro e a medula espinhal formam o sistema nervoso central.

Ao longo do comprimento da medula espinhal saem nervos semelhantes a fios que se dividem e se ligam com quase todas as partes do corpo. Os nervos transportam mensagens dos órgãos dos sentidos para o cérebro, e também instruções do cérebro para outras partes do corpo. O cérebro funciona como uma rede telefônica complicada, mas muito compacta, com um complexo fluxo de mensagens que chegam, são selecionadas e depois dirigidas a seu destino apropriado.





As membranas protetoras do cérebro

Por ser um órgão tão importante, o cérebro precisa de boa proteção contra acidentes. Ficando em pé, o ser humano mantém o cérebro e a cabeça afastados de choques e batidas. Mesmo assim, é necessária uma proteção muito confiável. Por isso o cérebro fica alojado no crânio, uma dura caixa óssea.

Embora de paredes finas, o crânio é muito resistente devido a sua forma arredondada. Uma das formas mais fortes que se conhece é uma bola rígida. Um ovo, por exemplo, é extremamente resistente, considerando-se como é fina sua casca. Assim, o mole e delicado cérebro é protegido contra danos externos diretos pelo resistente crânio. Entretanto, mesmo sendo o crânio rígido e forte, um abalo violento poderia balançar o cérebro e causar-lhe danos. É preciso, então, maior proteção, que é dada por três membranas, denominadas meninges, que recobrem completamente o cérebro. A membrana mais externa é chamada de dura-máter, que fornece uma boa proteção e apoio devidos a sua constituição forte e coriácea.

Junto ao cérebro há uma outra membrana, denominada pia-máter, muito mais fina, que acompanha cada depressão e cada elevação da superfície do cérebro. Entre essas duas membranas há uma terceira, de constituição esponjosa, a aracnóide. Os espaços desta membrana são preenchidos por um liquido no qual flutua todo o cérebro, fornecendo a camada protetora final. Há ainda grandes espaços dentro do cérebro, que também são preenchidos com o mesmo liquido da aracnóide, de modo que o delicado tecido do cérebro não se deforma quando movemos nossa cabeça.


A medula espinhal

A medula espinhal é uma extensão do cérebro, estendendo-se da base do crânio até logo abaixo das costelas. E uma haste de tecido cerebral, com um pequeno canal passando através de todo seu comprimento. Toda a medula é coberta por membranas, tal como o cérebro, e é também banhada por dentro e por fora com o mesmo líquido protetor do cérebro.

Como o cérebro, a medula espinhal precisa de proteção. Enquanto o cérebro está seguramente encerrado em um crânio rígido, a medula espinhal está cercada por um conjunto de ossos chamados vértebras. Estes formam a coluna vertebral, que é capaz de flexionar-se quando nos dobramos ou movemos. Ao mesmo tempo, a coluna vertebral tem que ser forte o suficiente para suportar o peso do corpo e dar proteção segura à coluna espinhal. Poderia parecer que flexibilidade, força e proteção de seu frágil conteúdo não poderiam ser obtidos pela coluna vertebral, mas sua construção engenhosa toma tudo isso possível.



A coluna vertebral é constituída por mais de duas dúzias de vértebras em forma de anel. A medula espinhal passa através do buraco existente no centro de cada uma das vértebras, e é completamente protegida pelos arcos ósseos. As protuberâncias ósseas das vértebras articulam-se de maneira que cada vértebra pode mover-se apenas um pouco, para não apertar ou machucar a medula espinhal. Entre cada par de vértebras há pequenas aberturas através das quais os nervos podem passar, ramificando-se a partir da própria medula espinhal. A complicada estrutura da coluna é mantida unida por flexíveis cordões de ligamento e por músculos poderosos.



A estrutura do encéfalo

O encéfalo se parece com uma noz grande, de cor rosa clara. Sua superfície é profundamente enrugada e cheia de dobras, e sua parte superior está quase dividida em duas partes por um sulco muito profundo. Essa superfície enrugada ocupa a maior parte do encéfalo e é chamada de cérebro. Na maioria dos animais o cérebro é bem pequeno, mas no homem ele cresceu tanto que cobre todo o resto do encéfalo.

O cérebro, junto com outras partes do encéfalo, cresce do tronco cerebral, que é uma expansão no topo da medula espinhal. Um pouco mais abaixo do tronco cerebral está o cerebelo, com apenas 1/8 do tamanho do cérebro, mas bastante semelhante em sua aparência exterior. E até mesmo mais enrugado, e está colocado diretamente na parte de trás da cabeça. O tálamo e o hipotálamo, outras partes menores do encéfalo, também crescem do tronco cerebral, sendo completamente cobertos pela massa do cérebro. Uma série de grandes espaços, ou ventrículos, atravessam toda a estrutura do cérebro, e são preenchidos com líquido.


O tronco cerebral

O tronco cerebral, onde se localiza o bulbo, é algumas vezes chamado de a parte mais velha do cérebro, porque é a principal parte do cérebro na maioria dos animais primitivos. Controla a maior parte das funções importantes do corpo, e é o sistema de sustentação da vida. Se o tronco cerebral não for prejudicado, é realmente possível o corpo permanecer vivo por algum tempo, mesmo depois que o resto do cérebro tenha sido destruído.

O tronco cerebral atua junto com a medula espinhal para controlar as funções vitais, como o batimento regular do coração, a pressão sanguínea e a respiração. Mas a função mais importante do tronco cerebral é controlar a consciência, desligando as atividades do cérebro quando dormimos e ligando quando acordamos. Mesmo quando dormimos o tronco cerebral controla e confere nossas atividades vitais, mantendo o corpo funcionando.



O tronco cerebral trabalha como um computador, continuamente conferindo e controlando as informações que entram no cérebro através do sistema nervoso; em seguida ele age em cima dessa informação liberando as mensagens para que o sistema nervoso controle o corpo inteiro. Não tomamos consciência de todas essas atividades; podemos apenas notar seus efeitos. O tronco cerebral controla funções, como a respiração, automaticamente.



Cerebelo

Se localiza abaixo do cérebro. Coordena, com o cérebro, os movimentos do corpo. É responsável pelo equilíbrio do corpo, pois está ligado a alguns canais da orelha interna. Além disso, mantém o tônus muscular, isto é, regula o grau de contração muscular dos músculos em repouso.



Como as mensagens passam pelos neurônios

Um sinal carregado por um neurônio pode parecer com uma corrente elétrica sendo carregada através de um fio, mas na realidade é bem diferente. Uma minúscula carga elétrica é produzida, mas o movimento do sinal ao longo de um axônio é mais semelhante à queima de um estopim de pólvora. O sinal move-se com uma velocidade entre 1,5 metros e 90 metros por segundo.

O axônio é um tubo fino cheio de substâncias químicas dissolvidas em água. Muitos têm a parte exterior coberta com uma camada de material gorduroso, como um isolamento elétrico. A passagem de um sinal ao longo do axônio envolve o movimento de íons, ou minúsculas partículas eletricamente carregadas de dois elementos metálicos: sódio e potássio. Normalmente há mais potássio do lado de dentro de um axônio e mais sódio do lado de fora. Quando passa um sinal, a membrana que cobre o axônio se altera, permitindo aos íons escoarem através dela, causando uma mudança súbita nas propriedades elétricas nesse ponto. Essas mudanças oscilam ao longo do axônio como uma onda.



Quando o sinal alcança a sinapse, ele deve cruzar um pequeno intervalo para alcançar o próximo neurônio. Minúsculas bolhas nas ramificações da extremidade dos axônios contêm substâncias químicas, chamadas transmissores. Estas são liberadas quando atingidas pelos sinais e então atravessam o intervalo da sinapse. Quando contatam os dendritos da célula seguinte, dão início ao movimento do sódio e do potássio, transmitindo o sinal.

Agora o primeiro neurônio volta ao estado de descanso normal, esperando por outro sinal. Os transmissores químicos que carregam um sinal através do intervalo da sinapse podem ser de dois tipos diferentes. Alguns são chamados de substâncias químicas excitadoras. Estas são as substâncias que passam a mensagem para o próximo neurônio, que em seguida, começa as mudanças elétricas que darão origem a sinais a serem produzidos e passados ao longo do axônio. Os outros transmissores são chamados de substâncias químicas inibidoras. Sua função é evitar que um sinal seja produzido em outro neurônio.



Milhares de neurônios estão em contato com os outros através de sinapse, e muitos estarão produzindo sinais excitadores ou inibidores, O neurônio não produzirá nenhum sinal a menos que receba mais mensagens excitadoras ("liga") do que inibidoras ("desliga").Um sinal de um ou dois neurônios não é suficiente para acionar um outro - ele deve receber vários sinais de uma vez. Isto significa que quaisquer sinais ocasionais de milhares de neurônios ao redor não causarão uma mensagem falsa a ser passada. E quase como o princípio da votação, onde o neurônio precisa dos "votos" de uma série de outros neurônios antes de ser capaz de emitir um sinal.

Rotas através do sistema nervoso



A atividade elétrica dos neurônios não tem lugar apenas no cérebro. Os nervos espalham-se pelo corpo todo desde o alto da cabeça até a ponta dos dedos dos pés. São feixes de axônios, ou fibras nervosas, dividindo-se e tomando-se mais finos quanto mais afastados estão do cérebro ou da medula espinhal. Os corpos das células dos neurônios estão agrupados na massa cinzenta, na superfície do cérebro, na massa cinzenta similar, na parte interna da medula espinhal, e em pequenos nódulos chamados gânglios, perto da coluna vertebral.

As mensagens dos órgãos dos sentidos, situados nos olhos, nariz, ouvidos e boca, dos órgãos do tato, espalhados por toda a superfície do corpo, e até mesmo em alguns órgãos internos, chegam ao cérebro através do sistema nervoso. Os neurônios que carregam essas mensagens para o cérebro são chamados neurônios sensoriais. Outros sinais passam do cérebro e da medula espinhal de volta para todo o corpo, sendo carregados pelos chamados neurônios motores.



Os sinais passam ao longo de todo o sistema muito rapidamente, mas não tão depressa quanto em um circuito elétrico normal. Leva um certo tempo para os sinais serem carregados através da sinapse pelas substâncias químicas transmissoras. Por esta razão os axônios dos nervos são imensamente compridos de maneira que a mensagem possa ser levada tão rápido quanto possível, sem ser retardada por sinapses desnecessárias.



A rede neurônica

É difícil perceber como podem ser complicadas as conexões das células nervosas. Os terminais das ramificações de um axônio não apenas tocam a célula mais próxima mas podem também estar em contato com outras 50.000 células ou mais. Sabemos que as mensagens passam de um neurônio para o seguinte na rede de células e que sinais repetidos geralmente passam pelo mesmo caminho. Se queremos dizer a palavra "cérebro", as instruções para a fala vêm do cérebro e passam ao longo de uma série de caminhos especiais. Se queremos dizer "cérebro" em voz mais baixa ou mais alta os músculos da caixa da voz (laringe) devem ser instruídos para se moverem de maneiras diferentes; então, as mensagens devem passar por caminhos diferentes.

O cérebro pode selecionar diferentes conjuntos de caminhos para obter resultados semelhantes. Por causa dessa habilidade, as pessoas podem, muitas vezes, sobrepujar danos cerebrais, aprendendo a usar partes diferentes do cérebro para duplicar as funções das partes prejudicadas. Isso é importante para nós, porque, ao contrário de outras células do corpo, as células do cérebro não podem crescer ou regenerar-se depois do nosso nascimento. Células cerebrais estão morrendo a cada minuto, mas temos as remanescentes tomando o seu lugar e geralmente não notamos qualquer efeito prejudicial.



Os reflexos

O controle cerebral é essencial para muitas de nossas funções, mas em algumas situações é necessário que o corpo reaja muito rapidamente, na verdade, sem esperar instruções. Essas reações de emergência são chamadas reflexos. Afastar o dedo de uma picada de alfinete é uma reação muito comum para evitar ferimentos. Isso acontece rapidamente, antes mesmo que possamos perceber o que houve. É um reflexo.


Mini órgãos sensoriais da pele chamados receptores, registram a picada do alfinete e imediatamente passam os sinais para os nervos que correm pelo braço em direção à medula espinhal. Os sinais são então transmitidos para outras fibras nervosas (neurônios) que os carregam para a massa cinzenta dentro da medula espinhal. Na medula, os sinais saem em duas direções. Alguns contatam fibras nervosas que os conduzem diretamente de volta aos músculos do braço. Eles fazem os músculos do braço reagirem violentamente, afastando a mão para longe da picada do alfinete. Enquanto isso, os outros sinais originais ainda estão sendo levados ao cérebro, através da medula espinhal.

Uma fração de segundo mais tarde percebemos que fomos picados. E dói. O cérebro instrui agora a cabeça e os olhos para se moverem e observarem o ferimento. Algumas vezes temos que levar uma picada quando recebemos uma vacina, por exemplo. Contudo, sabemos disso com antecedência, e, embora a picada da agulha acione um reflexo, o cérebro manda uma mensagem inibidora pela medula espinhal. Então o reflexo é contido antes de ser completado e o braço, portanto, não se afasta da picada.
O sistema nervoso periférico

O Sistema Nervoso Periférico é constituído pelos nervos e gânglios nervosos e sua função é conectar o sistema nervoso central às diversas partes do corpo humano.



Nervos e gânglios nervosos

Nervos são feixes de fibras nervosas envoltas por uma capa de tecido conjuntivo. Nos nervos há vasos sanguíneos, responsáveis pela nutrição das fibras nervosas. As fibras presentes nos nervos podem ser tanto dendritos como axônios que conduzem, respectivamente, impulsos nervosos das diversas regiões do corpo ao sistema nervoso central e vice-versa. Gânglios nervosos são aglomerados de corpos celulares de neurônios localizados fora do sistema nervoso central. Os gânglios aparecem como pequenas dilatações em certos nervos.



Nervos sensitivos, motores e mistos

Nervos sensitivos são os que contêm somente fibras sensitivas, que conduzem impulsos dos órgãos sensitivos para o sistema nervoso central. Nervos motores são os que contêm somente fibras motoras, que conduzem impulsos do sistema nervoso central até os órgãos efetuadores (músculos ou glândulas). Nervos mistos contêm tanto fibras sensitivas quanto motoras.



O sistema nervoso autônomo

Algumas das atividades do sistema nervoso, como o pensamento e o controle dos movimentos, são muito óbvias para nós. Mas o sistema nervoso também está trabalhando, sem que o percebamos, no controle dos órgãos internos.

Esta é a responsabilidade de uma parte especial do sistema nervoso chamada sistema nervoso autônomo, que regula a circulação sanguínea, a digestão, a respiração, os órgãos reprodutores e a eliminação dos resíduos do organismo. Também controla glândulas importantes que têm efeitos poderosos sobre o corpo. O sistema nervoso autônomo trabalha independentemente da maior parte do cérebro e suas células estão agrupadas em gânglios próximos da coluna vertebral. Ele opera inteiramente por reflexos e, embora o tronco cerebral também esteja envolvido em suas atividades, não temos consciência disso.



Esse sistema está dividido em duas partes, o sistema nervoso simpático e parassimpático, que trabalham um em oposição ao outro. Um dos sistemas estimulam um órgão, uma glândula, por exemplo, fazendo-a trabalhar bastante, o outro sistema faz cessar esse trabalho. Primeiro um começa; depois o outro, e o resultado é que o órgão é mantido trabalhando no nível correto.

O trabalho do sistema nervoso simpático pode ser observado quando estamos bravos ou assustados; sua ação faz o coração bater mais rápido e a respiração tornar-se mais profunda. As pupilas dos olhos dilatam-se e nos tornamos pálidos à medida que o sangue é drenado da pele para alimentar os músculos de que podemos precisar para uma reação qualquer. Isso tudo acontece porque o sistema simpático foi, acionado, fazendo o corpo ficar pronto para uma emergência.



As funções do córtex

Os músculos dos nossos órgãos internos trabalham automaticamente, mas a maioria dos nossos músculos trabalham apenas quando queremos movê-los. Estes são os músculos voluntários. Os movimentos voluntários, como caminhar, mover os braços ou usar os dedos, são diretamente controlados pelo cérebro. Uma estreita faixa de córtex que atravessa o topo de nosso cérebro, chamado de córtex motor, está em ligação direta com os nossos movimentos. O córtex motor recolhe informações de outras partes do cérebro, incluindo os sinais dos órgãos dos sentidos. Quando a decisão de mover um músculo ou uma série de músculos é tomada, o córtex transmite suas instruções para a parte apropriada do corpo.

Partes diferentes do córtex motor têm funções especiais, cada uma controlando os movimentos de certas partes do corpo. Partes importantes e complexas, tais como mãos e lábios, requerem um controle muito cuidadoso e os muitos neurônios necessários para esse trabalho ocupam grandes áreas do córtex. Partes menos complicadas precisam de menos controle e, portanto, há áreas menores de córtex destinadas a elas. Da mesma maneira que o movimento é controlado pelo córtex motor, partes especiais do córtex sensorial são responsáveis pelo tato. Outras partes cuidam da visão, da audição e de todos os outros sentidos.



Onde ocorre o pensamento

O movimento e os sentidos ocupam apenas duas estreitas faixas transversais do córtex cerebral. O resto do córtex não tem funções tão facilmente reconhecíveis. Contém as áreas de associação, e é onde, provavelmente, ocorre o pensamento. Por "pensamento", queremos dizer o exame e a interpretação do enorme número de sinais que chegam ao cérebro, e a decisão de qualquer ação a ser efetuada - ou, às vezes, a decisão de não agir. Algumas funções, entre elas a fala, estão espalhadas pelo córtex em pequenas áreas. A fala é também controlada por várias áreas diferentes do cérebro, além de uma parte do córtex.

A maneira pela qual as áreas de associação trabalham ainda não é bem compreendida. Algumas vezes grandes partes do cérebro podem ser afetadas, por doença ou por acidente, sem provocar muitos problemas; por outro lado, danos em pequenas partes podem originar graves distúrbios. Na realidade, a maneira pela qual o cérebro funciona é muito mais complicada do que parece à primeira vista. Partes muito grandes do cérebro parecem não ter nenhuma finalidade aparente, mas, como os neurônios estão de tal maneira interligados, acredita-se que todas as partes do cérebro têm alguma função. Talvez parte dessa "reserva" cerebral comece a ser usada para substituir os neurônios que vão morrendo à medida que envelhecemos.
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quarta-feira, 26 de fevereiro de 2020

SISTEMA RESPIRATÓRIO

SISTEMA RESPIRATÓRIO

O sistema respiratório humano é constituído por um par de pulmões e por vários órgãos que conduzem o ar para dentro e para fora das cavidades pulmonares. Esses órgãos são as fossas nasais, a boca, a faringe, a laringe, a traquéia, os brônquios, os bronquíolos e os alvéolos, os três últimos localizados nos pulmões.



Fossas nasais: são duas cavidades paralelas que começam nas narinas e terminam na faringe. Elas são separadas uma da outra por uma parede cartilaginosa denominada septo nasal. Em seu interior há dobras chamada cornetos nasais, que forçam o ar a turbilhonar. Possuem um revestimento dotado de células produtoras de muco e células ciliadas, também presentes nas porções inferiores das vias aéreas, como traquéia, brônquios e porção inicial dos bronquíolos. No teto das fossas nasais existem células sensoriais, responsáveis pelo sentido do olfato. Têm as funções de filtrar, umedecer e aquecer o ar.

Faringe: é um canal comum aos sistemas digestório e respiratório e comunica-se com a boca e com as fossas nasais. O ar inspirado pelas narinas ou pela boca passa necessariamente pela faringe, antes de atingir a laring



Laringe: é um tubo sustentado por peças de cartilagem articuladas, situado na parte superior do pescoço, em continuação à faringe. O pomo-de-adão, saliência que aparece no pescoço, faz parte de uma das peças cartilaginosas da laringe.

A entrada da laringe chama-se glote. Acima dela existe uma espécie de “lingüeta” de cartilagem denominada epiglote, que funciona como válvula. Quando nos alimentamos, a laringe sobe e sua entrada é fechada pela epiglote. Isso impede que o alimento ingerido penetre nas vias respiratórias.

O epitélio que reveste a laringe apresenta pregas, as cordas vocais, capazes de produzir sons durante a passagem de ar.



Traquéia: é um tubo de aproximadamente 1,5 cm de diâmetro por 10-12 centímetros de comprimento, cujas paredes são reforçadas por anéis cartilaginosos. Bifurca-se na sua região inferior, originando os brônquios, que penetram nos pulmões. Seu epitélio de revestimento muco-ciliar adere partículas de poeira e bactérias presentes em suspensão no ar inalado, que são posteriormente varridas para fora (graças ao movimento dos cílios) e engolidas ou expelidas.



Pulmões: Os pulmões humanos são órgãos esponjosos, com aproximadamente 25 cm de comprimento, sendo envolvidos por uma membrana serosa denominada pleura. Nos pulmões os brônquios ramificam-se profusamente, dando origem a tubos cada vez mais finos, os bronquíolos. O conjunto altamente ramificado de bronquíolos é a árvore brônquica ou árvore respiratória.

Cada bronquíolo termina em pequenas bolsas formadas por células epiteliais achatadas (tecido epitelial pavimentoso) recobertas por capilares sangüíneos, denominadas alvéolos pulmonares.

Diafragma: A base de cada pulmão apóia-se no diafragma, órgão músculo-membranoso que separa o tórax do abdomen, presente apenas em mamíferos, promovendo, juntamente com os músculos intercostais, os movimentos respiratórios. Localizado logo acima do estômago, o nervo frênico controla os movimentos do diafragma (ver controle da respiração)



Imagem: SÉRIE ATLAS VISUAIS. O corpo Humano. Ed. Ática, 1997.
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Classificação de um sistema linear

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Qualquer sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções. Lembrando que um sistema linear é o conjunto de equações lineares.

Podemos classificar os sistemas lineares da seguinte forma:

SPD – Sistema Possível e Determinado
SPI – Sistema Possível e Indeterminado
SI – Sistema Impossível


Sistema Possível e Determinado

Dado o par ordenado (2, 3) e o sistema a seguir:

x + y = 5
4x – 2y = 2


Podemos dizer que o par ordenado (2, 3) é a única solução do sistema, por isso o classificamos como SPD.

Sistema Possível e Indeterminado

SPI é um sistema que possui infinitas soluções. Observe:

x – y + z = 2
4x – 4y + 4z = 8


Podem existir inúmeras soluções para o sistema mostrado acima, por isso o classificamos como SPI. Algumas soluções possíveis: (1, 1, 2), (0, 2, 4), (1, 0, 1),...

Sistema Impossível

SI é um sistema impossível de se resolver, ele não apresenta soluções. Observe:

3x – 3y = – 9
3x – 3y = 15


Não existe nenhum par ordenado que satisfaça as equações do sistema acima, por isso o classificamos como SI.

terça-feira, 25 de fevereiro de 2020

Polinômios

A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas:

Multiplicação de monômio com polinômio.

Multiplicação de número natural com polinômio.

Multiplicação de polinômio com polinômio.

As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades:
• Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m

• Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente.

Multiplicação de monômio com polinômio

• Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1)

15x3 + 9x2 – 3x

Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x

• Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos:

-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.

-2x2 . 5x – 2x2 . (-1)

- 10x3 + 2x2

Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2

Multiplicação de número natural

• Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos:

3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.

3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5

6x2 + 3x + 15.

Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15.

Multiplicação de polinômio com polinômio

• Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2)

(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2

15x3 + 6x – 5x2 – 2

Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2

• Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos:

(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.

2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)

10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2

10x3+ x2 + 3x – 2

Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2
Observe que os polinômios são formados através de coeficientes (an, an–1, an–2, ... , a2, a1, a0) pertencentes ao conjunto dos números reais ligados à variável x. São classificados quanto ao grau, observe:

p(x) = 2x + 7 → grau 1

p(x) = 3x2 + 4x + 12 → grau 2

p(x) = 5x³ + 2x² – 4x + 81 → grau 3

p(x) = 10x4 – 3x³ + 2x² + x – 10 → grau 4

p(x) = 4x5 + 2x4 – 3x3 + 5x2 + x – 1 → grau 5


As expressões polinomiais possuem valores numéricos. Para esse modelo de cálculo, basta substituir a incógnita x por um número real. Observe:

Vamos calcular o valor numérico do polinômio p(x) = 2x³ + 5x² + 6x – 10, para x = 3 ou p(3):

p(3) = 2 * (3)³ + 5 * (3)² – 6 * 3 – 10
p(3) = 2 * 27 + 5 * 9 – 18 + 11
p(3) = 54 + 45 – 18 + 11
p(3) = 92

Temos que p(3) = 92

Veja outro exemplo envolvendo o polinômio p(x) = 2x² – 15x + 3, para x = 9 ou p(9):

p(9) = 2 * 9² – 15 * 9 + 3
p(9) = 2 * 81 – 135 + 3
p(9) = 162 – 135 + 3
p(9) = 30

Portanto p(9) = 30


Ao calcularmos o valor numérico de um polinômio e encontrarmos como resultado zero, dizemos que o número trocado por x na expressão é a raiz do polinômio. Por exemplo, na expressão p(x) = x² – 6x + 8, temos que o número real 2 é considerado raiz do polinômio, pois:

p(x) = x² – 6x + 8
p(2) = 2² – 6 * 2 + 8
p(2) = 4 – 12 + 8
p(2) = 0


Na expressão p(x) = –x² + 5x – 6 = 0, verifique se o número real 2 é raiz do polinômio.

p(2) = –(2)² + 5 * 2 – 6
p(2) = –4 + 10 – 6
p(2) = –4 + 10 – 6
p(2) = – 10 + 10
p(2) = 0

Ao verificar p(2) = 0 no polinômio p(x) = –x² + 5x – 6 = 0, concluímos que o número 2 é considerado sua raiz.


Observando mais um exemplo, vamos verificar se no polinômio
p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3) a condição p(3) = 0.

p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3)
p(x) = 4 – (x² – 10x + 25) – 2 * (x² + 3x – 3x – 9)
p(x) = 4 – x² + 10x – 25 – 2 * (x² – 9)
p(x) = 4 – x² + 10x – 25 – 2x² + 18
p(x) = –3x² + 10x – 3

p(3) = –3 * 3² + 10 * 3 – 3
p(3) = –3 * 9 + 30 – 3
p(3) = –27 + 30 – 3
p(3) = – 30 + 30
p(3) = 0

A condição de p(3) = 0 é verificada corretamente para o polinômio p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3). Dessa forma, temos que o número 3 é raiz do polinômio especificado.

Termos semelhantes
Para que um polinômio tenha termos semelhantes ele deverá possuir dois ou mais monômios. Esses termos semelhantes são monômios encontrados em um mesmo polinômio que possui partes literais e expoentes iguais.

Veja o exemplo de polinômios com termos semelhantes:

2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x é um polinômio com 6 monômios.

2x2 e – 3x2 são semelhantes, pois as suas partes literais são as mesmas.

– 5x e 7x são semelhantes, pois possuem partes literais iguais.

+3 e – 3 são semelhantes, pois nenhum dos dois possui partes literais.

Sabendo quais são os termos semelhantes no polinômio podemos uni-los, ou seja, colocar um do lado do outro.

2x2 – 3x2 – 5x + 7x + 3 – 3
↓ ↓ ↓
- x2 + 2x + 0

- x2 + 2x

O polinômio encontrado é o polinômio 2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x na forma reduzida, ou seja, sem nenhum termo semelhante.


Grau de um polinômio

O grau de um monômio é a soma dos expoentes da sua parte literal;

9x5 possui apenas um expoente, então o monômio é do 5º grau.

8x2 y4 possui dois expoentes, então devemos somá-los 2 + 4 = 6, portanto esse polinômio é de 6º grau.

19abc possui três expoentes, devemos somá-los 1 + 1 + 1 = 3, portanto esse polinômio é de 3º grau.

Num polinômio que possui mais de 2 monômios, para encontrarmos o seu grau é preciso observar se ele está com os termos semelhantes reduzidos se estiver escrito na forma reduzida, o grau que ele irá assumir é o do monômio que tiver o grau maior.

5x4 + 3x2 – 5 está escrito na forma reduzida e o monômio de maior grau é o 5x4, então o polinômio será do 4º grau.

x2 + 4x – x2 + 10, possui termo semelhante (x2), então a sua forma reduzida ficará
4x + 10, o monômio de maior grau é 4x, portanto o grau do polinômio será de 1º grau.
Dado um polinômio p(x), temos que seu valor numérico é tal que x = a é um valor que se obtém substituindo x por a, onde a pertence ao conjunto dos números reais. Dessa forma, concluímos que o valor numérico de p(a) corresponde a p(x) onde x = a. Por exemplo, dado o polinômio p(x) = 4x² – 9x temos que seu valor numérico para x = 2 é calculado da seguinte maneira:

p(x) = 4x² – 9x
p(2) = 4 * 2² – 9 * 2
p(2) = 4 * 4 – 18
p(2) = 16 – 18
p(2) = –2


Se, ao calcularmos o valor numérico de um polinômio determinarmos p(a) = 0, temos que esse número dado por a corresponde à raiz do polinômio p(x). Observe o polinômio p(x) = x² – 6x + 8 quando aplicamos p(2) = 0.

p(2) = 2² – 6 * 2 + 8
p(2) = 4 – 12 + 8
p(2) = 12 – 12
p(2) = 0

Dessa forma, percebemos que o número 2 é raiz do polinômio p(x) = x² – 6x + 8, pois temos que p(2) = 0.



Exemplo 1

Dado o polinômio p(x) = 4x³ – 9x² + 8x – 10, determine o valor numérico de p(3).

p(3) = 4 * 3³ – 9 * 3² + 8 * 3 – 10
p(3) = 4 * 27 – 9 * 9 + 24 – 10
p(3) = 108 – 81 + 24 – 10
p(3) = 41


O valor de p(x) = 4x³ – 9x² + 8x – 10 para p(3) é 41.


Exemplo 2

Determine o valor numérico de p(x) = 5x4 – 2x³ + 3x² + 10x – 6, para x = 2.

p(2) = 5 * 24 – 2 * 23 + 3 * 22 + 10 * 2 – 6
p(2) = 5 * 16 – 2 * 8 + 3 * 4 + 20 – 6
p(2) = 80 – 16 + 12 + 20 – 6
p(2) = 90

De acordo com o polinômio fornecido temos que p(2) = 90.
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Produtos notaveis

Cubo da Soma (a + b)³

(2x + 3)³

1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 3 = 36x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (3)² = 54x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (3)³ = 27
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ + 36x² + 54x + 27

Exemplos

(4x + 3)³

1º passo: (4x)³ = 64x³
2º passo: 3 * (4x)² * 3 = 144x²
3º passo: 3 * 4x * (3)² = 108x
4º passo: (3)³ = 27
5º passo: 64x³ + 144x² + 108x + 27

(2x + 3z)³

1º passo: (2x)³ = 8x³
2º passo: 3 * (2x)² * 3z = 36x²z
3º passo: 3 * 2x * (2z)² = 24xz²
4º passo: (3z)³ = 27z³
5º passo: 8x³ + 36x²z + 24xz² + 27z³

(5x + 7z)³

1º passo: (5x)³ = 125x³
2º passo: 3 * (5x)² * 7z = 525x²z
3º passo: 3 * 5x * (7z)² = 735xz²
4º passo: (7z)³ = 343z³
5º passo: 125x³ + 525x²z + 735xz² + 343z³

Produtos notaveis

O quadrado da soma e o quadrado da diferença são expressões algébricas que se enquadram nas condições de produtos notáveis, pois podem ser resolvidas através de generalizações lógicas.

Quadrado da soma (a + b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado mais o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”

(x + 5)² = (x)² + 2*x*5 + (5)² = x² + 10x + 25

(2x + 4)² = (2x)² + 2*2x*4 + (4)² = 4x² + 16x + 16

(5x + 9)² = (5x)² + 2*5x*9 + (9)² = 25x² + 90x + 81

(6x + 2/3)² = (5x)² + 2*6x*2/3 + (2/3)² = 25x² + 8x + 4/9

(10x² + 12) = (10x²)² + 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 + 240x + 144

(x³ + 2x)² = (x³)² + 2*x³*2x + (2x)² = x6 + 4x4 + 4x²

(13x + 20)² = (13x)² + 2*13x*20 + (20)² = 169x² + 520x + 400


Quadrado da diferença (a – b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”


(x – 6)² = (x)² – 2*x*6 + (6)² = x² – 12x +36

(5x – 8)² = (5x)² – 2*5x*8 + (8)² = 25x² – 80x + 64

(9x – 7)² = (9x)² – 2*9x*7 + (7)² = 81x² – 126x + 49

(6x² – 4/6)² = (6x²)² – 2*6x²*4/6 + (4/6)² = 36x4 – 8x² + 16/36 = 36x4 – 8x² + 4/9

(10x² – 12) = (10x²)² – 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 – 240x + 144

(x4 – 2x²)² = (x4)² – 2*x4*2x² + (2x²)² = x8 – 4x6 + 4x4

(11x – 6z)² = (11x)² – 2*11x*6z + (6z)² = 121x² – 132xz + 36z²

extraido de www.mundoeducacao.com.br

Expressões numericas

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com

      

Definimos expressão numérica como o conjunto de números agrupados entre si através de sinais operatórios. O cálculo das expressões deve ser feito na ordem indicada, observando que inicialmente são resolvidas as operações entre parênteses, em seguida os colchetes e por último as chaves.

As expressões que ocorrerem à presença das operações da adição, subtração, multiplicação e divisão serão resolvidas da seguinte ordem: primeiramente as multiplicações e divisões na ordem que surgirem e posteriormente as adições e subtrações. As operações devem ser iniciadas a partir dos parênteses mais internos, seguindo a ordem colchetes e depois chaves.

A seguir demonstraremos a resolução de algumas expressões seguindo as regras citadas anteriormente. Nessas expressões utilizaremos somente a presença de numerais pertencentes ao conjunto dos números inteiros (positivos, negativos e elemento neutro).

Exemplo 1

20 – {–10 – [–8 + ( 5 – 12 )] – 20}
20 – {–10 – [–8 + (–7)] – 20}
20 – {–10 – [–8 –7] – 20}
20 – {–10 – [–15] – 20}
20 – {–10 +15 –20}
20 – {–15}
20 + 15
35

Exemplo 2

{(–18) + [(–2) * (+8 –5)] : (–6)}
{(–18) + [(–2) * (+3)] : (–6)}
{(–18) + [ –6] : (–6)}
{(–18) + [ + 1]}
{–18 + 1}
–17

Exemplo 3

{(–1) + [(–6) – (–3 +5)] * (–1)} * {(–8) + (–5 +6) * (–7)}
{(–1) + [(–6) – (+2)] * (–1)} * [(–8) + (+1) * (–7)]
{(–1) + [–6 –2] * (–1)} * [(–8) + (–7)]
{(–1) + [–8] * (–1)} * [–8 –7]
{(–1) + [+8]} * [–15]
{–1 + 8} * [–15]
+ 9 * [–15]
– 135

Exemplo 4

{[( 8 *4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) * 3] * 2 – (19 – 7) : 6} * 2 + 20
{ [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) * 3 ] * 2 – 12 : 6} * 2 + 20
{ [ 35 : 7 + 6 * 3 ] * 2 – 2 } * 2 + 20
{ [ 5 + 18 ] * 2 – 2 } x 2 + 20
{ 23 * 2 – 2} * 2 + 20
{ 46 – 2 } * 2 + 20
44 * 2 + 20
88 + 20
108
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Divisão de Polinômios

A operação de divisões é composta por dividendo, divisor, quociente e resto, no caso da divisão de polinômio por polinômio, considerando que cada um deles seja formado por mais de um monômio, iremos considerar a seguinte divisão:

P(x) |G(x)
R(x) D(x)

Onde P(x) é o dividendo; G(x) divisor; D(x) quociente e R(x) resto.

OBSERVAÇÃO: O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser:
• Igual à zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor.
• Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio, nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor.

A explicação de divisão de polinômio por polinômio será feita através de um exemplo, onde todos os passos tomados serão explicados.

Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5).

Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações:

• Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x.
• Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar.

Feita as verificações podemos iniciar a divisão.

O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos).

6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 | 2x2 – 4x + 5

• Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:

6x4 : 2x2 = 3x2

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor).

(2x2 – 4x + 5) . (3x2) = 6x4 – 12x3 + 15x2

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 (dividendo).



• Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x3 – 6x2 + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).

2x3 : 2x2 = x

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)

(2x2 – 4x + 5) . (x) = 2x3 – 4x2 + 5x

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 2x3 – 6x2 + 9x – 5.




• Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x2 +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).

-2x2 : 2x2 = -1

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)

(2x2 – 4x + 5) . (-1) = - 2x2 + 4x - 5

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x2 +4x – 5.



Portando, podemos dizer que (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5) = 3x2 +x – 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x2 +x – 1) por 2x2 – 4x + 5 e verificar se a solução será 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto.

PRODUTOS NOTÁVEIS


Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

Exemplos :

1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Exercícios

1) Calcule

a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²)
h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)
i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²)j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²)l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²)m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²)
n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25)
o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²)
p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²)
q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1)r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9]s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²]
t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²]
u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4)
v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4)x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4]






QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²

2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²


Exercícios

1) Calcule

a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)
i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1)
j) (x² - 1)² =
l) (9x² - 1)² =
m) (x³ - 2)² =
n) (2m⁵ - 3)² =
o) (x – 5y³)² =
p) (1 - mx)² =
q) (2 - x⁵)² =
r) (-3x – 5)² =
s) (x³ - m³)² =






PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²

conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²


EXERCÍCIOS

1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²)b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : x² - 49)
c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 )
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16)g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² )h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² )i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² )j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) =
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) =
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) =
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =






CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
.
Exemplo

a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125

d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³


EXERCICIOS

1) Desenvolva

a) ( x + y)³ = (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³)
b) (x – y)³ = (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³)
c) (m + 3)³ = ( R: m³ + 9m² + 27m +27)
d) (a – 1 )³ = (R: a³ - 3a² + 3a -1)
e) ( 5 – x)³ = (R: 125 - 75x + 15x² -x³)f) (-a - b)³
g) (x + 2y)³
h) ( 2x – y )³
i) (1 + 2y)³
j) ( x – 2x)³
k) ( 1 – pq)³
l) (x – 1)³
m) ( x + 2 )³
n) ( 2x – 1)³
o) ( 2x + 5 )³
p) (3x – 2 )³
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Carboidratos


Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Os carboidratos, também conhecidos por hidratos de carbono (hidrocarbonetos), glucídeos, glicídeos ou açúcares, pertencem à classe de substâncias orgânicas, cujas moléculas são formadas por átomos de carbono, hidrogênio e oxigênio.

Esses elementos, nas substâncias mais simples, quimicamente se organizam na proporção de 1 / 2 / 1, isto é: um átomo de carbono, para dois átomos de hidrogênio, para um átomo de oxigênio. Possuindo fórmula molecular geral representada por C(H2O)n ou CnH2nOn, onde “n” simboliza a quantidade de carbonos na molécula.
Podem ser classificados em três grupos:

Monossacarídeos → unidade mais simples dos glícideos (monômeros), não catabolizados pelo processo digestivo, reunindo a seguinte subdivisão:

- as trioses, moléculas com três átomos de carbonos (n = 3) C3H6O3;
- as tetroses, moléculas com quatro átomos de carbonos (n = 4) C4H8O4;
- as pentoses, moléculas com cinco átomos de carbonos (n = 5) C5H10O5;
- e as hexoses, moléculas com seis átomos de carbonos (n = 6) C6H12O6;

Dessa classe, as pentoses e as hexoses são as mais importantes para o organismo, desempenhando função estrutural e energética, na composição de açúcares como a riboses, desoxirribose (pentoses que irão compor os ácidos nucléicos) e a glicose, frutose e galactose (hexoses fornecedoras de energia para o metabolismo celular).

A fórmula geral é padrão, diferenciando as moléculas conforme o arranjo das ligações entre os átomos.

Dissacarídeos → substâncias formadas da união de dois monossacarídeos, a partir da síntese por desidratação (retirada de uma molécula de água), apresentando fórmula estrutural geral: C(H2O)n – H2O, (C6H10O5)n ou CnH2n-2On-1.

Essa classe reúne os açúcares: maltose (glicose + glicose), sacarose (glicose + frutose) e a lactose (glicose + galactose), encontrados respectivamente carboidratos encontrados em raízes tuberosas (batata e mandioca) nas frutas (cana–de-açúcar) e no leite.

Polissacarídeos → polímeros formados pela união de vários monossacarídeos. A cada unidade inserida na cadeia de polissacarídeo é subtraída uma molécula de água, também um processo de desidratação.

Os principais polissacarídeos são:

- o amido, substância de reserva energética dos vegetais, encontrada no caule e principalmente na raiz;
- o glicogênio, substância de reserva energética dos animais, encontrada nos músculos e no fígado;
- celulose, carboidrato com maior biomassa da natureza, integrante da parede celular dos vegetais. Possui função energética e estrutural, dependendo do organismo pode ser degradada pela enzima celulase (produzida por alguns fungos, bactérias e protozoários), sendo a espécie humana desprovida de realizar sua digestão e conseqüente absorção;

- quitina, polissacarídeo nitrogenado presente no exoesqueleto dos artrópodes (formiga, camarão, aranha, barata).

- ácido hialurônico, polissacarídeo que efetua a maior adesão entre as células, considerada um cimento celular nos tecido animais.
fonte :mundoeducacao.com.br

Produtos notáveis

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Alguns produtos (em matemática, é o nome que se dá para o resultado de uma multiplicação) algébricos (com incógnitas, tipo a.b, x.y) aparecem com freqüência nos cálculos. Em vez de fazer a multiplicação de polinômios a cada vez que essas operações aparecem, vale a pena memorizar sua fórmulas. Trata-se dos produtos notáveis.

Quadrado da soma de dois termos



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



Vale reforçar que o quadrado da soma de dois termos pode também ser representado da seguinte maneira:


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De acordo com a regra de multiplicação de polinômios:


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"O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo."

Quadrado da diferença de dois termos



(a - b)2 = a2 - 2ab + b2




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Novamente segundo a regra:


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"O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo"

Produto da soma pela diferença de dois termos



(a + b)(a - b) = a2 - b2




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Ou, se você duvidar, venha a multiplicação:


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"A multiplicação da soma de dois termos pela diferença deles é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo."

Produtos notáveis e equações de 2º grau



Imagine a equação: x2 - 6x + 9 = 0

Ela pode resolvida com o auxílio da fórmula de Bhaskara


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Mas antes de sair desenvolvendo fórmulas, preste atenção novamente na equação. Você notará que ela é um produto notável - um quadrado da diferença de dois termos:


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Logo:


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Imagine: em que situação uma multiplicação pode dar zero? Pense na tabuada: qual número vezes outro é igual a zero? Apenas o próprio zero! ( 2 x 0 = 0; 3 x 0 = 0; 1.000 x 0 = 0)

Isso quer dizer que um dos termos de nossa multiplicação é igual a zero.
Como na nossa multiplicação, temos uma potência, isso quer dizer que temos a multiplicação de dois termos iguais. Ou seja, tanto o primeiro, quanto o segundo termo é igual ao zero.


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*Carlos Alberto Campagner é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

Fatoração

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Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica


Exemplo 19) Fatore c2 - 2bc - a2 + b2

Reagrupando o polinômio, teremos : b2 - 2bc + c2 - a2 = (b2 - 2bc + c2) - a2

O trinômio b2 - 2bc + c2 pode ser fatorado como : (b - c)2

E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrados (b - c)2 - a2, e finalmente, teremos :

(b - c)2 - a2 = (b - c + a) (b - c - a)

Exemplo 20) Fatore: 5m8 + 10m4 - 15

Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:

5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3)

O trinômio m8 + 2m4 - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.
E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pela raiz quadrada m4 de m8.

Dessa forma, teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3) = 5(m4 + 3) (m4 - 1)

E como (m4 - 1) = (m2 + 1) (m2 - 1) , e como (m2 - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m4 + 3)(m2 + 1)(m + 1)(m - 1)

Exemplo 21) Fatore: (x - y)2 + 2(y - x) - 24

Antes de mais nada, lembremos que (x - y)2 = (y - x)2 ( verifique se isso é verdade )

Com isso podemos escrever a expressão dada como : (y - x)2 + 2(y - x) - 24

Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoração, chamemos o binômio (y - x) de A, então :

(y - x)2 + 2(y - x) - 24 = A2 + 2A - 24

O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.
Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 têm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparece multiplicada pela raiz
quadrada A de A2.

E assim : A2 + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y)2 + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y - x - 4)

Exemplo 22) Fatore x6 - y6

1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos

Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y6 é y2. Assim já temos o nosso primeiro fator x2 - y2
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x2 é x4 ; o produto entre x2 e y2 é x2y2 e o quadrado do
segundo é y2 é y4.

E dessa forma, teremos:

x6 - y6 = (x2 - y2) ( x4 + x2y2 + y4). Como a diferença de quadrados (x2 - y2) ainda pode ser fatorado, teremos :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x4 + x2y2 + y4).

Se escrevermos o trinômio ( x4 + x2y2 + y4) de uma outra forma, perceberemos que ele também poderá ser fatorado. Vejamos :

x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2, que é uma diferença de dois quadrados.

Assim : (x2 + y2)2 - x2y2 = ( x2 + y2 + xy) ( x2 + y2 - xy) = ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2). E finalmente :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma diferença de dois quadrados.

A raiz quadrada de x6 é x3 e a raiz quadrada de y6 é y3.

Assim já temos o nosso primeiro fator (x3 + y3) e o segundo fator (x3 - y3).

Assim, teremos : x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) .
Como a soma e a diferença de dois cubos (x3 + y3) e (x3 - y3) ainda podem ser fatorados, teremos :

x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) = (x + y) ( x2 - xy + y2) (x - y) ( x2 + xy + y2) , ou ainda :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE

Sempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar o sinal de identidade
que é uma ampliação do conceito de igualdade.

Vamos entender melhor essa diferenciação:

Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença.
Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.

Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentença verdadeira.
Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade .