Teorema de Tales

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com        

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

     

Tales de Mileto

O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, que devem ser demonstradas a fim de verificar sua importância. O Teorema diz que “retas paralelas, cortadas por transversais, formam segmentos correspondentes proporcionais”. Através de exercícios aplicados compreenderemos o Teorema. Podemos demonstrar o Teorema através de uma generalização, onde as retas r, s, x são paralelas e as retas t e w são as transversais. Veja:

Pelo Teorema temos que



Exemplo 1
Ao analisar a planta de uma quadra de um determinado condomínio, o engenheiro constatou a ausência de algumas medidas nas divisas de certos lotes residenciais. Ele precisa calcular essas medidas do seu próprio escritório, com base nas informações da planta. Observe o desenho detalhado da situação:

Com base na planta devemos calcular os lados x e y dos lotes. Veja que as laterais dos lotes 1, 2 e 3 são perpendiculares às ruas A e B. A planta satisfaz a relação de Tales, então podemos utilizar o Teorema.






Exemplo 2

Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricista observou que os dois fios r e s eram transversais aos fios da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y da figura.
Obs.: os fios da rede central são paralelos.

Aplicando o Teorema de Tales, temos:



Marcos Noé

Área da Circunferência

Marcelo Rigonatto

Circunferência

Dada uma circunferência qualquer de raio r, sua área (A) será dada por:
A = πr² → fórmula para o cálculo da área de uma circunferência de raio r.

Vamos fazer alguns exemplos para entender a utilização da fórmula.

Exemplo 1. Determine a área de uma circunferência de raio medindo 20 cm. (Use π = 3,14)

Solução: Temos que
r = 20 cm
π = 3,14
A = ?
A = 3,14∙20²
A = 3,14∙400
A = 1256 cm²
Exemplo 2. Calcule a área de uma circunferência de 30 cm de diâmetro. (Use π = 3,14)

Solução: Temos
d = 30 cm → r = d/2 → r = 15 cm
A = ?
A = 3,14∙15²
A = 3,14∙225
A = 706,5 cm2

Exemplo 3. Se uma circunferência tem 43,96 cm de comprimento, qual será o tamanho de sua área? (Use π = 3,14)

Solução: Note que não temos a medida do raio da circunferência. Através do comprimento que foi dado, vamos encontrar a medida do raio. A fórmula do comprimento da circunferência é:

C = 2πr
Assim,
43,96 = 2∙3,14∙r
43,96 = 6,28∙r
r = 43,96/6,28
r = 7 cm
Conhecendo o valor do raio podemos calcular a área.
A=3,14∙7²
A=3,14∙49
A=153,86 cm²

Exemplo 4. Um fazendeiro possui 628 m de tela para fazer um galinheiro. Existem dois projetos para a realização desse galinheiro: um galinheiro quadrado e um galinheiro circular. O fazendeiro irá optar pelo projeto que possuir a maior área. Qual dos dois projetos é o que irá satisfazer sua vontade? (Use π = 3,14)

Solução: Como o fazendeiro possui 628 m de tela para fazer o galinheiro, o perímetro do quadrado e da circunferência será de 628 m. Vamos então calcular a área de cada uma das figuras, usando a mesma quantidade de tela, e verificar qual dos projetos apresenta a maior área.

Área do quadrado:
Como o perímetro do quadrado é de 628 m, cada lado terá 157 m de comprimento. (628÷4)
Assim,
A = 157²
A = 24649 m²

Área da circunferência:
Sabemos que o comprimento da circunferência também é 628 m, pois temos a mesma quantidade de tela. Precisamos encontrar a medida do raio dessa circunferência.
C=2πr
628 = 2∙3,14∙r
628 = 6,28∙r
r = 628/6,28
r = 100 m

Assim,

A = 3,14∙100²
A = 3,14∙10000
A = 31400 m²

Portanto, o galinheiro que terá a maior área será o de formato circular.

Função Quadrática ou do 2º grau

Função Quadrática

Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
="center">

x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

• quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando é zero, há só uma raiz real;
• quando é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax² + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a < 0,

a < 0

Construção da Parábola

É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 0² + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal

Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b² - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º - > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0

y > 0 (x < x₁ ou x > x₂)
y < 0 x₁ < x < x₂

quando a < 0

y > 0 x₁ < x < x₂
y < 0 (x < x₁ ou x > x₂)

2º - = 0

quando a > 0

quando a < 0

3º - < 0

quando a > 0

quando a < 0

fonte:somatematica.com.br