Ensino de Matemática : Calculo

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sábado, 3 de agosto de 2019

sexta-feira, 2 de agosto de 2019

Derivação

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

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www.accbarrosogestar.wordpress.com www.youtube.com/accbarroso1

O termo derivação se refere a um conjunto de diversos processos de formação de novas palavras a partir de um único radical. A derivação pode ser por prefixação, por sufixação ou ainda pode ser derivação parassintática, derivação regressiva e derivação imprópria.

Derivação Imprópria

Chama-se derivação imprópria o processo de alteração da classe da palavra (sem quaisquer alterações estruturais da palavra) em que esta passa a se referir a uma nova significação.
Exemplos: A palavra burro, que originariamente se remete a um animal quadrúpede (substantivo) passou também a ser empregada na designação de qualquer pessoa a que se quer referir por sua inépcia (adjetivo). Outro exemplo se dá na palavra oliveira (substantivo comum), que pode se transformar num sobrenome de família (Oliveira: substantivo próprio).

Este processo não se dá no campo morfológico (não há ocorrência de processos de ordem morfológica), mas sim no campo da semântica.

Derivação Parassintática

Dá-se o nome de derivação parassintática ao processo de união simultânea necessária de um prefixo e um sufixo a determinado radical para a formação de uma nova palavra. Nas palavras resultadas deste processo, a simultaneidade da agregação dos afixos ao radical é condição fundamental. Exemplos de algumas palavras resultadas deste processo, observamos:

Entardecer (Prefixo en- e sufixo -cer para o tema tarde: não existem formas do tema em que apenas um destes afixos a ele se agregam)

Empobrecer, adoecer, adocicar, etc.

Derivação por Prefixação

Derivação por prefixação é o processo de formação de novas palavras a partir do acréscimo de prefixos a radicais.
Exemplo: A partir da palavra destinar, pode-se formar uma outra palavra por derivação prefixal: predestinar (prefixo pre- ; sentido de anterioridade).

Derivação por Sufixação

Derivação por sufixação é o processo de formação de novas palavras a partir do acréscimo de sufixos a radicais.
Exemplo: A partir da palavra real, pode-se formar outra palavra por derivação sufixal: realismo (sufixo -ismo : no caso da palavra realismo, utilizado para designar um dado sistema de idéias artísticas). A partir da mesma palavra, deriva-se por sufixação a palavra realista (sufixo -ista : no caso da palavra realista, utilizado para designar aquilo que é relativo a realismo, como “romance realista” ou, de forma geral, aquele que é partidário do realismo, ou ainda aquele que age com realismo).

O processo de derivação por sufixação é responsável:

-pelas flexões de grau dos vocábulos (sufixos aumentativos e diminutivos, tendo como exemplo a palavra casa, da qual derivam-se as palavras casinha e casão ou casarão);
-pelas mudanças de classe dos vocábulos (por exemplo, a mudança de classe do adjetivo belo para o substantivo beleza);
-pelas flexões dos modos e tempos verbais nos verbos.

Derivação Regressiva

Dá-se o nome de derivação regressiva ao processo de formação de palavras em que a palavra primitiva sofre regressão, isto é, perde elementos de sua forma original. Este tipo de processo é observável, sobretudo, na formação de substantivos originados de verbos. Tais substantivos são denominados, portanto, substantivos deverbais. A derivação regressiva também é observada em algumas formas nominais que sofreram regressão por conterem em sua terminação elementos que se assemelham à flexão de grau (tendo como exemplos, as palavras sarampão e rosmaninho, das quais derivaram-se sarampo e rosmano, que são radicais falsos).
Outros exemplos: amparo (do verbo amparar), consumo (do verbo consumir), embarque (do verbo embarcar). As formas nominais que lembram ações são formados por este tipo de derivação.
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sexta-feira, 26 de julho de 2019

Teorema de Fermat

O Último Teorema de Fermat é assim conhecido por ser o último teorema feito pelo matemático e cientista Pierre de Fermat (França, 1601-1665) sem demonstração que o provasse.

O teorema surgiu a partir de um estudo sobre o famoso Teorema de Pitágoras, que determina que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos. Adotando x e y como catetos e z como hipotenusa, a fórmula que determina essa relação é:

x² + y² = z²

Fermat fez um teste, variando a potência 2 para outros valoresmaiores de números inteiros (3, 4...), e não conseguiu achar valores que se adequassem à equação. Assim, formou-se o teorema:

xⁿ + yⁿ= zⁿ não possui solução para números inteiros, tal que n>2.

Como o matemático possuía a prática de fazer apenas anotações informais sobre seus estudos, o único indício de uma prova deste teorema é uma observação por ele deixada em 1637 em um de seus livros, “Aritmética”, de Diofante:

“Eu descobri uma demonstração maravilhosa, mas a margem deste papel é muito pequena para contê-la”.

Esta anotação foi descoberta pelo seu filho alguns anos após sua morte, e junto a outros comentários de Fermat, foi publicada numa edição comentada do livro em questão.

A partir disso, o teorema virou objeto de estudo de diversos estudiosos ao longo dos anos, que tentaram através de diversas abordagens desenvolver uma demonstração que provasse o teorema.

Muitos matemáticos conseguiram provar o teorema para casos específicos, inclusive uma demonstração de Fermat para n=4 foi encontrada. Entre os mais famosos, podem ser citados nos respectivos anos: Leonhard Euler (1770), Peter Barlow (1811), Peter Dirichlet (1825), Gabriel Lamé (1839, 1847, 1865), Peter Guthrie Tait (1872), Carl Gauss (1875, póstuma), entre outros. Outros matemáticos fizeram avanços de formas diferentes, como Sophie Germain, Ernst Kummer e Louis Mordell. No século 20, ainda foram feitas abordagens computacionais buscando provar o teorema em faixas específicas de números.

Muitos prêmios foram oferecidos para quem vencesse o desafio, porém o maior surgiu em 1908. Um prêmio de $100.000 marcos foi oferecido pelo professor Paul Wolfskhel à pessoa que conseguisse obter uma demonstração válida para o teorema. Isto foi mais um grande incentivador para que os matemáticos da época se dedicassem ao problema.

O Último Teorema de Fermat foi enfim demonstrado apenas em 1995. O matemático inglês Andrew Wiles conseguiu o feito utilizando como base uma conjectura feita pelos matemáticos Yutaka Taniyama e Goro Shimura (conhecida comoconjectura Taniyama-Shimura) e conseguiu sua publicação no jornal “Anais da Matemática”. Wiles demonstravainteresse no teorema desde jovem, porém só aprofundou seus estudos nele (de forma secreta) alguns anos antes da descoberta. Wiles foi recompensado com o prêmio $50.000 libras dado pela Fundação Wolfskhel.

Apesar da demonstração para o teorema ter sido descoberta, até hoje é um mistério para a comunidade matemática de como era a demonstração original que Fermat obteve. Muitos conhecimentos matemáticos utilizados para a demonstração moderna não existiam naquela época, colocando até em dúvida se Fermat realmente conseguiu fazer tal feito.

Este teorema ganhou grande destaque também nos últimos anos pelo livro “O Último Teorema de Fermat” do autor britânico Simon Singh, que conta toda a história do teorema, de Fermat até sua demonstração atual. Por Gustavo Jardim

Referências Bibliográficas:

SINGH, Simon. O último teorema de Fermat. 10. ed. Rio de Janeiro: Record, 2004
O Último Teorema de Fermat. http://www.somatematica.com.br/artigos/a16/index.php
Fermat's Last Theorem. http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat's_Last_Theorem

Cálculo de Derivadas

Olá, na matéria de hoje vou mostrar a definição e o modo prático para se calcular a derivada de um função explícita (y ou f(x) isolado). No próximo artigo, vou mostrar algumas propriedades da diferenciação.

- Definição:

OBS: Para usar a definição, é necessário um conhecimento prévio sobre Limites.

Definição:

Lim f(x+Δx) - f(x)
Δx >> 0 Δx

- Método prático:

OBS: Esse método só serve para derivadas de uma função potência (não exponencial natural).

Método Prático: Dx(x^n) = n.x^n-1 (leia-se Derivada de x elevado a n é igual a n multiplicado por x elevado a n-1.

Exemplo: f(x) = x³ então f'(x) = 3x² .

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