Logaritmo

Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Iremos através de exemplos demonstrar a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.

Exemplo 1 – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?

M = C * (1 + i)t
3500 = 500 * (1 + 0,035)t
3500/500 = 1,035t
1,035t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7
t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica )
t * 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.


Exemplo 2 – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0
População após um ano = P0 * (1,03) = P1
População após dois anos = P0 * (1,03)2= P2

População após x anos = P0 * (1,03)x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Px = 2*P0
P0 * (1,03)x = 2 * P0
1,03x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03x = log 2
x * log 1,03 = log2
x * 0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.


Exemplo 3 – Química

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:
Q = Q0 * e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = Q0 * e–rt
200 = 1000 * e–0,02t
200/1000 = e–0,02t
1/5 = e–0,02t (aplicando definição)
–0,02t = loge1/5
–0,02t = loge5–1
–0,02t = –loge5
–0,02t = –ln5 x(–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Porcentagem

PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15%
  Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
  
• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
  Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
  
• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
  Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
  

Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

• Calcular 10% de 300.
  
• Calcular 25% de 200kg.
  
  
  Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
  

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

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Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro	Fator de Multiplicação
10%	1,10
15%	1,15
20%	1,20
47%	1,47
67%	1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto	Fator de Multiplicação
10%	0,90
25%	0,75
34%	0,66
60%	0,40
90%	0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

www.somatematica.com.br

Porcentagem

A palavra porcentagem ou percentagem vem do latim – per e cento – e significa por um cento. Ao que parece, o símbolo % foi usada por um comerciante inglês do século XVII, para registrar os cálculos que efetuava em suas operações comerciais.
Denomina-se porcentagem a medida da razão que apresenta como base o número 100 (razão centesimal). Isto é, toda razão a : b, na qual b= 100 pode ser escrita na forma de taxa percentual, utilizando o símbolo %.
Assim, admitindo a razão 2 : 5, podemos transformá-la em centesimal de um método fácil: achando a sua forma decimal (dividindo o numerador pelo denominador), e multiplicando-a por 100. Veja:

0,4 . 100 = 40% (forma porcentual)

Desse modo a razão centesimal 40 para 100 é equivalente a expressão 40 por cento e pode ser representada por 40% (forma porcentual).

Exemplos
1. Maria juntou 45% do seu salário, que é de R$ 900. Quanto de dinheiro Maria juntou?

Assim, Maria juntou R$ 405,00.

2. Numa pesquisa, foram entrevistadas 100 pessoas. Perguntadas sobre seu esporte preferido, responderam conforme a tabela abaixo:

Representar o percentual de preferência de cada esporte
a. Nos diagramas quadriculados
b. Na forma fracionária
c. Na forma decimal


Considerando a mesma pesquisa, responder:
Se das 100 pessoas entrevistadas, 60 forem homens e 40 forem mulheres, e se todos os homens escolherem futebol, quantas mulheres escolherão cada um dos outros esportes?
Represente os resultados obtidos na forma de fração e na forma percentual em relação ao número de mulheres entrevistadas.

Exercícios1) Um fichário tem 25 fichas numeradas. Sabe-se que 13 dessas fichas têm números ímpares e as fichas restantes têm números pares. Nessas condições, as fichas que têm números pares representam quantos por cento das fichas numeradas do fichário?

2) Quanto vai custar um casaco cujo preço era de 65 reais e teve um aumento de 12%?
3) Uma TV de plasma que custava R$ 1.200 passou a custar R$ 900 durante uma promoção. Qual foi a porcentagem de desconto da TV?

4) Na papelaria da esquina estão dando um desconto especial de 15% para os alunos da minha escola. Fiz umas compras para o clubinho de ciências e gastei 153 reais. Qual seria o preço da compra sem o desconto?

5) Um corretor de imóveis recebe 6% de comissão nas vendas que realiza. Qual foi sua comissão em uma venda de R$ 60 000,00?

6) Uma financeira cobra multa de 11% ao mês em caso de conta paga com atraso. Qual deverá ser o valor cobrado por uma conta de R$ 7 500,00, vencida há um mês?

7) Um posto de gasolina oferece um desconto de 2% se o cliente completar o tanque. Se o total gasto for de R$ 85, 00, qual será o valor pago com desconto?

8) Das 15 crianças que foram acampar 10 são meninas. Qual é a porcentagem de meninas em relação ao número total de crianças?

9) Em uma trilha de 12 quilômetros, os alunos percorreram 9,6km. Qual foi a porcentagem percorrida desta trilha?
Douglas Celito

Média Ponderada

Alguns cálculos envolvendo média podem ser efetuados utilizando os critérios de média simples ou média ponderada. Na utilização da média simples, a ocorrência dos valores possui a mesma importância e no caso da média ponderada são atribuídos aos valores importâncias diferentes.

Na média simples os valores são somados e dividos pela quantidade de termos adicionados. A média ponderada é calculada através do somatório das multiplicações entre valores e pesos divididos pelo somatório dos pesos. Vamos, através de exemplos, demonstrar os cálculos envolvendo a média ponderada.

Exemplo 1

Na escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de acordo com os princípios da média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja relacionado ao bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais a:

1º Bimestre: 7,0
2º Bimestre: 6,0
3º Bimestre: 8,0
4º Bimestre: 7,5

A média anual de Gabriel é correspondente a 7,3.

Exemplo 2

Buscando melhorar o atendimento ao usuário do sistema de saúde de um município, a prefeitura realizou uma pesquisa de rendimento satisfatório com 500 pessoas. As notas disponibilizadas aos entrevistados no intuito de avaliar o nível de satisfação compreendem a notas inteiras de 1 a 10. Veja os resultados na tabela a seguir:

A média de satisfação dos usuários do sistema de saúde do município em questão foi igual a 5,0.

Por Marcos Noé

Taxa Nominal e Taxa Real de Juros

Um dos elementos principais em Matemática Financeira são as taxas de juros que correspondem à taxa de remuneração do capital no determinado tempo. As taxas de juros são classificadas de formas diferentes de acordo com o tipo de avaliação percentual que está sendo feita. Enfatizaremos nosso estudo nas taxas nominais e taxas reais.
A taxa nominal de juros é usada para demonstrar os efeitos da inflação no período analisado, tendo por base os fundos financeiros (empréstimos). Por exemplo, vamos supor que um empréstimo no valor de R$ 5 000,00 seja pago ao final de seis meses com o valor monetário de R$ 7 000,00. O cálculo da taxa nominal de juros será feita da seguinte forma: juros pagos / valor nominal do empréstimo.

Juros 7 000 – 5 000 = 2 000

Taxa nominal de juros 2 000 / 5 000 = 0,4 → 40%

Portanto, a taxa nominal de juros de um empréstimo de R$ 5 000,00 que teve como quitação o valor de R$ 7 000, teve uma taxa nominal de juros de 40%.


No caso da taxa real de juros, o efeito inflacionário não existe, por isso ela tende a ser menor que a taxa nominal. Isso ocorre porque ela é formada através da correção da taxa efetiva pela taxa de inflação do período da operação. A taxa real pode ser calculada pela seguinte expressão matemática: (1 + in) = (1 + r) * (1 + j), onde:

in = taxa de juros nominal
j = taxa de inflação do período
r = taxa real de juros

Podemos notar que se a taxa de inflação for nula (igual a 0) as taxas de juros nominal e real serão coincidentes.

Acompanhe o exemplo:
Um banco, ao realizar um empréstimo, oferece taxas pré-estabelecidas, emprestando R$ 10 000,00 receberá, no prazo máximo de um ano, o valor de R$ 13 000,00. Se a inflação do período foi de 3%. Determine a taxa real de juros do empréstimo?

Calculando a taxa nominal de juros 13 000 – 10 000 = 3 000
3 000 / 10 000 = 0,3 → 30%
Taxa nominal (in) = 30%


Determinando a taxa real de juros utilizando a expressão (1 + in) = (1 + r) * (1 + j).
in = 30% = 0,3
j = 3% = 0,03
r = ?

(1 + 0,3) = (1 + r) * (1 + 0,03)
1,3 = (1 + r) * (1,03)
1,3 = 1,03 + 1,03r
1,3 – 1,03 = 1,03r
0,27 = 1,03r
r = 0,27/1,03
r = 0,2621
r = 26,21%

A taxa real de juros do empréstimo é de aproximadamente 26,21%.

Por Marcos Noé

Porcentagem

Vários assuntos ligados a Matemática financeira requerem o uso de porcentagem. Por exemplo: cálculo de juros em compras financiadas, financiamentos de carros, casas, apartamentos, empréstimo bancários entre outras situações.

Exemplo 1

O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de 20% na venda dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la?

Cálculo
20% = 20/100 = 0,2
20% de 210
0,2 x 210 = 42

210 + 42 = 252

Devemos vendê-la por R$ 252,00 para que se tenha um lucro de 20%.

Exemplo 2

Uma calça custa R$ 82,00. O desconto para pagamento à vista e no dinheiro de 15%. Qual é o preço da calça dentro dessa condição?

Cálculo
15% = 15/100 = 0,15
15% de 82
0,15 x 82 = 12,3

82 – 12,3 = 69,7

O preço da calça para pagamento à vista e no dinheiro é de R$ 69,70.

Exemplo 3

Quanto devo pagar por um terreno a prazo se comprando à vista ganho um desconto de 4% equivalente a R$ 1.600,00?

Cálculo
4% = 4/100


Exemplo 4

O preço de uma televisão à vista é de R$ 825,00. Em quatro prestações mensais iguais ela sofre um aumento de 8%. Qual o valor de cada prestação e quanto pagará de juros uma pessoa que decidir comprar a prazo?

Resolução
8% = 8/100 = 0,08
8% de 825
0,08 x 825 = 66

825 + 66 = 891

Preço a prazo R$ 891
Dividido em 4 vezes (891 / 4)
Cada prestação terá o valor de R$ 222,75

A pessoa que decidir comprar a prazo pagará R$ 66,00 de juros.

Exemplo 5

Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido de R$ 112,00 para R$ 84,00. De quantos por cento foi redução?

Resolução
112 – 84 = 28

28 em 112
28/112 = 0,25
0,25*100 = 25%

A redução foi de 25%.

Proporção

1. Sabendo-se que x + y + z = 18 e que, x/2 = y/3 = z/4, calcule x.

2. Três números são proporcionais a 1, 3 e 5. Calcule sua soma, sabendo-se que o seu produto é igual a 960.

3. Humberto, Aline e Junior possuem uma livraria cujo o investimento foi de 9 mil reais. Humberto entrou com 2 mil reais, Aline com 3 mil reais e Nilson com 4 mil reais. O lucro da livraria é dividido em partes proporcionais ao investimento de cada um deles. O lucro do mês de maio foi de 1800 reais, calcule quanto cada um vai receber neste mês.

4. Nilson vai dividir 360 mil reais entre seus três filhos, proporcionalmente ao número de membro da família de cada um deles. O primeiro tem esposa e 3 filhos, o segundo tem 2 filhos e é viúvo e o terceiro tem esposa e 2 filhos. Quanto cada filho vai receber?

5. Será distribuído entre dois atletas o patrocínio de 42 mil reais, o melhor classificado receberá sua parte proporcional a 3 e o segundo, a 1. Determine quanto cada um recebeu.

6. Pedro quer dividir uma régua de 42 cm em parte proporcionais a 3, 5 e 6, quanto medirá cada parte.

7. A diretora de uma escola recebeu 372 livros para repartir proporcionalmente entre duas turmas. A 5ª A possui 32 alunos e 5ª B possui 30 alunos. Quantos cadernos cada turma vai receber?

8. Divida 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.

9. Divida 295 em partes inversamente proporcionais a 5, 1 e 9.

10.Divida 560 em partes inversamente proporcionais a 1, 3, 4 e 7.


RESPOSTAS


1) 4
2) 36
3) Humberto = 400, Aline = 600 e Nilson = 800
8) 20, 15 e 10
9) 45, 225 e 25
10) 9408/29, 3136/29, 2352/29, 1344/29

Juros composto

Os juros compostos são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos tempos posteriores, o chamado juros sobre juros.
Observe o exemplo a seguir:

Pedro aplicou R$ 300,00 num banco que paga juros compostos de 3% ao mês. Qual será seu montante após o período de 6 meses?

O montante após 6 meses de aplicação será de R$ 358,21.

Exemplo 2

Qual o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00, aplicado a juros compostos de 2% ao mês, durante um ano?
Fórmula para o cálculo de juros compostos M = C*(1 + i)t , onde:

M = montante
C = capital
i = taxa
t = tempo

Dados
M = ?
C = 2000
i = 2% = 2/100 = 0,02
t = 1 ano = 12 meses (pois a taxa é ao mês)

M = C* (1 + i)t
M = 2000* (1+0,02)12
M = 2000 * 1,0212
M = 2000*1,268242
M = 2.536,48

O montante produzido ao final de um ano será de R$ 2.536,48.

Exemplo 3

Qual deve ser o capital que, no sistema de juros compostos, à taxa de 4% ao mês, gera um montante de R$ 12.154,90 ao final de 1 ano e 6 meses?

M = 12.154,90
C = ?
i = 4% = 4/100 = 0,04
t = 1 ano e 6 meses = 18 meses

M = C* (1 + i)t
12.154,90 = C * (1 + 0,04)18
12.154,90 = C * 1,0418
12.154,90 = C * 2,0258
C = 12.154,90 / 2,0258
C = 6.000

O capital será de R$ 6.000,00.

Exemplo 4
Calcule o montante de um capital de R$ 12.000,00 aplicado durante 3 anos em um banco que paga no regime de juros compostos uma taxa de 1,5% a.m.

M = ?
C = 12.000
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015
t = 3 anos = 36 meses (pois a taxa de juros é mensal)

M = C* (1 + i)t
M = 12000 * (1 + 0,015)36
M = 12000 * 1,01536
M = 12000 * 1,70914
M = 20.509,68

O montante será de R$ 20.509,68.


Exemplo 5

O capital de R$ 1.500,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 2 meses, juros de R$ 153,75. Qual foi a taxa de juros?

M = 1500 + 153,75 = 1653,75
M = C * (1 + i)t
1653,75 = 1500 * (1 + i) 2
1653,75 / 1500 = (1 + i) 2
(1 + i) 2 = 1,1025
√(1 + i) 2 = √1,1025 (use a calculadora para extrair a raiz quadrada de 1,1025)
1 + i = 1,05
i = 1,05 – 1
i = 0,05 ou 5%

A taxa de juros empregada foi de 5%.
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Juros simples

Os juros simples são calculados com base no capital inicial (C), período a período. Por isso o valor dos juros simples é constante em cada período de tempo. Observe o exemplo a seguir:

Carlos aplicou R$ 500,00 a taxa de 3% no regime de juros simples. Qual será o montante no fim de 8 meses de aplicação?


Após 8 meses, Carlos terá um montante de R$ 620,00

Exemplo 2

Fernando aplicou R$ 1.200,00 em uma instituição bancária que paga juros simples de 2,5% ao mês. Qual será o montante no final de 10 meses?

O montante do juro simples e dado pela expressão: M = C + J
Fórmula para o cálculo de juros simples: J = C * i * t , em que:
J = juros
C = capital
i = taxa
t = tempo (período de aplicação)
M = montante

Dados do exercício:
J = ?
C = 1.200
i = 2,5% = 2,5/ 100 = 0,025 (taxa unitária)
t = 10 meses

Desenvolvendo
J = 1200 * 0,025 * 10
J = 300

M = 1200 + 300
M = 1500

O montante ao final de 10 meses será de R$1.500,00.

Exemplo 3

Um capital de R$ 2.000,00, aplicado no sistema de juros simples, produziu um montante de R$ 2.720,00 após 12 meses de aplicação. Qual foi a taxa de juros?
Dados:
C = 2.000
M = 2.720
J = M – C = 2720 – 2000 = 720
t = 12 meses
i = ?

J = C * i * t
720 = 2000 * 12 * i
720 = 24000 * i
i = 720/24000
i = 0,03 ou 3%

A taxa de juros usada foi de 3%.


Exemplo 4

Um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 1.300,00 após certo tempo. Qual o tempo da aplicação?

C = 1.000
M = 1.300
J = 1300 – 1000 = 300
i = 2% = 2/100 = 0,02
t = ?

J = C * i * t
300 = 1000 * 0,02 * t
300 = 20 * t
t = 300/20
t = 15 meses

O tempo de aplicação foi de 15 meses.
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Juros Simples e Juros Compostos

Vimos no primeiro texto sobre Juros Simples que a fórmula clássica para o cálculo de juro simples é:

j = C x r / 100,

sendo

C = Capital
r = a taxa percentual.

Agora vamos tratar do tempo.

Se alguém empresta dinheiro a 3%a.m., isto significa por convenção (combinação, acordo, trato entre pessoas) que para cada R$ 100,00 embutidos no valor do empréstimo, R$ 3,00 deverão ser pagos como aluguel desse dinheiro todo o mês.

‘a.m.’, então, é uma combinação (convenção) entre pessoas, que quer dizer ‘ao mês’, ‘todo mês’, ‘por mês’.
Poderia ser ‘a.a.’, que significaria ‘ao ano’, ‘por ano’.
Então, simplesmente – caso seja uma taxa ‘a.m.’ – a gente multiplica o que se ganha de juro pelo tempo em meses que o dinheiro ficou à disposição de quem o tomou. Logo, o juro que sai de

j = r x C / 100

vai se repetir ‘t’ meses e a fórmula é simplesmente afetada disto, passando a ser

j = r x C / 100 x t

ou

j = Cit/100 (como nos livros).

Se o tomador permanecer 3 meses com o dinheiro do empréstimo, terá de pagar 3 x j, ou seja, r x C / 100 x 3, que pode se entendido que ele pagará três vezes mais juros do que alguém que ficaria apenas um período.

Mas vamos tratar de ‘t’ valendo 1 mês para construirmos nossa história. Assim, ainda não precisamos escrevê-lo na fórmula. Vamos entender que o ‘contrato’ é de um período apenas. Pode ser o empréstimo por apenas um mês.

A Caderneta de Poupança, por exemplo, paga 6%a.a. ao depositante (veja que o depositante aqui é quem empresta dinheiro ao banco).

Mas as sutilezas, com o desenvolvimento das relações comerciais, vão se refinando.
Uma pergunta: No caso da Caderneta de Poupança, isto significa que quem depositar seu dinheiro lá irá receber R$ 6,00 por cada R$ 100,00 somente quando seu depósito fizer um ano?
Nada impediria que fosse assim. Quem quiser emprestar dinheiro e pôr a mão nos juros após um ano de empréstimo pode fazer isto.

Mas, combinou-se outra coisa: a Caderneta de Poupança iria pagar todo mês.

Mas aí vem uma pergunta: como isso? Se eu tenho um contrato com a Caixa Econômica de receber 6% ao ano, como é que ela vai pagar ao mês?
É assim mesmo, pois entra aí uma outra coisa nova: o regime de capitalização.

O que é isto? Nada de mais, apenas quer dizer que, embora o contrato diga que os juros serão pagos ao depositante à taxa de 6%a.a. (R$ 6,00 de juros a cada ano para R$ 100,00 depositados), combinou-se que o cálculo será feito à taxa equivalente a cada mês de decurso do empréstimo, pelo tempo em meses combinado entre as partes em que estiver valendo a operação.

O regime de capitalização, no nosso exemplo, é mensal. Equivale a dizer ‘todo mês faça o cálculo do juro’.

Então, o equivalente a um mês de uma taxa de 6%a.a. é 6a.a./12, ou seja, 0,5%a.m.

A taxa de 6%a.a. então é dita ‘taxa nominal’, pois é uma taxa só de nome. Ela, integralmente, não serve ao cálculo efetivo de juro. E esta divisão por 12 é uma convenção também. Poderia ser feita de outro jeito, mas combinou-se assim. Uma divisão simples.

Por conseqüência, a verdadeira taxa da Caderneta de Poupança é 0,5%a.m. e é esta que deve ser incluída no cálculo.

Então, o juro da Caderneta de Poupança deve ser calculado – como todo juro -conforme a fórmula clássica:

j = 0,5 x C / 100.

Então vamos fazer continhas. Vamos supor alguém deposite R$ 500,00 na Caderneta de Poupança no primeiro dia útil do ano, só para facilitar tudo.

02/01/2006 -> R$ 500,00.

Quando chegar no dia 02/02/2006, há a contagem do juro:

j = 0,5 x 509,00 / 100 = R$ 2,50.

Então, a Caixa Econômica Federal deposita os R$ 2,50 na conta do depositante como aluguel do dinheiro. Esta conta-poupança fica, então, com o valor de R$ 502,50.
Este valor, por convenção (combinação entre as pessoas) passa a se chamar Montante.

Montante é o que havia antes do juros, mais os juros.

Mas aí, nosso depositante, que é uma pessoa muito influenciável, ouve falar que um outro banco paga uma taxa melhor na Caderneta de Poupança, sem saber que o sistema é unificado e as Cadernetas de Poupança obedecem sempre à regra da Caixa Econômica Federal, e saca totalmente o valor do montante. E leva para outro banco o valor total de R$ 502,50, abrindo uma nova conta.

Então, neste novo banco, ele deposita, no mesmo dia 2/2 o seu dinheiro para uma nova aplicação.

02/02/2006 -> R$ 502,50.

No dia 02/03/2006, um mês após, o novo banco paga-lhe a taxa padrão, isto é,

j = 0,5 x 502,50 / 100 = R$ 2,5125.

Como não temos representação além da dos centavos, o banco deposita R$ 2,51 em sua conta, agora somando os R$ 502,50 iniciais com os novos juros, isto é, indo o Montante para R$ 505,01.

Não satisfeito com o juro pago, ele retira o dinheiro deste banco e vai a outra Caderneta de Poupança com a mesma ilusão de ganhar mais do que antes e abre uma nova conta.

02/03/2006 -> R$ 505,01.

No dia 02/04/2006 ele vai ao banco e encontra o juro de

j = 0,5 x 505,01 / 100 = R$ 2,52,

perfazendo o montante de R$ 507,53.

Nosso amigo então percebe que perdeu tempo, teve trabalho de abrir contas desnecessariamente. Se ele tivesse deixado o dinheiro no primeiro banco, o valor seria o mesmo, pois as regras de cálculos são as mesmas e foram aplicadas sempre sobre o valor que teriam caso ficassem numa mesma instituição bancária.

Agora vamos ver o que aconteceria, caso nosso ambicioso depositante deixasse seu dinheiro na primeira conta, sem abrir todas aquelas outras.

500,00.
1o. Juro -> 0,5 x 500,00 / 100 = 2,50.

500,00 + 2,50 = 502,50.
2o. Juro -> 0,5 x 502,50 / 100 = 2,51.

502,50 + 2,51 = R$ 505,01
3o. Juro -> 0,5 x 505,01 / 100 = 2,52.
505,01 + 2,52 = 507,53.

Para prosseguir, relembremos que

Montante (M) é igual ao Capital ( C ) acrescido dos juros (j) no fim do período.

M = C + j

M = C + r x C / 100

Para facilitar, vamos dizer que não seja C o numerador daquela fraça, mas ‘r’. Reescrevamos e não mudemos nada

M = C + r / 100 x C

Para facilitar a visualização, uma vez que a divisão é por uma constante, que tal escondê-la, sem deixar de considerá-la?

Vamos trocar a alíquota ‘r’ por ‘i’, significando r/100.

M = C + i x C

Ou

M = C + Ci

ou

M = C ( 1 + i ) —> (1)

Então, se formos calcular o montante de R$ 500,00 aplicados por 1 mês, à taxa de 0,5%a.m., faríamos assim

r = 0,5; i=0,005

M = 500 ( 1 + 0,005) ou

M = 500 ( 1,005).

Aquele ’1′ do ’1 + 0,005′ representa o valor aplicado anterior.

Veja que realmente esta última fórmula dá o primeiro valor calculado ao fim do primeiro mês.

R$ 502,50.

Voltemos a (1)

M = C ( 1 + i )

Isto daria o primeiro montante.

Mas, lembra?, o primeiro montante é o ‘capital’ da segunda aplicação:

M2 = ‘M’ vezes a partícula que afeta o valor aplicado.

Releia:

M2 = { C ( 1 + i ) } x (1 + i )

Veja, (1 + i) está sendo multiplicado por si mesmo, ou seja

M2 = C ( 1 + i ) ^ 2.

Continuando,

M3 = ‘M2′ vezes a partícula que afeta o valor aplicado.

Reescrevendo M3,

M3 = { C ( 1 + i ) ^2 } x ( 1 + i)

que você pode simplificar para

M3 = C ( 1 + i ) ^ 3.

Se formos ver a aplicação inicial de R$ 500,00 no início de nossa história, teremos que

M3 = 500,00 x ( 1 + 0,005 ) ^ 3

que resulta

R$ 507,53.

Você viu que, na nossa história de alguém depositar um valor inicial e retirar após o primeiro período esse valor mais seus juros, abrir uma nova conta com o montante arrecadado e fazer uma nova aplicação para repetir isto mais à frente, resultou em cálculos isolados de juros simples.

Entretanto, o valor final, utilizando-se o recurso do cálculo de Juros Compostos levou ao mesmo resultado.

Isto funcionou em ambos os casos em virtude da taxa de aplicação (no caso, 0,5% a.m.) ser a mesma, e o valor inicial também o mesmo.

Por fim, juros compostos tratam de montantes (valor mais aluguel do valor). Ou sejam, juros simples reaplicados a cada período.

Juros Compostos

Juros compostos são muito usados no comércio, como por exemplo, nos bancos. Os juros compostos são utilizados na remuneração das cadernetas de poupança, pois oferecem uma melhor remuneração. Popularmente o juro composto é conhecido como “juro sobre juro”.
Problema de juro composto
Fernando empresta o capital inicial de R$ 4000,00 (quatro mil reais) para Pedro cobrando juros compostos de 4% ao mês. Pedro prometeu pagar tudo após 5 meses. Qual será o valor que ele terá que pagar?
Para resolvermos esse problema de juros compostos podemos usar a seguinte fórmula:
M = C * (1 + i)t
M = Montante
C = Capital Inicial
i = Taxa de juros
t = Tempo
Usando a fórmula para o problema de juro composto acima teremos:
M = ? (é o valor que queremos saber)
C = R$ 4000,00
i = 4% /100 = 0,04
t = 5
M = 4000 * (1 + 0,04)5
M= 4000 * (1,04)5
M= 4000 * 1,2165
M= 4866
Subtraindo o capital inicial do montante temos:
J = 4866 – 4000 = 866
Portanto, Pedro terá que devolver o valor de R$ 4866 (quatro mil, oitocentos e sessenta e seis reais) para Fernando. Sendo R$ 866 de juros.
Para efeito de comparação, vamos ver qual seria o valor a pagar se esses 4% fossem juros simples. O capital inicial e o tempo continua o mesmo.
J = C * i * t
J = 4000 * 0,04 * 5
J = 800
M = C + j
M = 4000 + 800
M = 4800
Se fosse juros simples o valor a ser pago seria de R$ 4800. A diferença entre o juro composto e o simples nesse caso foi de R$ 66.
Caso tenha ficado alguma dúvida sobre como calcular juros compostos basta usar o formulário de comentários logo abaixo.
Antonio Carlos Carneiro Barroso
HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br

Juros simples e compostos

Juros

No cálculo de JUROS, que representamos por J, aparecem o capital (C), a taxa (i), o tempo (t) e o montante (M) que é a soma “capital + juros”.

Juros simples
São aqueles calculados sempre sobre o capital.

Para o cálculo de juros simples usamos a fórmula:

J = C . i . t
100

Exemplo:

Capital → = C = 500 reais;
taxa → i = 10% a.m.;
tempo → t = 3 meses
juro → J = C . i . t /100 = 500 . 10 . 3 /100 = 150 reais;
montante → M = C + J = 500 + 150 = 650 reais.


Juros compostos

São aqueles calculados sobre o capital mais os juros.

Para o cálculo de juros compostos usamos a fórmula:

M = C. ( 1 + i )t
100

Exemplo:

Capital → C = 500 reais;
taxa → i = 10% a.m.;
tempo → t = 3 meses
montante → M = C. (1 + i/100)t
M = 500. (1 + 10/100)3
M = 500. (1 + 0,1)3
M = 500. (1,1)3
M = 500. 1,331 = 665,50 reais.

Juros compostos

Os juros compostos são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos tempos posteriores, o chamado juros sobre juros.
Observe o exemplo a seguir:

Pedro aplicou R$ 300,00 num banco que paga juros compostos de 3% ao mês. Qual será seu montante após o período de 6 meses?

O montante após 6 meses de aplicação será de R$ 358,21.

Exemplo 2

Qual o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00, aplicado a juros compostos de 2% ao mês, durante um ano?
Fórmula para o cálculo de juros compostos M = C*(1 + i)t , onde:

M = montante
C = capital
i = taxa
t = tempo

Dados
M = ?
C = 2000
i = 2% = 2/100 = 0,02
t = 1 ano = 12 meses (pois a taxa é ao mês)

M = C* (1 + i)t
M = 2000* (1+0,02)12
M = 2000 * 1,0212
M = 2000*1,268242
M = 2.536,48

O montante produzido ao final de um ano será de R$ 2.536,48.

Exemplo 3

Qual deve ser o capital que, no sistema de juros compostos, à taxa de 4% ao mês, gera um montante de R$ 12.154,90 ao final de 1 ano e 6 meses?

M = 12.154,90
C = ?
i = 4% = 4/100 = 0,04
t = 1 ano e 6 meses = 18 meses

M = C* (1 + i)t
12.154,90 = C * (1 + 0,04)18
12.154,90 = C * 1,0418
12.154,90 = C * 2,0258
C = 12.154,90 / 2,0258
C = 6.000

O capital será de R$ 6.000,00.

Exemplo 4
Calcule o montante de um capital de R$ 12.000,00 aplicado durante 3 anos em um banco que paga no regime de juros compostos uma taxa de 1,5% a.m.

M = ?
C = 12.000
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015
t = 3 anos = 36 meses (pois a taxa de juros é mensal)

M = C* (1 + i)t
M = 12000 * (1 + 0,015)36
M = 12000 * 1,01536
M = 12000 * 1,70914
M = 20.509,68

O montante será de R$ 20.509,68.


Exemplo 5

O capital de R$ 1.500,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 2 meses, juros de R$ 153,75. Qual foi a taxa de juros?

M = 1500 + 153,75 = 1653,75
M = C * (1 + i)t
1653,75 = 1500 * (1 + i) 2
1653,75 / 1500 = (1 + i) 2
(1 + i) 2 = 1,1025
√(1 + i) 2 = √1,1025 (use a calculadora para extrair a raiz quadrada de 1,1025)
1 + i = 1,05
i = 1,05 – 1
i = 0,05 ou 5%

A taxa de juros empregada foi de 5%.
www.mundoeducacao.com.br

Regra de três Exercícios

Regra De TrêS Simples E Composta Autor Antonio Carlos

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Porcentagem

Definição

Porcentagem pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado em 100 unidades.

É visto com freqüência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução nos preços de produtos ou serviços.

Alguns exemplos:

- O Leite teve um aumento de 25% Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00

- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00

Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa- Dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.

Calculando Porcentagens

Para calcular a porcentagem primeiramente se calcula a porcentagem por 100.

Feito isso é só multiplicar o resultado pelo valor do qual se quer saber a porcentagem:

Acompanhe este cáuculo:

25% de 200
25 : 100 = 0,25
0,25 x 200 = 50

ATIVIDADES

1) Calcule e clique na alternativa correta:

a) 15% de 120
• 19
• 18
• 25


b) 20% de 150
• 40
• 50
• 30


c) 35% de 100
• 25
• 15
• 35


d) 40% de 240
• 86
• 96
• 48


e) 30% 250
• 75
• 87
• 96

Regra de Três

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

      

Regra de três é o procedimento para resolver um problema que envolva grandezas relacionadas onde determinamos por proporção o valor de uma destas, conhecendo a relação desta proporção com a proporção das demais grandezas.
Este procedimento chama-se regra de três simples quando temos apenas 2 grandezas e do contrário chama-se regra de três composta , ou seja, quando temos mais de 2 grandezas.

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.

EXEMPLOS:
1) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo com massa de 10 kg e verifica-se que o comprimento da mola é de 42 cm. Se colocarmos uma massa de 15 kg na extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola?

Vamos representar pela letra x o comprimento pedido. Estamos relacionando dois valores da grandeza massa (10 kg e 15 kg) com dois valores da grandeza comprimento (42 cm e X cm).
Temos então que:

10 kg ........................ 42 cm
15 kg ........................ X cm

Se duplicarmos a massa inicial do corpo, o comprimento da mola também duplicará. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Assim, os números 10 e 15 são diretamente proporcionais aos números 42 e X.
Assim:

Portanto, o comprimento da mola será 63 cm.

2) Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 s. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele gastaria para completar o percurso?

Estamos relacionando dois valores de grandeza velocidade (200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e x s).
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.

200 km/h----------- 18 s
240 km/h---------- x s

Se o duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade, logo as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x.

Daí temos:

O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.

Regra de três composta

A regra de três composta é um processo prático para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

EXEMPLO:

1) Um motociclista percorre em média 200 km em 2 dias, se rodar durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse motociclista percorrerá 500 km, se rodar 5 horas por dia?

Desenvolvimento:
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C:
Se dobrarmos o numero de horas que o motociclista roda por dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância cairá pela metade. Logo, as grandezas B e C são inversamente proporcionais.
Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C:
Se dobrarmos o numero de quilômetros percorridos, o numero de dia dobrará, fixando que o motociclista roda o mesmo numero de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são diretamente proporcionais.
Assim, a grandeza C é diretamente proporcional á grandeza A e inversamente proporcional à grandeza B. para que a variação da grandeza C seja diretamente proporcional ao produto da variação das duas outras, escrevemos a razão inversa dos valores que expressam a grandeza B.

Analisando o resultado obtido, concluímos que o motociclista levará 4 dias para percorrer 500km, se rodar 5 horas por dia.

Exercícios:

1. Em um banco, constatou-se que uma caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que essa caixa vai levar para atender 36 clientes?

2. Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias. Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias?

3. Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada página são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?

4. Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltadas 180 m da rua. Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?

5. Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 cm de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
6. Em uma construção de uma casa, 5 operários constroem a casa em 7 dias. Supondo-se que o ritmo de operários sejam sempre igual, se forem 7 operários, em quantos dias eles construirão a casa?

7. Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?

8. Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

9. Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro?

10. Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidos por 7 operários, trabalhando durante 9 dias?
Douglas Celito

Relação entre juros e progressões

No regime de juros simples:
    M( n ) = P + n r P

    No regime de juros compostos:
    M( n ) = P . ( 1 + r ) ⁿ

    Portanto:

• num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
• num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica

TAXAS EQUIVALENTES

    Duas taxas i₁ e i₂ são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.

• Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual i_a .
• O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i _a )
• Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal i_m .
• O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + i_m)¹² .

    Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.

    Portanto, P(1 + i_a) = P(1 + i_m)¹²
    Daí concluímos que 1 + i_a = (1 + i_m)¹²
    Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

    Exemplos:

    1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

    Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + i_a = (1 + i_s)²
    1 + i_a = 1,08²
    i_a = 0,1664 = 16,64% a.a.
   

    2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

    1 + i_a = (1 + i_m)¹²
    1 + i_a = (1,005)¹²
    i_a = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS NOMINAIS

    A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 340% ao semestre com capitalização mensal.- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.

    Exemplo:

     Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:

    15/12 = 1,25                    1,0125¹² = 1,1608

TAXAS EFETIVAS

    A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 140% ao mês com capitalização mensal.
- 250% ao semestre com capitalização semestral.
- 1250% ao ano com capitalização anual.

    Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
www.somatematica.com.br

Juros simples

Calculando juros simples e juros compostos
Calcular juros nem sempre é tarefa fácil. Existem diferentes tipos de juros e cálculos e formulas especíicas para cada um deles. Neste estudo você irá aprender como calcular juros e entender a diferença entre juros simples e juros compostos.
Juros Simples
Juro é a importância cobrada por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro, expressa como porcentagem da soma emprestada.

Noção Intuitiva e Nomenclatura Usual

Em "A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano, durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples".

O raciocínio é:
Se o capital 100 produz 10 em um ano, ent~ao o capital 2.000 produzirá 600 em 3 anos.

Temos os seguintes dados:

O Capital é 99K C = 2:000
A Taxa é 99K i = 10(em % ao ano)
O tempo é 99K t = 5(em anos)
Os juros são 99K J = 600

Observações:
Denominamos juros simples aqueles que não são somados ao capital, durante o tempo em que foi empregado.

Se a taxa "i" for referida ao ano, m^es, dia etc, o tempo "t" também deveria ser tomado correspondentemente em anos, meses, dias, etc.

Para efeito de cálculo o ano é considerado de 12 meses de 30 dias cada.

Técnica Operatória

Os problemas envolvendo juros simples, na verdade são de Regra de três composta, que obedecem ao seguinte esquema;
Grandezas

100... i... l
C... j.... t

Interpretação

Se o capital 100 produz i em 1 ano, então; o capital "c"produzir a "j" em "t" anos.

Quando resolvemos isolando "j", temos:

J = C.i.t
-----
100
Exemplos de cálculo de juros
1. Quanto renderia um capital de R$ 5.000,00 empregando a taxa de 5% a:a, em regime de juros simples, durante 3 anos?

Temos:

C = 5000;
I = 5;
T = 3;

Substituindo os respectivos valores na f ormula, temos:

J = 5000.5.3 = 750
--------
100

Assim, teria um rendimento de R$ 750,00.

2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 à taxa de 36% a:a, durante 6 meses.

Observe que a taxa está expressa em anos, enquanto o tempo em meses. Como devemos trabalhar com as duas grandezas em unidades de tempos iguais, tomaremos o tempo como sendo 6/12 anos.

Assim:



Portanto, os juros são de R$ 1.530,00.

3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de 1% a:m. Como não há concordância entre a taxa e o tempo, devemos fazer algumas modificações para que possamos resolver o problema. Faremos as seguintes transformações.

2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou então: 75/360 anos. Ainda; a taxa 1% ao mês, corresponde a 1% vezes
12 meses, o que dá 12% a.a.



Logo, os juros produzidos são de R$ 625,00
Juros compostos

Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.

Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.
Tempo Data Valor Principal Juros Montante
0 01/01/94 100,00 0 100,00
1 01/02/94 100,00 50,00 150,00
2 01/03/94 150,00 75,00 225,00
3 01/04/94 225,00 112,50 337,50
4 01/05/94 337,50 168,75 506,20
5 01/06/94 506,25 253,13 759,38

Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.

Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:
S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5

Em geral:

Sn = P (1+i)n

onde
Sn Soma ou montante
P Valor Principal aplicado inicialmente
i taxa unitária
n número de períodos da aplicação

Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo.

Montante composto

A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período e do número de períodos n, é dada por:

S = P (1+i)n

Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização composta?

Objetivo: S=2P

Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por:

S=P(1+i)n

Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo

(2,5)n = 2

Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:

n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano
Exercícios de Juros
Resolva os exercícios abaixo:

01. (Cespe/UnB - Chesf/2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7050,00. O mesmo capital, diminuído dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5350,00. O valor desse capital é:

Solução:
a) 7050 = C (1+21.i)
b) 5350 = C (1+13.i)
multiplicando (b) por 21/13 temos
b’)112350/13 = 21.C/13 - 21.C.i
Somando b’ com a:
204000 = 21.C+13.C → 34C = 204000 →
C = 6000, alternativa D.

02. (Cespe/UnB - Chesf/2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investirtodo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações x, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é:

Solução:
Cx + Cy = 6000
com ix = 0.07 a.a e iy = 0.09 a.a.
Jx + Jy = 500
Cx* 0.07 * 1 + Cy * 0,09 * 1 = 500
como Cy = 6000 - Cx
Cx* 0.07 + (6000 - Cx) * 0,09 = 500
Cx* 0.07 + 540 - 0.09 * Cx= 500
Cx = 2000, alternativa C.

03. (Cespe/UnB - Chesf/2002) No sistema de juros compostos com capitalização anual, um capital de R$ 20.000,00, para gerar em dois anos um montante de R$ 23.328,00, deve ser aplicada a uma taxa:

Solução:
t = 1; C = 20000; n = 2; M = 23328
23328 = 20000*(1+i)²
1.1664 = (1+i)²
i = 0.08
taxa é de 8% a.a.

04. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Se um capital aplicado a juros simples durante seis meses à taxa mensal de 5% gera, nesse período, um montante de R$ 3250,00, então o capital aplicado é menor que R$ 2600,00.

Solução:
n = 6; i=0,05; M=3250;
3250 = C*(1+0,05*6)
C=2500
Verdadeiro, C é menor que R$ 2600.

05. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Suponha que uma pessoa aplique R$ 2000,00 por dois meses, a juros compostos com uma determinada taxa mensal, e obtenha um rendimento igual a R$ 420,00, proveniente dos juros. Se essa pessoa aplicar o mesmo valor por dois messes a juros simples com a mesma taxa anterior, ela terá, no final desse período, um montante de R$ 2.400,00.

Solução:
Aparentemente se quer saber qual foi a taxa de juros mensal aplicada, i.
Na primeira aplicação podemos dizer que
420 = 2000 [(1+i)² - 1]
e na segunda aplicação temos
2400 = 2000 (1+2.i)
como descobrir i na segunda equação é mais fácil:
1 + i.2 = 1.2 → i . 2 = 1.2 → i = 0.1
E de fato, substituindo o valor de i na primeira equação, chegamos em uma verdade.
420 = 2000 [(1+0.1)² - 1] → 420 = 2000 * 0.21 → 420 = 420

06. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Considereque um capital de R$ 4000,00 ficou aplicado por 2 meses à taxa de juros compostos de 10% a.m. Se o montante obtido foi corrigido pela inflação do período obtendo-se um total de R$ 5082,00, então a inflação do período foi superior a 7%.

Solução:
C=4000; n=; i=0,1 a.m.
M = 4000.(1+0.1)²
M = 4000*1,21
M = 4840

A correção da inflação, que eu chamei de f, é no regime de juros compostos:
5082 = 4840 * (1+f)²
(1+f)² = 1.05
f=0,0247
A inflação foi de 2,47% ao mês.

07. (Cespe/UnB - TRT 6º Região - 2002) Considere o capital de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 6% a.m. e sejam M1, M2, …, Mn os montantes gerados por esse capital após o 1º mês, 2º mês, respectivamente. Então os montantes M1, M2, …, Mn, formam uma progressão geométrica de razão igual a 1,06.

Solução:
M1 = 5000 * (i+0.06)¹
e
M2 = 5000 * (i+0.06)² → M2 = 5000 * (1.06)*(1.06)
M2 = M1*(1+0.06)
da mesma maneira M3:
M3 = 5000 * (1.06)³ → M3 = 5000 * (1.06)² * (1.06)
M3 = M2*(1.06)
Logo podemos definir M como uma progressão geométrica onde:
a1 = 5300; q = 1.06
an = an-1*1.06; para n > 1

08. (Cespe/Unb - Docas/PA) Mário dispunha de um capital de R$ 10.000,0. Parte desse capital ele aplicou no banco BD, por 1 ano, à taxa de juros simples de 3% a.m. O restante, Mário, aplicou no banco BM, também pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 5% a.m. Considerando que, ao final do período, Mário obteve R$ 4500 de juros das duas aplicações, julgue os seguintes itens:

a) A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4000,00.
b) Os juros obtidos pela aplicação no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicação no banco BD.
c) Ao final do ano, o montante obtido pela aplicação no banco DB foi superior a R$ 8000,00.

Solução:
CBD + CBM = 10000
iBD = 0.03 a.m; iBM = 0.05 a.m; n=12 meses
JBD + JBM = 4500

Como M = C * (1+i*n) → M-C = C * (1+i*n)-C → J = C * (1+i*n)-C → J = C * (i*n) então
JBD = CBD * (iBD*n)
JBD = CBD * (0.03*12)
JBD = CBD * 0.36

Da mesma forma para o banco BM:
JBM = CBM * 0.6

somando as duas equações temos que:
JBD + JBM = CBD * (0.36) + CBM * (0.6)

mas JBD + JBM = 4500 então:
4500 = CBD * 0.36 + CBM * 0.6

mas CBD = 10000 - CBM então:
4500 = (10000 - CBM) * 0.36 + CBM * 0.6
4500 = 3600 - CBM * 0.36 + CBM * 0.6
4500 - 3600 = CBM * 0.24
CBM = 3750

logo a alternativa a) é falsa.

Para achar os juros:
JBM = CBM * 0.6
JBM = 3750 * 0.6
JBM = 2.250

e como JBD + JBM = 4500 então
JBD = 4500 - 2250
JBD = 2250
logo a alternativa b) é falsa.

Quanto ao montante da aplicação no banco BD:
CBD + CBM = 10000
CBD = 10000 - 3750
CBD = 6250

MBD = CBD + JBD
MBD = 6250 + 2250
MBD = 8500

portanto a alternativa c) é verdadeira.

09. (Cespe/Unb - Docas/PA) Julgue os itens que se seguem:

a) Considere a seguinte situação hipotética “Carlos aplicou R$ 5.000,00 em uma instituição financeira à taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados mensalmente” Nessa situaçã, ao final de 2 meses, sessa aplicação renderá para Carlos um montante superior a R% 5.300,00.

b) A taxa semestral de juros compostos equivalente à taxa de 21% a.a. é inferior a 11%.

Solução:
Na alternativa a:
C=5.000,00; i = 2% a.m; t = mensal;
M = 5000 * (1.02)²
M = 5202
Alternativa a) é falsa.

Na alternativa b:
1.21 = (1+i)²
i = 0.1 = 10% ao semestre.
Alternativa b) é verdadeira.

10. (Cespe/Unb - TRT 6º Região ) José dispõe de R$ 10,000, para aplicar durante três meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento:

* I - 2% de juros simples ao mês
* II - 1% de juros compostos ao mês
* III - resgate de R$ 10.300,00, no final de um período de três meses.

Com relação à situação hipotética apresentada acima e considerando que, uma vez aplicado o dinheiro, não seja feita retirada alguma antes de três meses, julgue os itens seguintes:

* a) Se João optar pela proposta I, ele terá, no final do 1º mês, R$10.200,00.
* b) Se João optar pela proposta I, ele terá, no final do 2º mês, mais de R$10.350,00.
* c) Se João optar pela proposta II, ele ter, no final do 2º mês, mais de R$10.200,00.
* d) Se João optar pela proposta III, ele terá aplicado seu dinheiro a uma taxa de juros igual a 3% ao trimestre.
* e) Para João, a proposta financeiramente menos favorável é a III.

Solução:
C = 10000; n =3
iI = 0,02

Na proposta I, no final do primeiro mês:
MI = 10000 * (1+0,02*1)
MI = 10.200

Na proposta I, no final do segundo mês:
MI = 10000 * (1+0,02*2)
MI = 10.400

Logo a alternativa a) é b) são verdadeiras.

Na proposta II, no final do segundo mês:
iII = 0,01
MII = 10.000 * (1+0,01)²

MII = 10201

Então a alternativa c) também é verdadeira.

Na proposta III:
10300 = 10000*(1+i)
(1+i) = 10300/10000
(1+i) = 1,03
i=0,03
Como i foi 3% ao semestre, então a alternativa d) também é verdadeira.

Olhando para todas as opções de investimento temos

* MI = 10.600
* MII = 10.303,01
* MIII = 10.300

Então a alternativa e) também é verdadeira.

Porcentagem

O termo porcentagem é muito utilizado no cotidiano, principalmente em situações ligadas à Matemática Financeira, correção monetária, investimentos, cálculo de juros, descontos, determinação de valores de impostos entre outras situações. Dado um número qualquer x, temos que x% corresponde à razão centesimal x/100. O símbolo % significa porcento ou divisão por cem. Observe:

15% (quinze porcento) = 15/100 = 3/20 = 0,15
20% (vinte porcento) = 20/100 = 1/5 = 0,20
25% (vinte e cinco porcento) = 25/100 = 1/4 = 0,25
40% (quarenta porcento) = 40/100 = 2/5 = 0,40
120% (cento e vinte porcento) = 120/100 = 6/5 = 1,2

Um número que possui a característica de porcentagem pode ser expresso das seguintes formas: fração centesimal ou número decimal, a forma ficará a critério do estudante.

Exemplo 1

Uma determinada loja de eletrodomésticos vende seus produtos em até 10 vezes, incluído os juros. No caso de pagamento à vista a loja oferece um desconto de 15% sobre o preço da mercadoria. Na compra à vista de uma geladeira que custa R$ 1.200,00, qual o valor do desconto?

15% = 15/100 = 3/20 = 0,15

Podemos resolver o problema de duas maneiras. Observe:

Multiplicando o valor de R$1200 por 15 e depois dividindo por 100.
1200 x 15/100 = 18000/100 = 180

Multiplicando o valor de R$1200 por 0,15.
1200 x 0,15 = 180

O desconto na compra à vista da geladeira é de R$ 180,00, dessa forma, o preço seria de 1200 – 180 = R$ 1.020,00.

Exemplo 2

O atraso no pagamento de qualquer imposto ou até mesmo de prestações particulares gera multas que são calculadas com base em índices percentuais, regularizados pelos órgãos competentes. Qual o valor de uma prestação de R$ 550,00 que foi paga com atraso de 10 dias, sabendo que sobre o valor deverá ser acrescentado 4% de multa?

4% = 4/100 = 1/25 = 0,04

Resolvendo de duas maneiras:

1º) 550 x 4/100 = 2200/100 = 22

2º) 550 x 0,04 = 22

O acréscimo em razão do atraso será de R$22,00, portanto, a prestação passará de R$ 550,00 para R$ 572,00.
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